Đề thi giữa học kì 2 Toán 10 - Đề số 3

Quan sát bảng dữ liệu và nhận xét.

Doanh thu của cửa hàng tháng 11 là 50,2 triệu đồng.

Tìm ĐKXĐ của hàm số rồi kết luận TXĐ.

ĐKXĐ: $x + 2 \ne 0 \Rightarrow x \ne - 2 \Rightarrow D = R\backslash \{ - 2\}$.

Hàm số bậc hai có dạng $y = a{x^2} + bx + c$.

$y = {x^2} - 4x + 3$ là hàm số bậc hai.

Trục đối xứng của đồ thị hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ có phương trình $x = - \frac{b}{{2a}}$.

Parabol $y = {x^2} + 4x - 5$ có trục đối xứng là đường thẳng $x = - \frac{4}{{2.1}} = - 2$.

Xét dấu của a dựa vào hướng bề lõm của đồ thị, xét dấu của $\Delta$ dựa vào số giao điểm với trục hoành.

Đồ thị hướng bề lõm lên trên, cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt nên $a > 0,\Delta  > 0$.

Áp dụng quy tắc "trong trái, ngoài cùng".

Theo bảng xét dấu, f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt là x = -2 và x = 3. Ta loại đáp án B và D.

Theo quy tắc “trong trái, ngoài cùng”, ta suy ra hệ số a > 0. Loại đáp án C.

Áp dụng quy tắc xét dấu của bất phương trình bậc hai.

${x^2} - x - 12 \ge 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x \ge 4\\x \le  - 3\end{array}$ \right..

Bình phương hai vế.

$\sqrt {{x^2} - 3x} = \sqrt {x - 3} \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x = x - 3\\x - 3 \ge 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 3 = 0\\x \ge 3\end{array} \right.$ \Leftrightarrow x = 3.

Từ phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=x_0+mt\\ y=y_0+nt\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + mt\\y = {y_0} + nt\end{array} \right.$, ta xác định được vecto chỉ phương $\overrightarrow u = (m;n)$.

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d:$$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.$ là $\overrightarrow d = \left( { - 2;3} \right)$.

Từ phương trình tham số, xác định VTCP của d và 1 điểm thuộc d, từ đó suy ra VTPT của d và viết phương trình tổng quát.

d có một VTCP là $\overrightarrow u = (1; - 2)$ nên suy ra một VTPT là $\overrightarrow n = (2;1)$.

d đi qua điểm M(5; -9), nhận $\overrightarrow n = (2;1)$ làm VTPT nên có phương trình tổng quát:

$2(x - 5) + 1(y + 9) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 1 = 0$.

Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}}$, $\overrightarrow {{u_2}}$. Khi đó:

a) ${\Delta _1}$ cắt ${\Delta _2}$ khi và chỉ khi $\overrightarrow {{u_1}}$, $\overrightarrow {{u_2}}$  không cùng phương.

b) ${\Delta _1}$ song song với ${\Delta _2}$ khi và chỉ khi $\overrightarrow {{u_1}}$, $\overrightarrow {{u_2}}$  cùng phương và có một điểm thuộc một đường thẳng mà không thuộc đường thẳng còn lại.

c) ${\Delta _1}$ trùng với ${\Delta _2}$ khi và chỉ khi $\overrightarrow {{u_1}}$, $\overrightarrow {{u_2}}$  cùng phương và có một điểm thuộc cả hai đường thẳng đó.

Do $\dfrac{4}{8} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{- 8}{- 16}$ nên $d_{1}$ và $d_{2}$ trùng nhau.

Nhớ lại công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.

Khoảng cách từ điểm $A({x_0};{y_0})$ đến đường thẳng $\Delta :ax + by + c = 0$ được tính theo công

thức $d(A,\Delta ) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.

a) Thay x = 0 vào hàm số rồi tính.

b) Tìm ĐKXĐ của hàm số.

c) Giải phương trình.

d) Biến đổi f(x) về dạng $f\left( x \right) = a + \frac{b}{{x + 1}}$ với a, b nguyên.

f(x) nguyên khi $\frac{b}{{x + 1}}$ nguyên, hay x + 1 là ước của b. Tìm các giá trị x nguyên thỏa mãn.

a) Đúng. $f\left( 0 \right) = \frac{{0 - 1}}{{0 + 1}} = - 1$.

b) Đúng. ĐKXĐ: $x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 1$. Vậy $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

c) Sai. $\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = x - 1$

${x^2} - 1 = x - 1$

${x^2} - x = 0$

Suy ra x = 0 (TM) hoặc x = 1 (TM).

Vậy phương trình f(x) = x – 1 có 2 nghiệm là x = 0 và x = 1.

d) Đúng. $f\left( x \right) = \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{x + 1 - 2}}{{x + 1}} = \frac{{x + 1}}{{x + 1}} - \frac{2}{{x + 1}} = 1 - \frac{2}{{x + 1}}$.

f(x) nguyên khi và chỉ khi $\frac{2}{{x + 1}}$ nguyên, hay x + 1 là ước của 2.

Khi đó $x + 1 \in \{ \pm 1; \pm 2\} \Rightarrow x \in \{ - 3; - 2;0;1\}$.

Vậy tồn tại 4 số nguyên x để f(x) là nguyên.

a) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $ax + by + c = 0$ (${a^2} + {b^2} > 0$) và điểm $M({x_0};{y_0})$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta$, kí hiệu là $d(M,\Delta )$, được tính bởi công thức sau:

$d(M,\Delta ) = \frac{{|a{x_0} + b{y_0} + c|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.

b) Vecto pháp tuyến của đường thẳng cần tìm vuông góc với vecto pháp tuyến của .

c) Toạ độ của vecto $\overrightarrow {OM}$ là toạ độ của điểm M.

d) Từ phương trình tổng quát $ax + by + c = 0$, ta xác định được vecto pháp tuyến $\overrightarrow n = (a;b)$.

a) Đúng. $\overrightarrow {OA} = (1;2) \Rightarrow A = (1;2)$.

$d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {2.1 - 1.2 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}$.

b) Đúng. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ có toạ độ là (2; -1), do đó vecto pháp tuyến của đường thẳng vuông góc với $\Delta$ có tọa độ là (1; 2). Phương trình đường thẳng cần tìm là:

$1(x - 1) + 2(y - 2) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 5 = 0$.

c) Đúng. Toạ độ của điểm A là A(1; 2).

d) Đúng. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ có toạ độ là (2; -1).

Chọn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp. Tìm phương trình của parabol, từ đó tính được vị trí cao nhất của quả cầu.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với góc tọa độ O là vị trí đứng của người chơi.

Gọi $(P) : h(t) = at^2 + bt + c$.

Trái cầu ban đầu được đánh lên ở vị trí ngang đầu của người đánh cao 1,7 m nên:

$A(0; 1,7) \in (P) \Leftrightarrow c = 1,7$ (1)

Sau khoảng thời gian 7,5 giây thì quả cầu ở vị trí ngang đầu của người đánh nên:

$B(7,5; 1,7) \in (P) \Leftrightarrow \frac{225}{4}a + \frac{15}{2}b + c = 1,7$ (2)

Sau 8,9 giây thì trái cầu chạm đất nên:

$C(8,9; 0) \in (P) \Leftrightarrow 8,9^2a + 8,9b + c = 0$ (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}c=1,7\\ \frac{225}{4}a+\frac{15}{2}b+c=1,7\\ 8,9^{2}a+8,9b+c=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}c=1,7\\ b=\frac{1275}{1246}\\ a=-\frac{85}{623}\end{array}$$\begin{cases} c = 1,7 \\ \frac{225}{4}a + \frac{15}{2}b + c = 1,7 \\ 8,9^2a + 8,9b + c = 0 \end{cases}$ \Leftrightarrow $\begin{cases} c = 1,7 \\ b = \frac{1275}{1246} \\ a = -\frac{85}{623} \end{cases}$

Suy ra: $(P) : h(t) = -\frac{85}{623}t^2 + \frac{1275}{1246}t + 1,7$.

Khi đó điểm cao nhất mà quả cầu có thể đạt tới chính là tung độ của đỉnh $y_0 = -\frac{\Delta}{4a} \approx 3,62$ m.

Gọi thời gian chú thỏ chạy trên đoạn AD là x. Biểu diễn độ dài CD theo x, ứng dụng giải phương trình quy về phương trình bậc hai để tìm x.

Gọi thời gian chú thỏ chạy trên đoạn AD là x (0 < x < 30) (giây), khi đó thời gian chú thỏ chạy trên đoạn BD là 30 - x (giây). Do đó, quãng đường AD và BD lần lượt là 13x (m) và 15(30 - x) (m).

Độ dài quãng đường BC là:

$\sqrt{370^2 - 120^2} = 350$ (m).

Tam giác ACD vuông tại C nên:

$CD = \sqrt{(13x)^2 - 120^2}$ (m).

Mặt khác, CD = BC - BD = 350 - 15(30 - x) (m).

Do đó, ta có: $\sqrt{(13x)^2 - 120^2} = 350 - 15(30-x)$.

Giải phương trình này và kết hợp với điều kiện 0 < x < 30, ta nhận x = 10 (giây).

Vậy khoảng cách giữa vị trí C và vị trí D là: 350 - 15(30 - 10) = 50 (m).

Lập phương trình đường thẳng AH đi qua A và nhận $\overrightarrow{CB}$ làm vectơ pháp tuyến.

AH đi qua A(2; -1) và nhận $\overrightarrow{CB} = (7; 3)$ làm vectơ pháp tuyến, vì vậy phương trình tổng quát của AH là: 7(x - 2) + 3(y + 1) = 0 hay 7x + 3y - 11 = 0.

Vậy a – b = 7 – (-11) = 18.

Xác định vị trí của hai tàu và tính khoảng cách giữa hai tàu theo t. Tìm t để khoảng cách đó nhỏ nhất.

Tại thời điểm t, vị trí tàu A là M(3 - 33t; -4 + 25t), vị trí của tàu B là N(4 - 30t; 3 - 40t).

Ta có $MN = \sqrt{(1 + 3t)^2 + (7 - 65t)^2}$

$= \sqrt{4234t^2 - 904t + 50}$.

MN nhỏ nhất khi hàm bậc hai $f(t) = 4234t^2 - 904t + 50$ đạt giá trị nhỏ nhất, lúc đó:

$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-904}{2 . 4234} = \frac{226}{2117} \approx 0,11$ (giờ).

Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai.

Ta có $\left. - x^{2} + 4x + 5 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} {x = - 1} \\ {x = 5} \end{array}$ \right. \right.

Bảng xét dấu:

Suy ra $\left. - x^{2} + 4x + 5 > 0\Leftrightarrow x \in ( - 1;5) \right.$ và $\left. - x^{2} + 4x + 5 < 0\Leftrightarrow x \in ( - \infty; - 1) \cup (5; + \infty) \right.$.

Áp dụng quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai.

$f(x) = x^2 + (m+1)x + 2m + 7 > 0, \forall x \in \mathbb{R}$.

Ta có: $f(x) > 0$, $\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow$$\begin{cases} a > 0 \\ \Delta < 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow$$\begin{cases} 1 > 0 \\ (m+1)^2 - 4(2m+7) < 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow m^2 - 6m - 27 < 0 \Leftrightarrow -3 < m < 9$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua ${M_0}({x_0};{y_0})$ và nhận $\overrightarrow n = (a;b)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình là $a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0$.

Ta có $\overrightarrow{AB} = (2; -1)$.

Vecto pháp tuyến của đường thẳng đi qua A(1; 2) và B(3; 1) là $\vec{n} = (1; 2)$

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng là: (x - 1) + 2(y - 2) = 0 hay x + 2y - 5 = 0.