Đề giữa kỳ 2 Toán 10 năm 2024 – 2025 trường THPT số 1 TX Sa Pa – Lào Cai

Hàm đa thức có tập xác định là $\mathbb{R}$.

Hàm số trên có tập xác định là $\mathbb{R}$.

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm tới đường thẳng.

${d_{\left( {M;\Delta } \right)}} = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.

Quan sát đồ thị và trả lời.

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm (1; 0) và (3; 0).

Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai.

$f\left( x \right) = - {x^2} + 4x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$.

Mà hệ số a = -1 < 0 nên $$f\left( x \right) = - {x^2} + 4x - 4$$ luôn âm $\forall x \ne 2$.

Tam thức bậc hai có dạng $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ $\left( {a \ne 0} \right)$.

$f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - 5$ là tam thức bậc hai.

Bình phương hai vế.

Bình phương hai vế được ${\left( {\sqrt {3{x^2} - 4x + 1} } \right)^2} = {\left( {\sqrt {x - 2} } \right)^2}$ hay $3{x^2} - 4x + 1 = x - 2$.

Đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ có tâm là I(a; b).

Đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 6x + 4y - 12 = 0$ có tâm là I(3; -2).

Đường tròn tâm I(a; b), bán kính R có phương trình ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$.

Phương trình đường tròn cần tìm là ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 25$.

Dựa vào công thức tọa độ đỉnh của parabol.

Đỉnh parabol của hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ có tọa độ $\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)$.

$d:$$\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.$ có một vecto chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {a;b} \right)$.

$d:$$\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 1 + t\end{array} \right.$ có một vecto chỉ phương là $\overrightarrow {{u_4}} = \left( { - 3;1} \right)$.

Áp dụng quy tắc “trong trái ngoài cùng”.

$- {x^2} + x + 12 \ge 0 \Leftrightarrow - 3 \le x \le 4$.

Tìm ĐKXĐ của hàm số rồi kết luận TXĐ.

ĐKXĐ: $x - 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 3$. Vậy TXĐ là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}$.

Dựa vào lí thuyết về hàm số bậc hai.

a) Đúng. Ta có ${0^2} + 2.0 - 3 = - 3$. Tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình nên A thuộc đồ thị hàm số.

b) Sai. Hàm số bậc hai có hệ số a = 1 > 0, bề lõm hướng lên trên nên hàm số không có giá trị lớn nhất.

c) Đúng. Hàm đa thức bậc hai có tập xác định là $D = \mathbb{R}$.

d) Sai. Đồ thị hàm số là một đường Parabol và cắt trục tung tại một điểm duy nhất.

Áp dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

a) Sai. ${( - 1 + 2)^2} + {(3 - 4)^2} = {1^2} + {( - 1)^2} = 2$. Tọa độ điểm A không thỏa mãn phương trình (C) nên điểm A không thuộc (C).

b) Đúng. Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow n \left( {4;3} \right)$.

c) Đúng. Hai đường thẳng có cùng VTPT và hệ số tự do khác nhau nên song song với nhau.

d) Sai. Đường tròn (C) có tâm I(-2; 4) và bán kính R = 6.

$d(I,\Delta ) = \frac{{|4( - 2) + 3(4) - 5|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{5} \ne 6$.

Bình phương hai vế.

$\sqrt {{x^2} - 4x + 5} = \sqrt {2{x^2} + 3x + 5}$

$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 5 = 2{x^2} + 3x + 5\\2{x^2} + 3x + 5\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow {x^2} + 7x = 0$

$\Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 0\\x = - 7\end{array}$ \right.

Tổng các nghiệm là 0 + (-7) = -7.

Giải bất phương trình $v(t) \ge 8$.

Vận tốc của vật không bé hơn 8 m/s  $\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}{t^2} - 4t + 8 \ge 8\\t > 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}{t^2} - 4t \ge 0\\t > 0\end{array} \right.$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}t \ge 8\\t \le 0\end{array} \right.\\t > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow t \ge 8.

Vậy sau tối thiểu 8 giây thì vận tốc của vật không bé hơn 8 m/s.

$\Delta$ có một vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \(, từ đó tìm một vect pháp tuyến của\) \Delta$.

Lập phương trình đường thẳng.

$\Delta$ có một vecto chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = (3 + 2; - 1 - 3) = (5; - 4)$.

Từ đó, ta có một vecto pháp tuyến của $\Delta$ là $\overrightarrow n = (4;5)$.

$\left( \Delta \right):4(x + 2) + 5(y - 3) = 0 \Leftrightarrow 4x + 5y - 7 = 0$.

Vậy ${a^2} + {b^2} = {4^2} + {5^2} = 41$.

Tìm tung độ đỉnh của parabol.

Tung độ đỉnh của hàm số $y = \frac{{ - 3}}{{1000}}{x^2} + x$ là:

$\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - \left( {{1^2} - 4.\frac{{ - 3}}{{1000}}.0} \right)}}{{4.\frac{{ - 3}}{{1000}}}} = \frac{{250}}{3}$

Vậy độ cao cực đại của vật là $\frac{{250}}{3} \approx 83,3$ (m).

Bình phương hai vế.

$\sqrt {5{x^2} - 4x + 9} = x - 3.$

$\Rightarrow 5{x^2} - 4x + 9 = {(x - 3)^2}$, $x \ge 3$

$\Leftrightarrow 5{x^2} - 4x + 9 = {x^2} - 6x + 9$, $x \ge 3$

$\Leftrightarrow 4{x^2} + 2x = 0$, $x \ge 3$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\\x \ge 3\end{array} \right.$

Vậy phương trình vô nghiệm.

Áp dụng quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai.

YCĐB $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' < 0\\a < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}{(m - 3)^2} - 9\\a = - 1 < 0\end{array} \right.$ \Leftrightarrow {m^2} - 6m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 6.

Diện tích tam giác $AIB$ lớn nhất khi góc $A$ là góc vuông.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB. \sin \widehat{AIB}$.

Diện tích tam giác $AIB$ lớn nhất khi góc $A$ là góc vuông.

Ta có khoảng cách từ $I$ đến $\Delta$ là: $d = 1$.

Gọi $R$ là bán kính của đường tròn.

Theo giả thiết ta có tam giác $IAB$ vuông cân tại I nên:

$AB = 2d = 2$; $R = IA = \frac{AB\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 2$.