Đề thi giữa học kì 2 Toán 10 - Đề số 2

Hàm số theo biến x là biểu thức sao cho với mỗi giá trị của x thuộc tập xác định, chỉ nhận được 1 giá trị thực tương ứng của y.

$y = {x^2}$ là hàm số theo biến x.

Tìm ĐKXĐ của hàm số.

ĐKXĐ: $x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1$.

Vậy TXĐ của hàm số là $\left\lbrack {1; + \infty} \right)$.

Hàm số bậc hai có dạng $y = a{x^2} + bx + c$.

$y = x^{2} + x$ là hàm số bậc hai.

Parabol $y = a{x^2} + bx + c$ có trục đối xứng là $x = - \frac{b}{{2a}}$.

Trục đối xứng của parabol $\left( P \right):y = {x^2} - 4x + 5$ là đường thẳng $x = - \frac{{ - 4}}{{2.1}} = 2$.

Xác định khoảng đồ thị nằm trên trục hoành.

$f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {1;3} \right)$.

Áp dụng quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai.

$f\left( x \right) = - {x^2} + 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array}$ \right..

$f\left( x \right) = - {x^2} + 3x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow 1 \le x \le 2$.

Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai để giải.

${x^2} + x - 6 < 0 \Leftrightarrow - 3 < x < 2$.

Vậy tập nghiệm là $S = \left( {- 3;2} \right)$.

Tìm ĐKXĐ của phương trình và bình phương hai vế để giải.

$\sqrt {2{x^2} + 3x - 1} = \sqrt {x + 3} \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 3x - 1 = x + 3\\x + 3 \ge 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 2x - 4 = 0\\x \ge - 3\end{array} \right.$ \Leftrightarrow \left[ $\begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array}$ \right.

Tổng bình phương các nghiệm là ${1^2} + {( - 2)^2} = 5$.

Đường thẳng $\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.$ có một vecto chỉ phương là $\overrightarrow u = (a;b)$.

Vecto chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow u = \left( { - 4;3} \right)$.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b) là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

Phương trình đường thẳng cần tìm là $\frac{x}{{ - 3}} + \frac{y}{5} = 1 \Leftrightarrow - \frac{x}{3} + \frac{y}{5} = 1$.

Hai đường thẳng song song có chung vecto pháp tuyến.

Đường thẳng song song với đường thẳng x – 2y – 1 = 0 có dạng x – 2y + c = 0.

Vậy chỉ có đường thẳng x – 2y + 1 = 0 thỏa mãn.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $ax + by + c = 0$ (${a^2} + {b^2} > 0$) và điểm $M({x_0};{y_0})$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta$, kí hiệu là $d(M,\Delta )$, được tính bởi công thức sau:

$d(M,\Delta ) = \frac{{|a{x_0} + b{y_0} + c|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.

$d(P,\Delta_{1}) = \dfrac{\left| ( - 2).( - 10) + ( - 7).0 - 6 \right|}{\sqrt{4 + 49}} = \dfrac{14\sqrt{53}}{53}$.

Quan sát hình vẽ, nhận dạng các đặc điểm của đồ thị, từ đó tìm hàm số đã cho.

Giả sử hàm số có phương trình $y = a{x^2} + bx + c$.

a) Sai. Đồ thị có đỉnh I(2; -2) và đi qua A(0; 6) nên ta có hệ:

$\{\begin{array}{l}-\frac{b}{2a}=2\\ -2=a{.2}^2+b.2+c\\ 6=a{.0}^2+b.0+c\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=2\\ b=-8\\ c=6\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 2\\ - 2 = a{.2^2} + b.2 + c\\6 = a{.0^2} + b.0 + c\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 8\\c = 6\end{array} \right.$.

Vậy hàm số đã cho là $y = 2{x^2} - 8x + 6$.

b) Sai. Quan sát hình vẽ thấy trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng x = 2.

c) Đúng. Quan sát hình vẽ thấy đồ thị có đỉnh I(2; -2).

d) Đúng. Quan sát hình vẽ thấy đồ thị hàm số đi qua A(0; 6).

a) Từ phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=x_0+mt\\ y=y_0+nt\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + mt\\y = {y_0} + nt\end{array} \right.$, ta xác định được vecto chỉ phương $\overrightarrow u = (m;n)$.

b) Cách tìm vecto chỉ phương biết vecto pháp tuyến và ngược lại: $\overrightarrow n = (p;q) \leftrightarrow \overrightarrow u = ( - q;p)$.

c) Cho đường thẳng d có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.$ $(t \in \mathbb{R})$. Để lập phương trình tổng quát của d, ta thực hiện:

B1: Xác định 1 điểm thuộc d: $M({x_0};{y_0})$.

B2: Xác định vecto chỉ phương của d: $\overrightarrow u = (a;b)$.

B3: Tìm vecto pháp tuyến của d: $\overrightarrow n = ( - b;a)$ hoặc $k\overrightarrow n = ( - nb;na)$.

B4: Lập phương trình tổng quát của d: $- b(x - {x_0}) + a(y - {y_0}) = 0$.

d) Thay tọa độ điểm D vào phương trình tham số, nếu tìm được số t thỏa mãn hệ thì D thuộc đường thẳng.

a) Đúng. $d_{1}$ có một véctơ chỉ phương là $\overset{\rightarrow}{u} = (9; - 4)$ là khẳng định đúng vì $d_{1}$ có một véctơ chỉ phương là $(9; - 4)$.

b) Sai. $d_{1}$ có một véctơ pháp tuyến là $\overset{\rightarrow}{n} = (9; - 4)$ là khẳng định sai vì $\overset{\rightarrow}{u} = (9; - 4)$ là tọa độ véctơ chỉ phương của $d_{1}$.

c) Đúng. PTTQ đường thẳng $d_{1}$ có vtpt $\overset{\rightarrow}{n}\left( {4;9} \right)$ và đi qua điểm M(-3; 7) là: $\left. 4\left( {x + 3} \right) + 9\left( {y - 7} \right) = 0\Leftrightarrow 4x + 9y - 51 = 0 \right.$.

d) Đúng. Điểm D(-30; 19) thuộc đường thẳng $d_{1}$ là khẳng định đúng vì có t = -3 vào phương trình thì x = -30, y = 19.

Chọn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp. Tìm phương trình của parabol, từ đó tính được chiều cao cổng.

Xem phần phía trên của cái cổng là một parabol, vậy để tìm được độ cao của cổng ta chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với góc tọa độ O nằm ở vị trí chân của cổng.

Gọi hàm số bậc 2 là $P: y = f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$)

Do vị trí thấp nhất của phần trên cổng cách mặt đất 3 m nên $A(0;3) \in (P) \Leftrightarrow 3 = c$ (1)

Từ một điểm cách chân cổng 1m, ngta dùng thước đo được chiều cao là $\frac{91}{25}$ m nên: $B\left(1; \frac{91}{25}\right) \in (P) \Leftrightarrow \frac{91}{25} = a + b + c$ (2)

Chiều rộng của cổng là 5 m nên $C(5;3) \in (P) \Leftrightarrow 3 = 25a + 5b + c$ (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}c=3\\ a+b+c=\frac{91}{25}\\ 25a+5b+c=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-\frac{4}{25}\\ b=\frac{4}{5}\\ c=3\end{array}$$\begin{cases} c = 3 \\ a + b + c = \frac{91}{25} \\ 25a + 5b + c = 3 \end{cases}$ \Leftrightarrow $\begin{cases} a = -\frac{4}{25} \\ b = \frac{4}{5} \\ c = 3 \end{cases}$.

Suy ra phương trình: $y = f(x) = -\frac{4}{25}x^2 + \frac{4}{5}x + 3$.

Khi đó độ cao của cổng chính là tung độ đỉnh $y_0 = -\frac{\Delta}{4a} = 4$ m.

Vậy cổng cao 4 m.

Gọi x (giờ) là khoảng thời gian cần tìm. Biểu diễn khoảng cách giữa A và B theo x, ứng dụng giải phương trình quy về phương trình bậc hai để tìm x.

Gọi x (giờ) là thời gian ô tô đi từ vị trí A đến địa điểm D (x > 0).

Vì hai ô tô xuất phát cùng một lúc nên thời gian ô tô đi từ vị trí B đến địa điểm C cũng là x giờ. Do đó, quãng đường AD và BC lần lượt là 55x (km) và 45x (km).

Suy ra khoảng cách từ vị trí A và vị trí B đến thành phố T lần lượt là 55x + 14 (km) và 45x + 6 (km).

Vì khoảng cách giữa hai vị trí A và B là 100 km nên ta có phương trình:

$\sqrt{(55x+14)^2 + (45x+6)^2} = 100$

$\Rightarrow 5050x^2 + 2080x + 232 = 10000$.

Giải phương trình trên, được nghiệm $x = \dfrac{6}{5} = 1,2$.

Vậy thời điểm đó là 1,2 giờ sau khi hai xe xuất phát.

Tìm tọa độ điểm A (là giao điểm của đường trung tuyến và đường cao), từ đó tìm vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến của AB và lập phương trình đường thẳng.

Tọa độ của điểm A là nghiệm của hệ phương trình $\{\begin{array}{l}7x-2y-3=0\\ 6x-y-4=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}$$\begin{cases} 7x - 2y - 3 = 0 \\ 6x - y - 4 = 0 \end{cases}$ \Leftrightarrow $\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$.

Do đó, điểm A có tọa độ (1;2).

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AM} = (1; -2)$ nên nhận $\vec{n} = (2;1)$ là một vectơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng AB là:

$2(x - 1) + (y - 2) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 4 = 0$.

Khi đó $\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\end{array}\Rightarrow a+b=3$$\begin{cases} a = 2 \\ b = 1 \end{cases}$ \Rightarrow a + b = 3.

Chọn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp, tìm tọa độ các điểm, lập phương trình đường thẳng ST và áp dụng công thức tính khoảng cách từ N đến ST.

MN = 24 m và N(0; 0) nên M(0; 24). NP = MQ = 30 m nên P(30; 0).

Q và M có cùng tung độ, Q và P có cùng hoành độ nên Q(30; 24).

S và M có cùng tung độ, MS = 10 m nên S(10; 24).

T và P có cùng hoành độ, PT = 12 m nên T(30; 12).

Đường thẳng ST có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{ST} = (20; -12)$ nên nhận $\vec{n} = (3; 5)$ làm vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình đường thẳng ST là:

$3(x-10)+5(y-24)=0 \Leftrightarrow 3x+5y-150=0$.

Khoảng cách từ điểm N(0; 0) đến đường thẳng ST là:

$\frac{|3 . 0 + 5 . 0 - 150|}{\sqrt{3^2 + 5^2}} \approx 25,7$.

Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai.

Ta có $\Delta = 0$, nghiệm kép $x_{0} = - \dfrac{1}{2}$ và hệ số a = 4 > 0 nên $4x^{2} + 4x + 1 > 0$ $\forall x \in {\mathbb{R}}\backslash\left\{ {- \dfrac{1}{2}} \right\}$.

Sử dụng điều kiện: $\{\begin{array}{l}a>0\\ \mathrm{\Delta }<0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$.

$f(x) = {x^2} + (m + 1)x + 2 - m > 0$, $\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \Delta = {(m + 1)^2} - 4(2 - m) < 0$

$\Leftrightarrow {m^2} + 6m - 7 < 0$

$\Leftrightarrow - 7 < m < 1$.

Lập phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A(-1; 0) và nhận $\overrightarrow{AB}$ làm vecto pháp tuyến.

Ta có: $A(-1;0) \in \Delta$.

Do $\Delta \perp AB$, nên vectơ pháp tuyến của $\Delta$ có dạng: $\vec{n} = \overrightarrow{AB} = (2;4)$.

Vậy phương trình tổng quát của $\Delta$ là $2(x+1)+4(y-0)=0$.

Phương trình $\Delta : x+2y+1=0$.