Đề thi giữa học kì 2 Toán 10 - Đề số 4

Thay x = 3 vào công thức hàm số.

$f(3) = \sqrt {5.3 + 1} = 4$.

Hàm đa thức có tập xác định là ${\rm{D}} = \mathbb{R}$.

Hàm số $y = 3{x^2} + x - 4$ có tập xác định là ${\rm{D}} = \mathbb{R}$.

Hàm số bậc hai có dạng $y=ax^2+bx+c$.

$y = - 2x^{2} + 3x + 1$ là hàm số bậc hai.

Tọa độ đỉnh của parabol $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c$ là $I\left( { - \frac{b}{{2a}};f\left( { - \frac{b}{{2a}}} \right)} \right)$.

${x_I} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 2}}{{2.3}} = \frac{1}{3} \Rightarrow {y_I} = 3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} - 2.\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.

Quan sát đồ thị.

Nghiệm của bất phương trình $f(x) > 0$ là là các giá trị của x sao cho đồ thị nằm phía trên trục hoành.

Do đó nghiệm là $x \in \left( {- \infty\,;\, 0} \right) \cup \left( {2\,;\, + \infty} \right)$.

Áp dụng quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai.

Tam thức bậc hai f(x) có nghiệm x = -1 và x = 4.

Hệ số của ${x^2}$ là -1 < 0 nên tam thức mang dấu âm ngoài khoảng (1; 4), mang dấu dương trong khoảng (1; 4).

Áp dụng quy tắc “trong trái, ngoài cùng”.

$- {x^2} - 5x + 6 \ge 0 \Leftrightarrow - 6 \le x \le 1$.

Tìm ĐKXĐ của hàm số và bình phương hai vế để giải.

$\sqrt {3 - x} = \sqrt {x + 1} \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}3 - x > 0\\3 - x = x + 1\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}x < 3\\x = 1\end{array} \right.$ \Leftrightarrow x = 1.

Đường thẳng ax + by + c = 0 có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow n = (a;b)$.

Vecto pháp tuyến của $\Delta$ là $\overrightarrow n = (4; - 7)$.

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$, nhận $\overrightarrow u = (a;b)$ làm vecto chỉ phương là $\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.$ $\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)$.

Phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua điểm $M\left( {- 2;3} \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u}\left( {3; - 4} \right)$ là $\{\begin{array}{l}x=-2+3t\\ y=3-4t\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x = - 2 + 3t} \\ {y = 3 - 4t} \end{array} \right.$.

Xét tỉ lệ các hệ số tương ứng của phương trình đường thẳng.

Ta có $\frac{3}{1} = \frac{{ - 6}}{{ - 2}} \ne \frac{{ - 9}}{3}$ nên d và d’ song song với nhau.

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm $M({x_M};{y_M})$ đến đường thẳng $\Delta :ax + by + c = 0$:

$d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {a{x_M} + b{y_M} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.

$d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {3.( - 2) - 4.1 - 10} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2}} }} = 4$.

Quan sát đặc điểm của đồ thị và trả lời.

a) Đúng. Parabol có toạ độ đỉnh I(2; -1), trục đối xứng x = 2.

b) Đúng. Khi $x \in ( - \infty;1) \cup (3; + \infty)$ thì đồ thị nằm phía trên của trục hoành, do đó f(x) > 0.

c) Sai. Hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty;2)$; đồng biến trên khoảng $(2; + \infty)$.

d) Đúng. Đồ thị có bề lõm hướng lên trên nên hệ số a > 0.

Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto trong mặt phẳng.

a) Đúng. $\overrightarrow {AB} = ( - 5; - 2)$ là một VTCP của $\Delta$, từ đó ta có một VTPT của $\Delta$ là $\overrightarrow {{n_\Delta }} = (2; - 5)$.

$\Delta$: $2(x - 5) - 5(y - 0) = 0 \Leftrightarrow 2x - 5y - 10 = 0$.

b) Đúng. d có một VTCP là $\overrightarrow u = ( - 3;4)$, từ đó suy ra một VTPT của d là $\overrightarrow {{n_d}} = (4;3)$.

Vì $\overrightarrow {{n_\Delta }} = (2; - 5)$ và $\overrightarrow {{n_d}} = (4;3)$ không cùng phương nên $\Delta$ và d cắt nhau.

c) Sai. $\cos \alpha = \frac{{\left| {2.4 - 5.3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 5)}^2}} .\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{7}{{5\sqrt {29} }} \Rightarrow \alpha \approx {75^o} > {70^o}$.

d) Đúng. Phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

$4(x - 1) + 3(y - 5) = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y - 19 = 0$.

$d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {4.5 + 3.0 - 19} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{5}$.

Gắn hệ trục tọa độ cho cổng parabol, lập phương trình parabol thể hiện cổng, từ đó tính chiều cao cổng.

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Tọa độ các điểm lần lượt là: B(– 4,5; 0); C(4,5; 0).

Vì BK = 0,5 m nên OK = 4,5 – 0,5 = 4 m. Do đó M(4; 1,6).

Cổng có hình parabol nên gọi phương trình hàm số là $y = a{x^2} + bx + c$ (a ≠ 0) (1).

Điểm B thuộc parabol nên thay tọa độ điểm B vào (1) ta được:

$a{( - 4,5)^2} + b( - 4,5) + c = 0 \Leftrightarrow 20,25a - 4,5b + c = 0$ (2).

Điểm C thuộc parabol nên thay tọa độ điểm C vào (1) ta được:

$a{( 4,5)^2} + b( 4,5) + c = 0 \Leftrightarrow 20,25a + 4,5b + c = 0$ (3).

Điểm M thuộc parabol nên thay tọa độ điểm M vào (1) ta được:

$1,6 = a{.4^2} + b.4 + c \Leftrightarrow 16a + 4b + c = 0$ (4).

Từ (2), (3) và (4) ta có hệ:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{20,25 - 4,5b + c = 0}\\{20,25 + 4,5b + c = 0}\\{16a + 4b + c = 1,6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a =  -  \frac{{32}}{{85}}}\\{b = 0}\\{c = \frac{{648}}{{85}}}\end{array}} \right.} \right.$

Suy ra parabol cần tìm là $y = \frac{{ - 32}}{{85}}{x^2} + \frac{{648}}{{85}}$.

Điểm N là điểm đỉnh của parabol thuộc vào trục tung Oy nên hoành độ điểm N bằng 0.

Thay x = 0 vào hàm số ta được $y = \frac{{648}}{{85}}$, đó cũng chính là chiều cao của cổng.

Vậy chiều cao của cổng khoảng 7,6 m.

Áp dụng định lí Thales, ứng dụng giải phương trình quy về phương trình bậc hai để tính.

Đặt AB = x > 0. Xét tam giác ABC vuông tại B có:

$AC = \sqrt{x^2 + 4^2} = \sqrt{x^2 + 16}$.

Theo tính chất định lí Ta-lét, ta có:

$\frac{AC}{AB} = \frac{CE}{BD} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x^2 + 16}}{x} = \frac{5}{3}$

$\Leftrightarrow 3\sqrt{x^2 + 16} = 5x$

$\Leftrightarrow$$\begin{cases} 5x \geq 0 \\ 9(x^2 + 16) = 25x^2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow$$\begin{cases} x \geq 0 \\ 16x^2 = 144 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x = 3$.

Vậy hai vị trí A, B cách nhau 3 m.

Biểu diễn tọa độ điểm I, $\vec{IA}$, $\vec{IA}$ theo t. Vì ABCD là hình thoi nên $\vec{IA}.\vec{IB} = 0$, tìm t và kết luận tọa độ điểm C.

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo. Vì I thuộc $\Delta$ nên giả sử I(3t; t).

Khi đó IA = (-3t; 2 - t), IB = (4 - 3t; 3 - t).

Vì tứ giác ABCD là hình thoi nên $\overrightarrow{IA} . \overrightarrow{IB} = 0$

$\Leftrightarrow (-3t)(4 - 3t) + (2 - t)(3 - t) = 0$

$\Leftrightarrow 10t^2 - 17t + 6 = 0$.

Suy ra $t = \frac{1}{2}$ hoặc $t = \frac{6}{5}$.

Với $t = \frac{1}{2}$ ta có:

$I\left(\frac{3}{2}; \frac{1}{2}\right) \Rightarrow C(3; -1)$ (nhận).

Với $t = \frac{6}{5}$ ta có:

$I\left(\frac{18}{5}; \frac{6}{5}\right) \Rightarrow C\left(\frac{36}{5}; \frac{2}{5}\right)$ (loại).

Vậy có 1 điểm C có tọa độ nguyên.

Biểu diễn vị trí tàu B và tính khoảng cách giữa hai tàu theo t. Tìm t để khoảng cách đó nhỏ nhất.

Khi tàu A đứng yên, vị trí ban đầu của nó có tọa độ P(3; -4); vị trí tàu B ứng với thời gian t là Q(4 - 30t; 3 - 40t).

$PQ = \sqrt{(1 - 30t)^2 + (7 - 40t)^2}$

$= \sqrt{2500t^2 - 620t + 50}$.

Đoạn PQ ngắn nhất ứng với:

$t = -\frac{b}{2a} = -\frac{620}{2 . 2500} = -\frac{31}{500} = 0,124$ (giờ).

$PQ_{\text{min}} = \sqrt{2500 . (0,124)^2 - 620 . (0,124) + 50}$

$= \frac{17}{5} = 3,4$ (km).

Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai.

Ta có $\Delta = 0$, nghiệm kép $x_{0} = \dfrac{3}{2}$ và hệ số a = 2 > 0 nên $2x^{2} - 6x + \dfrac{9}{2} > 0$ $\forall x \in {\mathbb{R}}\backslash\left\{ \dfrac{3}{2} \right\}$.

Áp dụng quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai.

YCĐB $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' < 0\\a < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}{(m - 3)^2} - 9\\a = - 1 < 0\end{array} \right.$ \Leftrightarrow {m^2} - 6m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 6.

Nếu $M({x_M};{y_M})$ là trung điểm đoạn thẳng AB thì ${x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}$; ${y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua ${M_0}({x_0};{y_0})$ và nhận $\overrightarrow n = (a;b)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình là $a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0$.

I là trung điểm MN $\Rightarrow I(1;1)$.

Phương trình đường trung trực của đoạn $MN$ qua $I(1;1)$ nhận $\overrightarrow{MN} = (6;-4)$ là vectơ pháp tuyến có dạng:

$6(x-1) - 4(y-1) = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y - 1 = 0$.