Đề thi giữa học kì 2 Toán 10 - Đề số 1

y là hàm số của x nếu mỗi giá trị của x ta nhận được duy nhất 1 giá trị của y.

y = 2x - 1 là hàm số của x.

Tìm ĐKXĐ của hàm số.

$3x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{3}$.

Hàm số bậc hai có dạng $y = a{x^2} + bx + c$.

$y = {x^2} + 3$ là hàm số bậc hai.

Dựa vào lí thuyết đồ thị hàm số bậc hai.

Tọa độ đỉnh của (P) là $I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)$.

Quan sát đồ thị.

f(x) < 0 khi $x \in \left( {- \infty;3} \right) \cup \left( {3; + \infty} \right)$.

Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai.

$f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3 < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 3$.

Áp dụng quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai.

${x^2} - 4x + 4 > 0 \Leftrightarrow x \ne 2$.

Bình phương hai vế và rút gọn.

$\sqrt {{x^2} + 3x + 2}  = \sqrt {3{x^2} + 1}$

${x^2} + 3x + 2 = 3{x^2} + 1$

$2{x^2} - 3x - 1 = 0$.

Từ phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=x_0+mt\\ y=y_0+nt\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + mt\\y = {y_0} + nt\end{array} \right.$, ta xác định được vecto chỉ phương $\overrightarrow u = (m;n)$.

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d: $\{\begin{array}{c}x=2+3t\\ y=-3-t\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 2 + 3t}\\{y = - 3 - t}\end{array}} \right.$ là $\overrightarrow u = \left( {3; - 1} \right)$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua ${M_0}({x_0};{y_0})$ và nhận $\overrightarrow n = (a;b)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình là $a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0$.

Phương trình đường thẳng cần tìm là:

$2(x - 3) + 1(y - 6) = 0$

$\Leftrightarrow 2x + y - 12 = 0$.

Nếu hai vecto pháp tuyến của hai vecto trên cùng phương thì hai đường thẳng song song, không cùng phương thì hai đường thẳng cắt nhau.

Nếu tích vô hướng của hai vecto trên bằng 0 thì hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Hai vecto pháp tuyến của $d_1$ và $d_2$ lần lượt là $\overrightarrow{n_1} = (2;3)$ và $\overrightarrow{n_2} = (3;-2)$.

Tích vô hướng của hai vecto trên là 2.3 + 3.(-2) = 0, do đó hai vecto trên vuông góc với nhau.

Vậy $d_1$ và $d_2$ cắt nhau và vuông góc với nhau.

Đưa phương trình đường thẳng về dạng tổng quát rồi áp dụng công thức khoảng cách.

$\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1 \Leftrightarrow 8x + 6y - 48 = 0$.

$d\left( {O,d} \right) = \frac{{\left| {8.0 + 6.0 - 48} \right|}}{{\sqrt {{8^2} + {6^2}} }} = \frac{{24}}{5}$.

Xét hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ có đồ thị (P):

a) Xét dấu hệ số của ${x^2}$.

b) Giả sử I là đỉnh của (P), khi đó $I\left( { - \frac{b}{{2a}};f\left( { - \frac{b}{{2a}}} \right)} \right)$.

c) Trục đối xứng của (P) là $x = - \frac{b}{{2a}}$.

d) Xét các đặc điểm của đồ thị có đúng khi khảo sát hàm số $y = - {x^2} + 4x$ không.

a) Sai. Hệ số của ${x^2}$ là -1 < 0 nên bề lõm của (P) quay xuống dưới.

b) Đúng. Giả sử I là đỉnh của (P), khi đó ${x_I} =  - \frac{4}{{2.( - 1)}} = 2$, ${y_I} =  - {2^2} + 4.2 = 4$.

Vậy (P) có đỉnh I(2; 4).

c) Đúng. (P) có trục đối xứng $x =  - \frac{4}{{2.( - 1)}} = 2$.

d) Đúng. Quan sát hình vẽ, thấy đồ thị có đỉnh I(2; 4) và trục đối xứng x = -2 và bề lõm quay xuống dưới (đúng).

Mặt khác, đồ thị đi qua điểm (0; 0) và (4; 0).

Thay x = 0 vào phương trình $y =  - {x^2} + 4x$ được y = 0. Do đó (0; 0) thuộc (P).

Thay x = 4 vào phương trình $y =  - {x^2} + 4x$ được y = 0. Do đó (4; 0) thuộc (P).

Vậy hình vẽ trên đúng là đồ thị của (P).

a) $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)$.

b) Giả sử đường thẳng d có vecto chỉ phương là $\overrightarrow u = (a;b)$. Khi đó, d có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow n = (b; - a)$. Đồng thời, $k\overrightarrow n = (kb; - ka)$ cũng là các vecto pháp tuyến của d.

c) Đường thẳng $\Delta$ đi qua ${M_0}({x_0};{y_0})$ và nhận $\overrightarrow n = (a;b)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình là $a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0$.

d) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $ax + by + c = 0$ (${a^2} + {b^2} > 0$) và điểm $M({x_0};{y_0})$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta$, kí hiệu là $d(M,\Delta )$, được tính bởi công thức sau:

$d(M,\Delta ) = \frac{{|a{x_0} + b{y_0} + c|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.

a) Đúng. $\Delta$ đi qua A, B nên $\overrightarrow {AB} = (2 - 1;1 + 1) = (1;2)$ là một vecto chỉ phương của $\Delta$.

b) Sai. Một vecto pháp tuyến của $\Delta$ là $\overrightarrow u = (2; - 1)$. Ta thấy $\vec n(2;1)$ không cùng phương với $\overrightarrow u = (2; - 1)$ nên $\vec n(2;1)$ không phải vecto pháp tuyến của $\Delta$.

c) Sai. Phương trình tổng quát của $\Delta$:

$2(x - 1) - 1(y + 1) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 3 = 0$.

d) Đúng. $d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {2.( - 3) - 1.1 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = 2\sqrt 5$.

Chọn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp. Tìm phương trình của parabol, từ đó tính được chiều cao cổng.

Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc toạ độ O trùng một chân của cổng, trục hoành nằm trên đường nối hai chân cổng (đơn vị trên các trục tính theo mét).

Gọi hàm số bậc hai có đồ thị chứa đường viền trong của cổng chào trên là $y = ax^2 + bx + c$.

Từ giả thiết bài toán ta có đồ thị hàm số đi qua các điểm O(0; 0), A(4,5; 0), B(1; 1,8).

Thay toạ độ các điểm trên vào hàm số, ta được c = 0 và hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}4,5^{2}a+4,5b=0\\ 1^{2}a+1b=1,8\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{-18}{35}\\ b=\frac{81}{35}\end{array}$$\begin{cases} 4,5^2a + 4,5b = 0 \\ 1^2a + 1b = 1,8 \end{cases}$ \Leftrightarrow $\begin{cases} a = \frac{-18}{35} \\ b = \frac{81}{35} \end{cases}$.

Suy ra ta có hàm số: $y = \frac{-18}{35}x^2 + \frac{81}{35}x$.

Từ đó, đỉnh của đồ thị hàm số trên có tung độ là $\frac{-18}{35}\left(\frac{9}{4}\right)^2 + \frac{81}{35}.\frac{9}{4} \approx 2,6$.

Vậy chiều cao của cổng là khoảng 2,6 m.

Áp dụng định lí Pytago, ứng dụng giải phương trình quy về phương trình bậc hai.

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABC vuông tại A, ta được:

$AC^2 + AB^2 = BC^2$.

Suy ra $AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{6^2 - x^2} = \sqrt{36 - x^2}$ (cm).

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ACD vuông tại A, ta được:

$AC^2 + AD^2 = CD^2$.

Suy ra $AD = \sqrt{CD^2 - AC^2} = \sqrt{8^2 - x^2} = \sqrt{64 - x^2}$ (cm).

Mà AB + BD = AD nên $\sqrt{36 - x^2} + 3 = \sqrt{64 - x^2}$ (1).

Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được:

$36 - x^2 + 6\sqrt{36 - x^2} + 9 = 64 - x^2$

$\Rightarrow \sqrt{36 - x^2} = \frac{19}{6}$

$\Rightarrow x^2 = \frac{935}{36} \Rightarrow x \approx 5,1$.

Diện tích của tam giác BCD là:

$\frac{1}{2} . 5,1 . 3 = 7,65$ $(cm^2)$.

Lập phương trình tham số của $\Delta$, biểu diễn tọa độ điểm M theo t. Dựa vào điều kiện MA = MB để tìm t và kết luận.

Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số là: $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-1+2t\end{array}$$\begin{cases} x = t \\ y = -1 + 2t \end{cases}$

Vì $M \in \Delta$ nên $M(t; -1 + 2t)$.

Tam giác MAB cân tại M nên MA = MB

$\Leftrightarrow (3 - t)^2 + (-2 - 2t)^2 = (5 - t)^2 + (-2t)^2$

$\Leftrightarrow 13 + 2t = 25 - 10t \Leftrightarrow t = 1$.

Vậy điểm M cần tìm là $M(1; 1) \Rightarrow 1 + 1 = 2$.

Tìm cặp vectơ chỉ phương của hai đường đi của tàu và áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng.

Hai đường đi (giả sử là hai đường thẳng $d_1$, $d_2$) của hai tàu có cặp vectơ chỉ phương $\vec{u_1} = (-33; 25)$, $\vec{u_2} = (-30; -40)$; côsin góc tạo bởi hai đường thẳng là:

$a = \cos(d_1, d_2) = \frac{|\vec{u_1} . \vec{u_2}|}{|\vec{u_1}| . |\vec{u_2}|}$

$= \frac{| -33 . (-30) + 25(-40) |}{\sqrt{(-33)^2 + 25^2} . \sqrt{(-30)^2 + (-40)^2}} \approx 0,00483$.

Vậy $100a \approx 0,48$.

Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai.

Ta có $\Delta' = - 2 < 0$ và a = 3 > 0. Suy ra $3x^{2} - 2x + 1 > 0$ $\forall x \in {\mathbb{R}}$.

Bước 1: Chuyển bất phương trình tương đương với $f\left( x \right) = 9{m^2} + 2m + 3 > 0$.

Bước 2: Tính $\Delta$ và chỉ ra dấu của $\Delta$ âm.

Bước 3: Áp dụng tính chất của tam thức bậc hai.

Yêu cầu bài toán tương đương chứng minh $f\left( x \right) = 9{m^2} + 2m + 3 > 0$ với mọi m.

Tam thức có $\Delta  = {2^2} - 4.9.3 =  - 104 < 0$.

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta có:

$\Delta  < 0$ và $a = 9 > 0$ nên $f\left( x \right)$ cùng dấu với a với mọi m.

Vậy $f\left( x \right) = 9{m^2} + 2m + 3 > 0$ với mọi m $\Leftrightarrow 9{m^2} + 2m >  - 3$ với mọi m.

Tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng và lập phương trình tổng quát.

Vecto chỉ phương của đường thẳng $AB$ là: $\overrightarrow{AB} = (-4; -3)$.

Vecto pháp tuyến của đường thẳng $AB$ là: $\overrightarrow{n_{AB}} = (-3, 4)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ là:

$-3(x + 2) + 4(y - 4) = 0$

$\Leftrightarrow -3x + 4y - 22 = 0$.