Đề cuối học kỳ 1 Toán 10 năm 2024 – 2025 trường THPT Minh Hà – Hà Nội

Để tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu có n giá trị, ta làm như sau:

- Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.

- Tìm trung vị. Giá trị này là $Q_2$.

- Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ). Giá trị này là $Q_1$, được gọi là tứ phân vị thứ nhất hay tứ phân vị dưới.

- Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ). Giá trị này là $Q_3$, được gọi là tứ phân vị thứ ba hay tứ phân vị trên.

Ta gọi hiệu $\Delta_Q = Q_3 - Q_1$ là khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó.

Sắp xếp lại mẫu số liệu: 18  19  21  22  23  23  25  25  27  27.

Có n = 10 nên ${Q_1} = {x_3} = 21$, ${Q_3} = {x_8} = 25$.

${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 25 - 21 = 4$.

Từ hệ (1) suy ra điều kiện của $2x + y$, sau đó xác định đường thẳng không thuộc miền nghiệm.

Từ (1) suy ra $- 1 \le 2x + y \le 2$. Do đó $2x + y = - 2$ không thỏa mãn.

Vậy tập hợp tất cả các điểm thuộc đường thẳng $d_{3}:2x + y = - 2$ đều thuộc miền nghiệm của hệ (1).

Áp dụng định lí sin.

$\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow AC = \frac{{AB\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{5\sin {{30}^o}}}{{\sin {{45}^o}}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}$.

Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì ${x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}$; ${y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}$.

$G = \left( {\frac{{2 + 0 + 1}}{3};\frac{{ - 1 + 3 + 4}}{3}} \right) = \left( {1;2} \right)$.

Giao của A và B là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B.

$A \cap B = (1;3)$.

Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto.

Giả sử M(x; y). Ta có $\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {BA}$

$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} - 2 - x = - 10\\2 - y = 0\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}x = 8\\y = 2\end{array} \right.$ \Rightarrow M(8;2).

Bấm máy tính hoặc tra bảng giá trị lượng giác.

$\cos {60^o} + \sin {30^o} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Thay cặp số vào bất phương trình, nếu thỏa mãn thì cặp số là nghiệm của bất phương trình đó.

Thay x = 3, y = 1 vào biểu thức x – y = 3 – 1 = 2.

Khi đó (x; y) = (3; 1) là nghiệm của bất phương trình (III) và (IV).

$a = x \pm y \Rightarrow a \in \left[ {x - y;x + y} \right]$.

${v_{TB}} = 12 \pm 0,6 \Rightarrow {v_{TB}} \in \left[ {12 - 0,6;12 + 0,6} \right] = \left[ {11,4;12,6} \right]$.

Áp dụng quy tắc ba điểm.

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0$.

Dựa vào lí thuyết về vecto.

Hai vecto cùng phương với một vecto khác $\overset{\rightarrow}{0}$ thì hai vecto đó cùng phương với nhau.

Xét tính đúng sai của từng mệnh đề.

$19$ là số nguyên" là mệnh đề đúng.

Sử dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto trên mặt phẳng.

a) Đúng. $\overrightarrow {BC} = (3 - 3; - 3 - 1) = (0; - 4)$.

b) Đúng. Gọi M là trung điểm của AB.

$\{\begin{array}{l}{x}_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{0+3}{2}=\frac{3}{2}\\ y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{1+1}{2}=1\end{array}\Rightarrow M\left(\frac{3}{2};1\right)$$\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{0 + 3}}{2} = \frac{3}{2}\\{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{1 + 1}}{2} = 1\end{array} \right.$ \Rightarrow M\left( {\frac{3}{2};1} \right).

c) Sai. $\overrightarrow {AB} = (3 - 0;1 - 1) = (3;0)$;

$\overrightarrow {AC} = (3 - 0; - 3 - 1) = (3; - 4)$.

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 3.3 + 0.( - 4) = 9$.

d) Đúng. $AB = \sqrt {{3^2} + {0^2}} = 3$; $AC = \sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2}} = 5$.

Theo tính chất đường phân giác trong của tam giác:

$\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{5} \Rightarrow \overrightarrow {DB} = - \frac{3}{5}\overrightarrow {DC}$

$\{\begin{array}{l}{x}_D=\frac{x_B+\frac{3}{5}{x}_C}{1+\frac{3}{5}}=\frac{3+\frac{3}{5}\cdot 3}{\frac{8}{5}}=3\\ y_D=\frac{y_B+\frac{3}{5}{y}_C}{1+\frac{3}{5}}=\frac{1+\frac{3}{5}\cdot (-3)}{\frac{8}{5}}=-0,5\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}{x_D} = \frac{{{x_B} + \frac{3}{5}{x_C}}}{{1 + \frac{3}{5}}} = \frac{{3 + \frac{3}{5} \cdot 3}}{{\frac{8}{5}}} = 3\\{y_D} = \frac{{{y_B} + \frac{3}{5}{y_C}}}{{1 + \frac{3}{5}}} = \frac{{1 + \frac{3}{5} \cdot ( - 3)}}{{\frac{8}{5}}} = - 0,5\end{array} \right.$.

Vậy D(3; -0,5), suy ra a + b = 2,5.

Sử dụng các phép toán vecto.

a) Sai. Do hai giá của vectơ $\overrightarrow {OA}$ và $\overrightarrow {OB}$ cắt nhau và vuông góc với nhau, không song song hay trùng nhau.

b) Đúng. Áp dụng quy tắc hình bình hành $\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CA}$.

c) Đúng. $\left| {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA = a\sqrt 2$ (đường chéo hình vuông cạnh a).

d) Đúng. $\overrightarrow {MO} = \frac{1}{2}\overrightarrow {DO} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}\overrightarrow {DB} = \frac{1}{4}\overrightarrow {DB}$

$= \frac{1}{4}(\overrightarrow {DA} - \overrightarrow {BA} ) = \frac{1}{4}\overrightarrow {DA} - \frac{1}{4}\overrightarrow {BA}$.

Áp dụng công thức các số đặc trưng đo xu thế trung tâm và đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm.

a) Đúng. Số học sinh đạt điểm 10 (trên thang điểm 20) trong kỳ thi này là đông nhất do điểm 10 có tần số lớn nhất (bằng 6).

b) Đúng. $\bar x = \frac{{9.4 + 10.6 + 11.4 + ... + 16.2 + 17.2 + 18.1}}{{35}} = \frac{{438}}{{35}} \approx 12,51$.

${s^2} = \frac{1}{{35}}\left( {{9^2}.4 + {{10}^2}.6 + \ldots + {{18}^2}.1} \right) - {\left( {\frac{{438}}{{35}}} \right)^2} \approx 6,42$.

$s = \sqrt {{s^2}} \approx \sqrt {6,42} \approx 2,53$.

c) Sai. Vì kích thước mẫu n = 35 là số lẻ, trung vị ${M_e}$ là giá trị ở vị trí thứ $\frac{{35 + 1}}{2} = 18$ sau khi đã sắp xếp thứ tự từ nhỏ đến lớn. Học sinh ở vị trí thứ 18 có số điểm là 12 điểm. Do đó, trung vị ${M_e} = 12$.

d) Sai. Nhóm 25% học sinh có số điểm cao nhất tương ứng với các giá trị từ (${Q_3}$) trở lên. Mẫu số liệu có trung vị ở vị trí thứ 18. Nửa số liệu bên phải gồm 17 giá trị, tứ phân vị ${Q_3}$ là trung vị của nửa này, tức là vị trí thứ $\frac{{17 + 1}}{2} = 9$ tính từ vị trí số 19, hay chính là vị trí thứ 27 trong toàn bộ mẫu số liệu. Giá trị đó là ${Q_3} = 15$. Nhóm 25% học sinh có điểm cao nhất phải đạt từ 15 điểm trở lên. Bạn Đăng Khôi đạt 14 điểm nên không lọt vào nhóm này.

Áp dụng các phép toán trên tập hợp.

Gọi B là tập hợp khách đến thăm đảo Titop $\Rightarrow n\left( B \right) = 640$.

a) Đúng. Có 715 khách du lịch, trong số người được phỏng vấn, đến thăm động Thiên Cung.

b) Đúng. Số người đến ít nhất một trong hai địa điểm là:

$n\left( {A \cup B} \right) = 1000 - 80 = 920$ (khách).

c) Sai. Số người vừa đến Thiên Cung vừa đến Titop là:

$n\left( {A \cap B} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) - n\left( {A \cup B} \right)$

$= 715 + 640 - 920 = 435$ (khách).

d) Sai. Số người chỉ đến đúng một trong hai địa điểm là:

$n(A \cup B) - n(A \cap B) = 920 - 435 = 485$ (khách).

Áp dụng công thức tính tổng hợp lực: ${F_{12}}^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2{F_1}{F_2}.\cos ({\vec F_1},{\vec F_2})$.

${F^2} = F_1^2 + F_2^2 + 2{F_1}{F_2}.\cos ({\vec F_1},{\vec F_2})$

$= {150^2} + {100^2} + 2.150.100.\cos {120^o} = 17500$.

Vậy $\left| {\overrightarrow F } \right| = F = \sqrt {17500} \approx 132$ (N).

Giải hệ phương trình ẩn a, b sao cho XA = XB = XC.

Vị trí trường học là điểm X(a; b) cách đều ba ngôi làng nên ta có hệ thức: XA = XB = XC.

Khi đó $\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=(a-8{)}^2+(b-4{)}^2\\ a^2+b^2=(a-7{)}^2+(b-7{)}^2\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {(a - 8)^2} + {(b - 4)^2}\\{a^2} + {b^2} = {(a - 7)^2} + {(b - 7)^2}\end{array} \right.$

$\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=a^2-16a+64+b^2-8b+16\\ a^2+b^2=a^2-14a+49+b^2-14b+49\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {a^2} - 16a + 64 + {b^2} - 8b + 16\\{a^2} + {b^2} = {a^2} - 14a + 49 + {b^2} - 14b + 49\end{array} \right.$

$\{\begin{array}{l}2a+b=10\\ a+b=7\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 10\\a + b = 7\end{array} \right.$.

Vậy a + b = 7.

$\vec a = x\vec i + y\vec j = (x;y)$.

$\vec a = - 2\vec i + 3\vec j = ( - 2;3)$.

Vậy tổng hoành độ và tung độ của a là -2 + 3 = 1.

Áp dụng định lý cosin.

$AB = \sqrt {A{C^2} + B{C^2} - 2.AC.BC.\cos C}$

$= \sqrt {{{15}^2} + {{12}^2} - 2.15.12.\cos {{70}^o}} \approx 15,7$ (km).

Áp dụng công thức tính số trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm.

$\overline x = \frac{{20.1 + 22.4 + 24.11 + 25.8 + 27.3 + 28.1 + 30.2}}{{1 + 4 + 11 + 8 + 3 + 1 + 2}} = 24,7$.

Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BC, F là điểm thỏa mãn $\overrightarrow {FA} + 2\overrightarrow {FB} = \vec 0$. Tìm tọa độ E, F. Biến đổi T theo ME, MF để tìm giá trị nhỏ nhất.

Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BC. Tọa độ của E là:

$E\left( {\frac{{4 + 0}}{2};\frac{{5 + \left( { - 7} \right)}}{2}} \right) = \left( {2; - 1} \right)$.

Khi đó: $\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {ME}$.

Suy ra: $3\left| {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = 3.2ME = 6ME$.

Gọi F là điểm thỏa mãn $\overrightarrow {FA} + 2\overrightarrow {FB} = \vec 0$. Tọa độ của F được tính bằng:

${x_F} = \frac{{{x_A} + 2{x_B}}}{{1 + 2}} = \frac{{1 + 2.4}}{3} = 3$;

${y_F} = \frac{{{y_A} + 2{y_B}}}{{1 + 2}} = \frac{{ - 4 + 2.5}}{3} = 2$.

Ta được điểm F(3; 2). Khi đó: $\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MF}$.

Suy ra: $2\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} } \right| = 2.3MF = 6MF$.

Ta có: T = 6ME + 6MF = 6(ME + MF).

Vì hai điểm E và F nằm về hai phía khác nhau đối với trục Ox nên $ME + MF \ge EF$ và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi E, M, F thẳng hàng, hay M là giao điểm của EF với Ox.

Do đó ${T_{\min }} = 6.EF = 6\sqrt {{{(3 - 2)}^2} + {{(2 - ( - 1))}^2}} = 6\sqrt {10}$.

Vậy 2a +  b = 2.6 + 10 = 22.