Đề giữa học kỳ 2 Toán 10 năm 2024 – 2025 trường THPT Mường Than – Lai Châu

y là hàm số của x nếu mỗi giá trị của x ta nhận được duy nhất 1 giá trị của y.

y = 2x - 1 là hàm số của x.

Tìm ĐKXĐ của hàm số.

ĐKXĐ: $x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1$.

Vậy TXĐ của hàm số là $\left\lbrack {1; + \infty} \right)$.

Thay x = -2 vào công thức, tính y.

$y = \sqrt {{{( - 2)}^2} + 5} = 3$.

Hàm số bậc hai có dạng $y = a{x^2} + bx + c$.

$y = x^{2} + x$ là hàm số bậc hai.

Quan sát hình vẽ.

Phương trình trục đối xứng của Parabol là x = 1.

Quan sát hình vẽ.

Đỉnh của parabol có tọa độ là (2; 1).

Đường thẳng ax + by + c = 0 có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow n = (a;b)$.

Vecto pháp tuyến của (d) là $\overset{\rightarrow}{n_{3}} = \left( {2; - 3} \right)$.

Hai đường thẳng song song có chung vecto pháp tuyến.

Đường thẳng song song với đường thẳng x – 2y – 1 = 0 có dạng x – 2y + c = 0.

Vậy chỉ có đường thẳng x – 2y + 1 = 0 thỏa mãn.

Nếu hai vecto pháp tuyến của hai vecto trên cùng phương thì hai đường thẳng song song, không cùng phương thì hai đường thẳng cắt nhau.

Nếu tích vô hướng của hai vecto trên bằng 0 thì hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Hai vecto pháp tuyến của $d_1$ và $d_2$ lần lượt là $\overrightarrow{n_1} = (2;3)$ và $\overrightarrow{n_2} = (3;-2)$.

Tích vô hướng của hai vecto trên là 2.3 + 3.(-2) = 0, do đó hai vecto trên vuông góc với nhau.

Vậy $d_1$ và $d_2$ cắt nhau và vuông góc với nhau.

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\dfrac{x^{2}}{a^2} + \dfrac{y^{2}}{b^2} = 1$ với a > b > 0.

$\dfrac{x^{2}}{25} + \dfrac{y^{2}}{16} = 1$ là phương trình chính tắc của elip.

Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\dfrac{x^{2}}{a^2} - \dfrac{y^{2}}{b^2} = 1$ với a >0, b > 0.

$\dfrac{x^{2}}{7} - \dfrac{y^{2}}{16} = 1$ là phương trình chính tắc của hypebol.

Phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2 = 2px$ (p > 0).

$y^{2} = x$ là phương trình chính tắc của parabol.

Xét hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ có đồ thị (P):

a) Xét dấu hệ số của ${x^2}$.

b) Giả sử I là đỉnh của (P), khi đó $I\left( { - \frac{b}{{2a}};f\left( { - \frac{b}{{2a}}} \right)} \right)$.

c) Trục đối xứng của (P) là $x = - \frac{b}{{2a}}$.

d) Xét các đặc điểm của đồ thị có đúng khi khảo sát hàm số $y = - {x^2} + 4x$ không.

a) Sai. Hệ số của ${x^2}$ là -1 < 0 nên bề lõm của (P) quay xuống dưới.

b) Đúng. Giả sử I là đỉnh của (P), khi đó ${x_I} = - \frac{4}{{2.( - 1)}} = 2$, ${y_I} = - {2^2} + 4.2 = 4$.

Vậy (P) có đỉnh I(2; 4).

c) Đúng. (P) có trục đối xứng $x = - \frac{4}{{2.( - 1)}} = 2$.

d) Đúng. Quan sát hình vẽ, thấy đồ thị có đỉnh I(2; 4) và trục đối xứng x = -2 và bề lõm quay xuống dưới (đúng).

Mặt khác, đồ thị đi qua điểm (0; 0) và (4; 0).

Thay x = 0 vào phương trình $y = - {x^2} + 4x$ được y = 0. Do đó (0; 0) thuộc (P).

Thay x = 4 vào phương trình $y = - {x^2} + 4x$ được y = 0. Do đó (4; 0) thuộc (P).

Vậy hình vẽ trên đúng là đồ thị của (P).

a) $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)$.

b) Giả sử đường thẳng d có vecto chỉ phương là $\overrightarrow u = (a;b)$. Khi đó, d có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow n = (b; - a)$. Đồng thời, $k\overrightarrow n = (kb; - ka)$ cũng là các vecto pháp tuyến của d.

c) Đường thẳng $\Delta$ đi qua ${M_0}({x_0};{y_0})$ và nhận $\overrightarrow n = (a;b)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình là $a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0$.

d) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $ax + by + c = 0$ (${a^2} + {b^2} > 0$) và điểm $M({x_0};{y_0})$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta$, kí hiệu là $d(M,\Delta )$, được tính bởi công thức sau:

$d(M,\Delta ) = \frac{{|a{x_0} + b{y_0} + c|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.

a) Đúng. $\Delta$ đi qua A, B nên $\overrightarrow {AB} = (2 - 1;1 + 1) = (1;2)$ là một vecto chỉ phương của $\Delta$.

b) Sai. Một vecto pháp tuyến của $\Delta$ là $\overrightarrow u = (2; - 1)$. Ta thấy $\vec n(2;1)$ không cùng phương với $\overrightarrow u = (2; - 1)$ nên $\vec n(2;1)$ không phải vecto pháp tuyến của $\Delta$.

c) Sai. Phương trình tổng quát của $\Delta$:

$2(x - 1) - 1(y + 1) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 3 = 0$.

d) Đúng. $d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {2.( - 3) - 1.1 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = 2\sqrt 5$.

Tính tổng số tiền ông A thuê xe trong 2 ngày đầu và 3 ngày sau.

Số tiền ông A thuê xe 2 ngày đầu là:

1,5.2 = 3 (triệu đồng).

Số tiền ông A thuê xe 3 ngày tiếp theo là:

1,2.3 = 3,6 (triệu đồng).

Số tiền ông A thuê xe cả 5 ngày trên là:

a = 3 + 3,6 = 6,6 (triệu đồng).

Tìm khoảng giá trị x sao cho phần đồ thị nằm phía trên trục hoành và tìm số giá trị nguyên thuộc khoảng đó.

Quan sát đồ thị, thấy $ax^2+ bx + c > 0$, hay phần đồ thị nằm phía trên trục hoành trên khoảng (-1; 3). Số giá trị nguyên thuộc khoảng đó là 3 (gồm x = 0, x = 1, x = 2).

Tìm ĐKXĐ của phương trình rồi bình phương hai vế.

$\sqrt {2{x^2} - x + 3} = x + 1 \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\2{x^2} - x + 3 = {(x + 1)^2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\2{x^2} - x + 3 = {x^2} + 2x + 1\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\{x^2} - 3x + 2 = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array}$ \right..

Tổng các nghiệm của phương trình trên là 2 + 1 = 3.

Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}} = ({a_1};{b_1})$, $\overrightarrow {{n_2}} = ({a_2};{b_2})$. Ta có:

$\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}$.

Hai vecto pháp tuyến của hai đường thẳng trên lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}} = (1;2)$, $\overrightarrow {{n_2}} = (1;1)$.

$\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.2 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} \approx 0,95$.

Sử dụng điều kiện: $\{\begin{array}{l}a>0\\ \mathrm{\Delta }<0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$.

$f(x) = {x^2} + (m + 1)x + 2 - m > 0$, $\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \Delta = {(m + 1)^2} - 4(2 - m) < 0$

$\Leftrightarrow {m^2} + 6m - 7 < 0$

$\Leftrightarrow - 7 < m < 1$.

a) Đường tròn ${x^2} + {y^2} - ax - by + c = 0$ có tâm I(a; b), bán kính $\sqrt {{a^2} + {b^2} - c}$.

b) Lập phương trình đường thẳng qua A, nhận $\overrightarrow {IA}$ làm vecto pháp tuyến.

a) Tâm I(1; -1), bán kính $R = \sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} - ( - 8)} = \sqrt {10}$.

b) Véc tơ pháp tuyến của tiếp tuyến là $\overrightarrow {IA} = (1;3)$.

Phương trình tiếp tuyến: $1(x - 2) + 3(y - 2) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 8 = 0$.

Chọn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp. Lập phương trình parabol từ các điểm thuộc đồ thị, từ đó tìm chiều cao cổng.

Ta vẽ lại parabol và chọn hệ trục toạ độ như Hình. Gọi phương trình của parabol là ${y^2} = 2px$.

Ta có chiều cao của cửa cổng là OH = BK = h, bề rộng của cổng là BD = 10, suy ra BH = 5. Vậy điểm B có toạ độ là (h; 5).

Chiều cao của người đo là AC = 1,6 và khoảng cách từ chân người đo đến chân cổng là BA = 0,5. Suy ra FC = FA - AC = h - 1,6 và EC = BH - AB = 5 - 0,5 = 4,5. Vậy điểm C có toạ độ là (h - 1,6; 4,5).

Ta có hai điểm B và C nằm trên parabol nên thay toạ độ của B và C vào phương trình (P), ta được:

$\{\begin{array}{l}{5}^2=2ph\\ 4,5^2=2p(h-1,6)\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{5^2} = 2ph}\\{4,{5^2} = 2p(h - 1,6)}\end{array}} \right.$

$\Rightarrow 2p = \frac{{{5^2}}}{h} = \frac{{4,{5^2}}}{{h - 1,6}} = \frac{{{5^2} - 4,{5^2}}}{{1,6}}$

$\Rightarrow h = \frac{{1,6 \cdot {5^2}}}{{{5^2} - 4,{5^2}}} \approx 8,42$ (m).

Vậy cổng trường đó cao khoảng 8,42 m.