Đề thi giữa học kì 2 Toán 10 - Đề số 5

Quan sát hình vẽ.

f(0) = -3.

Tìm ĐKXĐ của hàm số.

ĐKXĐ: $x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 2$.

Vậy $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}$.

Hàm số bậc hai có dạng $y = ax^{2} + bx + c$.

$y = x^{2} - 2x + 1$ là hàm số bậc hai.

Hoành độ đỉnh parabol là ${x_0} = - \frac{b}{{2a}}$.

Tọa độ đỉnh parabol là $\left( {{x_0};f({x_0})} \right)$.

Hoành độ đỉnh parabol là ${x_0} = - \frac{2}{{2.( - 1)}} = 1$.

Tọa độ đỉnh parabol là $\left( {1; - 2} \right)$.

Quan sát đồ thị hàm số.

$f(x) > 0$ khi $x \in \left( {- \infty;1} \right) \cup \left( {2; + \infty} \right)$.

Áp dụng quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai.

Bảng xét dấu sau là của tam thức bậc hai $f\left( x \right) = - {x^2} + 5x - 4$ vì tam thức trên có hai nghiệm x = 1, x = 4 và xét dấu đúng với quy tắc trong trái ngoài cùng.

Sử dụng quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai.

$- 2{x^2} + 3x - 7 = 0$ vô nghiệm vì $\Delta  < 0$, mặt khác a = -2 < 0 nên tam thức bậc hai $- 2{x^2} + 3x - 7$ luôn âm với mọi x. Vậy bất phương trình $- 2{x^2} + 3x - 7 \ge 0$ vô nghiệm.

Bình phương hai vế, giải phương trình rồi thay các giá trị x tìm được vào phương trình ban đầu để kết luận nghiệm.

$\sqrt {2{x^2} - 6x + 4} = \sqrt {{x^2} - 2x + 1}$

$2{x^2} - 6x + 4 = {x^2} - 2x + 1$

${x^2} - 4x + 3 = 0$.

Suy ra x = 1 hoặc x = 3. Thay vào phương trình ban đầu thấy đều thỏa mãn.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 3.

Từ phương trình tổng quát $ax + by + c = 0$, ta xác định được vecto pháp tuyến $\overrightarrow n = (a;b)$.

Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là $\overrightarrow n = \left( { - 2;3} \right)$.

Trong mặt phẳng $Oxy$, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A\left( {x_0;y_0} \right)$ và nhận $\overset{\rightarrow}{u} = \left( {a;b} \right)$ làm véctơ chỉ phương là $\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x = x_0 + at} \\ {y = y_0 + bt} \end{array} \right.$.

Trong mặt phẳng $Oxy$, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A\left( {- 2;1} \right)$ và nhận $\overset{\rightarrow}{u} = \left( {- 1;3} \right)$ làm véctơ chỉ phương là $\{\begin{array}{l}x=-2-t\\ y=1+3t\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x = - 2 - t} \\ {y = 1 + 3t} \end{array} \right.$.

Dựa vào vecto pháp tuyến của hai đường thẳng.

Vecto pháp tuyến của hai đường thẳng lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}} = (3; - 2)$ và $\overrightarrow {{n_2}} = (3; - 1)$.

Vì $\frac{3}{3} \ne \frac{{ - 2}}{1}$ nên hai đường thẳng cắt nhau.

Tích vô hướng của hai vecto pháp tuyến trên không bằng nhau nên chúng không vuông góc.

Khoảng cách từ điểm $M\left(x_o ; y_0\right)$ đến đường thẳng $\Delta: a x+b y+c=0\left(a^2+b^2>0\right)$ là:

$d(M, \Delta)=\frac{\left|a x_o+b y_o+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Khoảng cách từ điểm $A\left( 1;3 \right)$ đến đường thẳng $\Delta :3x+4y-5=0$ bằng:

$d(A,\Delta )=\frac{|3.1+4.3-5|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=2$.

Quan sát đồ thị và trả lời. Từ các điểm thuộc đồ thị, tìm hệ số a, b, c. Thay tọa độ điểm M vào phương trình của (P), nếu thỏa mãn thì (P) đi qua M.

a) Sai. (P) có tung độ đỉnh bằng 2.

b) Đúng. $\forall x < 0\Rightarrow y > 2$.

c) Sai. (P) cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ trái dấu.

d) Đúng. (P) đi qua điểm có tọa độ (0; 2) và đỉnh có tọa độ (2; -1), ta có hệ:

$\{\begin{array}{l}2=a{.0}^2+b.0+c\\ -1=a{.2}^2+b.2+c\\ -\frac{b}{2a}=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{3}{4}\\ b=-3\\ c=2\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}2 = a{.0^2} + b.0 + c\\ - 1 = a{.2^2} + b.2 + c\\ - \frac{b}{{2a}} = 2\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{4}\\b = - 3\\c = 2\end{array} \right.$

$\Rightarrow (P):y = \frac{3}{4}{x^2} - 3x + 2$.

Ta có $\frac{3}{4}{.3^2} - 3.3 + 2 = - \frac{1}{4}$. Vậy (P) đi qua M.

Áp dụng các công thức liên quan đến phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ.

a) Đúng. $\Delta_{1}$ có một véctơ pháp tuyến là $\overset{\rightarrow}{n}\left( {2; - 1} \right)$.

b) Sai. $\overset{\rightarrow}{u}\left( {5;1} \right)$ là một vecto pháp tuyến của $\Delta_{2}$.

c) Đúng. $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {{n_1},{n_2}} \right)} \right|$

$= \frac{{\left| {2.5 - 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2}} .\sqrt {{5^2} + {1^2}} }} = \frac{{9\sqrt {130} }}{{130}}$.

d) Sai. M thuộc ${\Delta _2}$ nên ta có $M\left( {{x_0};1 - 5{x_0}} \right)$.

$d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = \sqrt 5 \Leftrightarrow \frac{{\left| {2{x_0} - (1 - 5{x_0}) + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \sqrt 5$

$\Leftrightarrow \left| {7{x_0} + 2} \right| = 5 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}{x_0} = \frac{3}{7}\\{x_0} = - 1\end{array}$ \right.

Vì hoành độ M nguyên nên ${x_0} = - 1 \Rightarrow {y_0} = 1 - 5.( - 1) = 6$.

Vậy ${x_0} + {y_0} = - 1 + 6 = 5$.

Gọi số lần giảm giá là $x$ $\left( {x \in \mathbb{N}} \right)$.

Biểu diễn lợi nhuận f(x) của cửa hàng theo $x$.

Tìm $x$ để f(x) đạt giá trị lớn nhất.

Gọi số lần giảm giá là $x$ $\left( {x \in \mathbb{N}} \right)$.

Giá bán một máy tính khi đó là $18 - 0,5x$ (triệu đồng).

Số máy tính bán được là $20 + 5x$ (chiếc).

Doanh thu trong một tháng là:

$\left( {18 - 0,5x} \right)\left( {20 + 5x} \right) =  - 2,5{x^2} + 80x + 360$ (triệu đồng).

Chi phí nhập máy tính là:

$15\left( {20 + 5x} \right) = 75x + 300$ (triệu đồng).

Lợi nhuận của cửa hàng là:

$\left( { - 2,5{x^2} + 80x + 360} \right) - \left( {75x + 300} \right)$

$=  - 2,5{x^2} + 5x + 60 = f(x)$.

Lợi nhuận lớn là là giá trị lớn nhất của f(x).

Đồ thị f(x) là một parabol có bề lõm hướng xuống dưới (vì a = -2,5 < 0), do đó giá trị lớn nhất của f(x) là tung độ đỉnh của parabol.

Hoành độ đỉnh parabol là:

$x =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{5}{{2.( - 2,5)}} = 1$.

Vậy khi x = 1 hay giá bán mỗi máy tính là 17,5 triệu đồng thì lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Gọi AM = x. Tính thời gian người đó đi theo x và ứng dụng giải phương trình quy về phương trình bậc hai để giải.

Ta có 1 giờ 14 phút = $\frac{37}{30}$ giờ. Gọi AM = x (km; x > 6).

Suy ra thời gian đi từ A đến M là $\frac{x}{10}$ (giờ).

Khi đó $BM = \sqrt{x^2 - 36}$ và $CM = 15 - \sqrt{x^2 - 36}$ (km).

Thời gian đi từ M đến C là $\frac{15 - \sqrt{x^2 - 36}}{30}$ (giờ).

Theo giả thiết ta có phương trình:

$\frac{x}{10} + \frac{15 - \sqrt{x^2 - 36}}{30} = \frac{37}{30}$.

Giải phương trình ta được x = 10 (km).

Do đó tổng quãng đường phải đi là:

$AM + MC = 10 + \left(15 - \sqrt{10^2 - 36}\right) = 17$ (km).

Biểu diễn tọa độ điểm M và độ dài AM theo t. Tìm t để AM nhỏ nhất.

$M \in \Delta \Rightarrow M(3+2t;-t)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM} = (2t;-t-10)$.

$AM = \sqrt{(2t)^2 + (-t-10)^2}$

$= \sqrt{5t^2 + 20t + 100}$

$= \sqrt{5(t+2)^2 + 80} \geq \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.

Vậy AM ngắn nhất là $4\sqrt{5}$ khi $t = -2$

$\Rightarrow M(-1;2) \Rightarrow S = 1$.

Tìm vectơ pháp tuyến của AB, AC và áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng.

$\overrightarrow{AB} = (0;46)$, suy ra vectơ pháp tuyến của AB là $n_{AB} = (1;0)$.

$\overrightarrow{AC} = (35;46)$, suy ra vectơ pháp tuyến của AC là: $n_{AC} = (46;-35)$.

$\cos A = \cos(AB, AC) = \frac{|1.46 + 0.(-35)|}{\sqrt{1^2 + 0^2} . \sqrt{46^2 + (-35)^2}} = \frac{46}{\sqrt{3341}}$

$\Rightarrow \widehat{A} \approx 37^o$.

Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai.

Ta có $\left. 3x^{2} - 2x - 8 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} {x = - \dfrac{4}{3}} \\ {x = 2} \end{array}$ \right. \right.

Bảng xét dấu:

Suy ra $\left. 3x^{2} - 2x - 8 > 0\Leftrightarrow x \in \left( {- \infty; - \dfrac{4}{3}} \right) \cup \left( {2; + \infty} \right) \right.$ và $\left. 3x^{2} - 2x - 8 < 0\Leftrightarrow x \in \left( {- \dfrac{4}{3};2} \right) \right.$.

Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai để giải.

Xét tam thức bậc hai $f(x) = -x^2 + 2(m+1)x - m^2 + m$ có:

$\Delta' = (m+1)^2 - (-1) \cdot (-m^2 + m) = 3m + 1$ và $a = -1 < 0$.

Để $f(x) < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ thì $\Delta' = 3m + 1 < 0$ suy ra $m < \frac{-1}{3}$.

+ Phương trình tổng quát đường thẳng đi qua $M\left( {{x_1},{y_1}} \right)$ nhận $\overrightarrow {{a_1}}  = \left( {a;b} \right)$ là vecto pháp tuyến là: $a\left( {x - {x_1}} \right) + b\left( {y - {y_1}} \right) = 0$

+ Phương trình tham số của đường thẳng đi qua $A\left( {a,b} \right)$, nhận $\overrightarrow v  = \left( {c,d} \right)$ là vecto chỉ phương: $\{\begin{array}{l}x=a+ct\\ y=b+dt\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x = a + ct\\y = b + dt\end{array} \right.$

+ Phương trình $y =  - 2x + 3 \Rightarrow$ phương trình tổng quát $2x + y - 3 = 0$

+ Phương trình $2x + y - 3 = 0$ có vetor pháp tuyến là $\overrightarrow n  = \left( {2;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( {1; - 2} \right)$

Phương trình d có $\overrightarrow u (1; - 2)$ và đi qua điểm $A\left( {0;3} \right)$

Suy ra, phương trình tham số của đường thẳng d: $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=3-2t\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3 - 2t\end{array} \right.$