Đề giữa học kì 2 Toán 10 năm 2024 – 2025 trường THPT Sầm Sơn – Thanh Hóa

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$ vì đồ thị đi lên từ trái sang trên khoảng đó.

Thay tọa độ từng điểm vào hàm số, nếu thỏa mãn thì điểm đó thuộc đồ thị của hàm số.

Ta có $1 = \frac{1}{{2 - 1}}$ nên điểm (2;1) thuộc đồ thị hàm số.

Đường tròn tâm I(a;b), bán kính R có phương trình ${(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}$.

Phương trình đường tròn là $\left( {x + 4} \right)^{2} + \left( {y - 2} \right)^{2} = 81$.

Dựa vào dạng của tam thức bậc hai.

$h(x) = x^{2} - 3x$ là tam thức bậc hai.

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\dfrac{x^{2}}{a^2} + \dfrac{y^{2}}{b^2} = 1$.

$\dfrac{x^{2}}{9} + \dfrac{y^{2}}{1} = 1$ là phương trình chính tắc của một elip.

Trục đối xứng của parabol $y = a{x^2} + bx + c$ là $x = - \frac{b}{{2a}}$.

Trục đối xứng cần tìm là $x = - \frac{6}{{2.2}} = - \frac{3}{2}$.

Parabol ${y^2} = 2px$ có tham số tiêu là $p$.

Ta có $2p = 5 \Rightarrow p = \frac{5}{2}$.

Đường tròn phương trình ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ có tâm là I(a;b).

Tâm của đường tròn (C) là $\left( {2; - 3} \right)$.

Đường thẳng có phương trình tổng quát ax + by + c =0 có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow n = (a;b)$.

$\left( {1;2} \right)$ là một vecto pháp tuyến của $d$.

$\sqrt {f(x)} = g(x) \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}g(x) \ge 0\\f(x) = {g^2}(x)\end{array} \right.$

$\sqrt {x - 1} = x - 3 \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\x - 1 = {(x - 3)^2}\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right.$ \Leftrightarrow x = 5.

Nếu $\overrightarrow {{n_1}}$ và $\overrightarrow {{n_2}}$ cùng phương thì ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ song song hoặc trùng nhau. Lấy một điểm P tùy ý trên ${\Delta _1}$.

+ Nếu $P \in {\Delta _2}$ thì ${\Delta _1} \equiv {\Delta _2}$.

+ Nếu $P \notin {\Delta _2}$ thì ${\Delta _1}//{\Delta _2}$.

Nếu $\overrightarrow {{n_1}}$ và $\overrightarrow {{n_2}}$ không cùng phương thì ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ cắt nhau tại một điểm $M({x_0};{y_0})$ là nghiệm của hệ phương trình

$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_1=0\\ a_{2}x+b_{2}y+c_2=0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\end{array} \right.$.

Ta có $\frac{4}{2} = \frac{{ - 2}}{{ - 1}} = \frac{6}{3} = 2$ nên hai đường thẳng trên trùng nhau.

Hàm số bậc hai không đồng biến trên R.

Hàm số bậc nhất đồng biến trên R khi hệ số của x dương.

Hàm số y = ax + b đồng biến trên R khi a > 0 nên y = 3x + 2 đồng biến trên R.

Quan sát đồ thị hàm số và nhận xét.

a) Đúng. Đồ thị hàm số $y = f(x)$ có đỉnh là $I(1; -1)$.

b) Sai. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 1)$ và đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$.

c) Sai. Quan sát ĐTHS $y = f(x)$ thấy tập nghiệm của bất phương trình $ax^2 + bx + c \leq 0$ là $[0; 2]$ gồm 2 giá trị nguyên dương.

d) Đúng. Giá trị của biểu thức $T = a + b + c - 2025$ là -2026 vì $T = f(1) - 2025 = -1 - 2025 = -2026$.

Áp dụng các phép toán tọa độ trong mặt phẳng.

a) Sai. Đường thẳng $d$ có 1 VTCP là $\overrightarrow {u}(3; 4)$.

b) Đúng. Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1; 2)$, bán kính $R = 5$.

c) Đúng.

Cách 1: Nhận thấy đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\Delta : 3x + 4y + 14 = 0$ vuông góc với đường thẳng $d$.

Lại có

$d_{(I,\Delta)} = \frac{|3.1 + 4.2 + 14|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 5 = R$ nên $\Delta$ là một tiếp tuyến của (C).

Cách 2: Gọi $\Delta$ là tiếp tuyến của (C) và vuông góc với $d$. Khi đó $\Delta : 3x + 4y + c = 0$.

Vì $\Delta$ là tiếp tuyến của (C) nên

$d_{(I,\Delta)} = R \Leftrightarrow \frac{|3.1 + 4.2 + c|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 5 \Leftrightarrow$$\begin{cases} c = 14 \\ c = -36 \end{cases}$

d) Đúng.

Vì (C') tâm $I'(1; -1)$ tiếp xúc với đường thẳng d nên (C') có bán kính là

$R' = d_{(I',d)} = \frac{|4.1 - 3.(-1) + 3|}{\sqrt{(-3)^2 + 4^2}} = 2$.

Phương trình của đường tròn (C') tâm $I'(1; -1)$, bán kính $R' = 2$ là

$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 4$.

$(C')$ tâm $I'(1; -1)$ tiếp xúc với đường thẳng d nên (C') có bán kính là $R' = d_{(I',d)} = \frac{|4.1 - 3.(-1) + 3|}{\sqrt{(-3)^2 + 4^2}} = 2$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng ax + by + c = 0.

+ Phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1;2)$ và song song với đường thẳng $2x + y - 2025 = 0$ là

$- 2(x - 1) - 1(y - 2) = 0 \Leftrightarrow - 2x - y + 4 = 0$

$\Rightarrow$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{b = - 1}\\{c = 4}\end{array}} \right.$

+ Vậy $S = b - c = -5$

Áp dụng công thức $b = \sqrt{a^2 - c^2}$.

Theo đề ra ta có $a^2 = 25, c^2 = 16 \Rightarrow b = \sqrt{a^2 - c^2} = 3$.

+ Vậy $b - a = -2$.

Lập phương trình đường tròn, suy ra bán kính, từ đó tính chiều dài cây cầu áp dụng định lí Pythagoras.

+ Giả sử phương trình đường tròn có dạng là $(C):{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ $({a^2} + {b^2} - c > 0)$.

+ Theo để bài ta có hệ sau:

$\{\begin{array}{l}A(0;0)\in (C)\\ \begin{array}{l}B(0;600)\in (C)\\ C(800;0)\in (C)\end{array}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-1200b+c=-360000\\ \begin{array}{l}-1600a+c=-640000\\ c=0\end{array}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=400\\ b=300\\ c=0\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{A(0;0) \in (C)}\\\begin{array}{l}B(0;600) \in (C)\\C(800;0) \in (C)\end{array}\end{array}} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ - 1200b + c = - 360000}\\\begin{array}{l} - 1600a + c = - 640000\\c = 0\end{array}\end{array}} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a = 400}\\{b = 300}\\{c = 0}\end{array}} \right.$

$\Rightarrow (C)$ có bán kính $R = \sqrt {{{400}^2} + {{300}^2}} = 500$.

+ Gọi chiều dài cây cầu là $MN$, khoảng cách từ tâm hồ đến cầu là $IH$.

Ta có: $MN = 2MH = 2\sqrt {{M^2} - I{H^2}} = 2\sqrt {{{500}^2} - {{50}^2}} \approx 995$ (m).

+ Vậy độ dài cây cầu khoảng $995$ m.

Gọi x (0 < x < 10) là chiều rộng của khu vườn.

Lập bất phương trình biểu diễn chi phí thi công theo x. Giải bất phương trình và kết luận x.

Gọi x (0 < x < 10) là chiều rộng của khu vườn.

Khi đó : Diện tích phần đất trồng rau là $x^2$ $( m^2 )$.

Diện tích hồ nuôi cá là $10x - x^2$ $( m^2 )$.

Theo giả thiết đề ra ta có bất phương trình:

$60000x^2 + 135000(10x - x^2) \leq 5400000$

$\Leftrightarrow -75000x^2 + 1350000x - 5400000 \leq 0 \Leftrightarrow x \leq 6 \text{(nhận)} \lor x \geq 12 \text{(loại)}$

$\Rightarrow 0 < x \leq 6$.

Vậy chiều rộng khu vườn lớn nhất có thể là $6$ m.

Tìm ĐKXĐ của hàm số.

+ ĐKXĐ:

$-x^2 + 2x + 3 \geq 0$.

$\Leftrightarrow x \in [-1; 3]$.

+ TXĐ $D = [-1; 3]$.

Gọi chiều dài đoạn dây điện kéo từ A đến B là $AB = x$ (x km, $0 \le x < 5$).

Biểu diễn tổng tiền công theo x. Giải phương trình tìm x.

+ Gọi chiều dài đoạn dây điện kéo từ A đến B là $AB = x$ (x km, $0 \le x < 5$).

+ Khi đó chiều dài dây điện kéo từ B đến C là $BC = \sqrt {1 + {{(5 - x)}^2}} = \sqrt {{x^2} - 10x + 26}$.

+ Vì tổng tiền công là 13 triệu nên ta có PT: $3\sqrt {{x^2} - 10x + 26} + 2x = 13$.

+ Theo đề bài ta có $3\sqrt {{x^2} - 10x + 26} + 2x = 13$

$\Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} - 10x + 26} = 13 - 2x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{13 - 2x \ge 0}\\{9\left( {{x^2} - 10x + 26} \right) = 169 - 52x + 4{x^2}}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \le \frac{{13}}{2}}\\{5{x^2} - 38x + 65 = 0}\end{array}} \right.$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{{13}}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = \frac{{13}}{5}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{13}}{5}.

+ Khi đó $AB = x = \frac{{13}}{5} \Rightarrow BC = \frac{{13}}{5}$.

+ Vậy tổng chiều dài dây điện đã kéo từ A đến C là: $AB + BC = \frac{{26}}{5}$.

Áp dụng các phép toán vecto trên mặt phẳng tọa độ.

+ Do $A \in {d_1}$ nên giả sử $A(a;1 - a)$ với $a > 0$. Theo giả thiết bài toán, ta có

${S_{ABCD}} = 5 \Leftrightarrow d(A,{d_2}) = \sqrt 5 \Leftrightarrow \frac{{|2a - (1 - a) + 3|}}{{\sqrt 5 }} = \sqrt 5 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}a = 1(tm)\\a = - \frac{7}{3}(l)\end{array}$ \right.

+ Với $a = 1$, suy ra $A(1;0)$.

Đường thẳng $AD$ đi qua $A$ và vuông góc với $CD$ nên có phương trình $AD:x + 2y - 1 = 0$.

+ Tọa độ điểm $D$ là nghiệm của hệ:

$\{\begin{array}{l}x+2y-1=0\\ 2x-y+3=0\end{array}\Rightarrow D(-1;1)\mathrm{.}$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + 2y - 1 = 0}\\{2x - y + 3 = 0}\end{array}} \right.$ \Rightarrow D( - 1;1).

+ Do $C \in {d_2}$ nên $C(c;2c + 3)$. Suy ra $\overrightarrow {CD} = ( - 1 - c; - 2 - 2c)$.

Ta có

$CD = \sqrt 5 \Leftrightarrow \sqrt {{{( - 1 - c)}^2} + {{( - 2 - 2c)}^2}} = \sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {1 - c} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}c = 0(l)\\c = - 2(tm)\end{array}$ \right.

Suy ra C (-2; -1).

+ Goi I là trung điểm đoạn AB, ta có $I\left( {0;\frac{1}{2}} \right)$. Khi đó

$P = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} } \right| + 2MC = 2MI + 2MC = 2(MI + MC)$.

+ Với M thuộc Ox, I và C nằm về hai phía so với trục Ox thì ta luôn có $P = 2(MI + MC) \ge 2IC$, dấu “=” xảy ra khi $M = Ox \cap IC$.

+ PTTQ của IC là: $- 3x + 4y - 2 = 0$.

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:

$\{\begin{array}{l}-3x+4y-2=0\\ y=0\end{array}\Rightarrow M\left(-\frac{2}{3};0\right)\mathrm{.}$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ - 3x + 4y - 2 = 0}\\{y = 0}\end{array}} \right.$ \Rightarrow M\left( { - \frac{2}{3};0} \right).

+ Vậy $M\left( { - \frac{2}{3};0} \right)$.