Đề giữa học kì 2 Toán 10 năm 2024 – 2025 trường THPT Hàng Hải 1 – Hải Phòng

Cho tập hợp khác rỗng $D \subset \mathbb{R}$. Nếu với mỗi giá trị của x thuộc D có một và chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc tập hợp số thực $\mathbb{R}$ thì ta có một hàm số.

Tập tất cả các giá trị y nhận được, gọi là tập giá trị của hàm số.

Biểu đồ trên biểu thị một hàm số. Tập giá trị T = {1; 9; 6; 46; 10; 57; 19; 94; 4,08}.

$(C):{(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}$ có tâm I(a; b), bán kính R.

(C) có tâm I(1; 2), bán kính R = 5.

$(C):{(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}$ có tâm I(a; b), bán kính R.

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9$ có tâm I(-1; 2), bán kính bằng 3.

Dựa vào định nghĩa vectơ pháp tuyến của đường thẳng.

Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.

Dựa vào lí thuyết đồ thị hàm số bậc hai.

Tọa độ đỉnh của (P) là $I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)$.

Quan sát bảng dữ liệu và nhận xét.

Doanh thu của cửa hàng tháng 11 là 50,2 triệu đồng.

Hàm số theo biến x là biểu thức sao cho với mỗi giá trị của x thuộc tập xác định, chỉ nhận được 1 giá trị thực tương ứng của y.

$y = {x^2}$ là hàm số theo biến x.

Xem lại công thức tính góc giữa hai đường thẳng.

Góc giữa 2 đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ được xác định bởi công thức:

$\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}$.

Thay tọa độ từng điểm vào phương trình đường thẳng, nếu tìm được 1 giá trị t thỏa mãn thì điểm đó thuộc đường thẳng.

Ta thấy $\{\begin{array}{c}-3=3-2t\\ 2=-1+t\end{array}\iff t=3$$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 3 = 3 - 2t}\\{2 = - 1 + t}\end{array}} \right.$ \Leftrightarrow t = 3. Vậy (-3; 2) là điểm thuộc đồ thị.

Xác định khoảng đồ thị nằm trên trục hoành.

$f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {1;3} \right)$.

Hàm số bậc hai có dạng $y = a{x^2} + bx + c$.

$y = {x^2} - 4x + 3$ là hàm số bậc hai.

Xem lại lí thuyết vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng.

Trong mặt phẳng tọa độ, có 3 vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng là cắt nhau, song song và trùng nhau

Quan sát hình vẽ, nhận dạng các đặc điểm của đồ thị, từ đó tìm hàm số đã cho.

Giả sử hàm số có phương trình $y = a{x^2} + bx + c$.

a) Sai. Đồ thị có đỉnh I(2; -2) và đi qua A(0; 6) nên ta có hệ:

$\{\begin{array}{l}-\frac{b}{2a}=2\\ -2=a{.2}^2+b.2+c\\ 6=a{.0}^2+b.0+c\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=2\\ b=-8\\ c=6\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 2\\ - 2 = a{.2^2} + b.2 + c\\6 = a{.0^2} + b.0 + c\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 8\\c = 6\end{array} \right.$.

Vậy hàm số đã cho là $y = 2{x^2} - 8x + 6$.

b) Sai. Quan sát hình vẽ thấy trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng x = 2.

c) Đúng. Quan sát hình vẽ thấy đồ thị có đỉnh I(2; -2).

d) Đúng. Quan sát hình vẽ thấy đồ thị hàm số đi qua A(0; 6).

Từ phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=x_0+mt\\ y=y_0+nt\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + mt\\y = {y_0} + nt\end{array} \right.$, ta xác định được vecto chỉ phương $\overrightarrow u = (m;n)$ và một điểm thuộc đường thẳng là ${M_0}({x_0};{y_0})$.

Cách tìm vecto chỉ phương biết vecto pháp tuyến và ngược lại: $\overrightarrow n = (p;q) \leftrightarrow \overrightarrow u = ( - q;p)$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua ${M_0}({x_0};{y_0})$ và nhận $\overrightarrow n = (a;b)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình là $a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0$.

a) Sai. $\overrightarrow {{n_1}} = (2; - 6)$ không phải vecto pháp tuyến của d vì $\overrightarrow {{n_1}} = (2; - 6)$ không vuông góc với $\overrightarrow u = ( - 3;1)$ là một vecto chỉ phương của d.

b) Đúng. Đường thẳng cần tìm có phương trình:

$1(x - 2) + 3(y - 0) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 2 = 0$.

c) Đúng. d đi qua điểm N(2; 3).

d) Sai. d có vecto chỉ phương là $\overrightarrow u = ( - 3;1)$.

Dựa vào điều kiện I thuộc d và IA = IB (do A, B thuộc đường tròn tâm I), tìm a, b.

$I(a;b) \in d \Rightarrow a + b = 0$ (1)

A, B thuộc đường tròn nên $I{A^2} = I{B^2}$

${(a - 3)^2} + {b^2} = {a^2} + {(b - 2)^2}$

${a^2} - 6a + 9 + {b^2} = {a^2} + {b^2} - 4b + 4$

$6a - 4b = 5$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $a = \frac{1}{2}$, $b = - \frac{1}{2}$.

Vậy $3a - 5b = 3.\frac{1}{2} - 5.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 4$.

Bình phương hai vế, giải phương trình, thay các giá trị x tìm được vào phương trình ban đầu xem có thỏa mãn rồi kết luận nghiệm.

Bình phương hai vế phương trình, được:

${x^2} - 4x - 5 = 2{x^2} + 3x + 1$

${x^2} + 7x + 6 = 0$.

Giải phương trình bậc hai trên, được nghiệm x = -1 và x = -6, thay vào phương trình ban đầu thỏa mãn.

Tổng các nghiệm của phương trình là -7.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $ax + by + c = 0$ (${a^2} + {b^2} > 0$) và điểm $M({x_0};{y_0})$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta$, kí hiệu là $d(M,\Delta )$, được tính bởi công thức sau:

$d(M,\Delta ) = \frac{{|a{x_0} + b{y_0} + c|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.

$d(A,\Delta ) = \frac{{|3.1 + 4.2 - 1|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 2$.

Tính tổng số khách hàng đăng kí và giá bán mỗi chiếc áo theo x. Công ty không bị lỗ khi lợi nhuận lớn hơn hoặc bằng chi phí. Tìm x sao cho giá bán mỗi chiếc áo lớn hơn hoặc bằng chi phí sản xuất.

Tổng số khách hàng đăng ký là: 20 + x $\left( {x \ge 0,x \in \mathbb{N}} \right)$.

Giá bán mỗi chiếc áo khi có 20 + x khách hàng là: 130000 – 1000x (đồng).

Công ty không bị lỗ khi và chỉ khi giá bán mỗi chiếc áo không nhỏ hơn chi phí sản xuất một chiếc áo:

$130000 - 1000x \ge 75.000$

$1000x \le 55000$

$x \le 55$.

Giá trị lớn nhất của x để công ty không bị lỗ là x = 55.

Số khách hàng đăng ký nhiều nhất là: 20 + 55 = 75 (khách hàng).

Áp dụng quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai.

Dễ thấy $f(x) = -x^2 + x + 12$ có $\Delta = 49 > 0, a = -1 < 0$ và có hai nghiệm phân biệt $x_1 = -3; x_2 = 4$.

Do đó ta có bảng xét dấu $f(x)$:

Nên bất phương trình $-x^2 + x + 12 > 0$ có tập nghiệm là $S = (-3; 4)$.

Tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng và lập phương trình tổng quát.

Vecto chỉ phương của đường thẳng $AB$ là: $\overrightarrow{AB} = (-4; -3)$.

Vecto pháp tuyến của đường thẳng $AB$ là: $n_{AB} = (-3, 4)$.
Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ là:

$-3(x + 2) + 4(y - 4) = 0 \Leftrightarrow -3x + 4y - 22 = 0$.

Viết phương trình tổng quát của đường tròn, thay tọa độ các điểm thuộc đường tròn vào phương trình, từ đó tìm được các hệ số.

Phương trình đường tròn cần tìm $(C)$ có dạng: $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ $(a^2 + b^2 - c > 0)$.

Có: $A(4; -5), B(2; -1), C(3; -8) \in (C)$

$\{\begin{array}{l}16+25-8a+10b+c=0\\ 4+1-4a+2b+c=0\\ 9+64-6a+16b+c=0\end{array}$$\begin{cases} 16 + 25 - 8a + 10b + c = 0 \\ 4 + 1 - 4a + 2b + c = 0 \\ 9 + 64 - 6a + 16b + c = 0 \end{cases}$

$\{\begin{array}{l}8a-10b-c=41\\ 4a-2b-c=5\\ 6a-16b-c=73\end{array}$$\begin{cases} 8a - 10b - c = 41 \\ 4a - 2b - c = 5 \\ 6a - 16b - c = 73 \end{cases}$

$\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=-5\\ c=1\end{array}$$\begin{cases} a = -1 \\ b = -5 \\ c = 1 \end{cases}$ (thỏa mãn).

Vậy giá trị của biểu thức $T = 3a + b - c = -9$.