Đề cuối kỳ 1 Toán 10 năm 2024 – 2025 trường THPT chuyên Hùng Vương – Phú Thọ

Áp dụng công thức $S = \frac{1}{2}ac\sin B$.

$S = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}.8.5\sin {60^o} = 10\sqrt 3$.

Các phần tử thuộc A là các nghiệm thực của phương trình $\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0$.

$\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0$ suy ra x = 2, x = -1 hoặc x = 1.

Mà các nghiệm trên đều là các số thực, do đó $A = \left\{ { - 1;1;2} \right\}$.

Áp dụng định lí sin.

$\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow AC = \frac{{AB\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{3.\sin {{45}^o}}}{{\sin {{60}^o}}} = \sqrt 6$.

Dựa vào lí thuyết số đặc trưng đo xu thế trung tâm, số đặc trưng đo độ phân tán của mẫu số liệu.

Độ lệch chuẩn đo độ phân tán của mẫu số liệu.

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by > c$, $ax + by < c$, $ax + by \le c$ hoặc $ax + by \ge c$.

$x - 2y \ge 3$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Áp dụng công thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$.

$\alpha$ là góc tù nên $\cos \alpha < 0$.

Khi đó $\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{5}{{13}}} \right)}^2}} = - \frac{{12}}{{13}}$.

Áp dụng công thức: $\overline x = \frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3} + ... + {x_n}}}{n}$.

Số ghế trống trung bình trong 9 ngày của rạp là:

$\overline x = \frac{{9 + 8 + 22 + 20 + 18 + 15 + 19 + 13 + 11}}{9} = 15$.

Mệnh đề phủ định của “A” là “Không phải A”.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề “$\sqrt 2$ là số vô tỉ” là “$\sqrt 2$ không phải là số vô tỉ”.

Áp dụng quy tắc ba điểm và tính chất giao hoán của phép cộng vecto.

Ta có $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$.

Tìm hệ điều kiện của x, y.

Số máy điều hòa phải là một số tự nhiên, do đó $x \ge 0$, $y \ge 0$.

Vì “không vượt quá 100 máy cả hai loại” nên $x + y \le 0$.

Vậy ta có hệ $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 100\end{array}\mathrm{.}$$\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 100\end{array} \right..$

Thay tọa độ từng điểm vào hệ, nếu thỏa mãn thì điểm đó thuộc miền nghiệm của hệ.

Ta thấy $\{\begin{array}{l}-3-1<-3\\ 2.1\ge -4\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} - 3 - 1 < - 3\\2.1 \ge - 4\end{array} \right.$ (đúng) nên (-3; 1) là điểm thuộc miền nghiệm của hệ.

Hai vecto bằng nhau có cùng hướng và cùng độ dài.

$\overrightarrow {AO} = \overrightarrow {OC}$.

Cho mẫu số liệu ${x_1},{x_2},{x_3},...,{x_n}$ đã sắp thứ tự.

+) Số trung bình (hay TB cộng) của mẫu số liệu kí hiệu là $\overline x$, được tính bằng công thức: $\overline x = \frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3} + ... + {x_n}}}{n}$.

+) Số trung vị:

- Nếu n là số lẻ thì số liệu đứng ở vị trí thứ $\frac{n+1}{2}$ (số đứng chính giữa) gọi là trung vị.

- Nếu n là số chẵn thì số trung bình cộng của hai số liệu đứng ở vị trí thứ $\frac{n}{2}$ và $\frac{n}{2}+1$ gọi là trung vị.

Mẫu số liệu nào có phương sai nhỏ hơn thì đồng đều hơn.

Mẫu số liệu lớp 10A: 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9.

Mẫu số liệu lớp 10B: 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10.

a) Đúng. Có 25 số, suy ra trung vị ở vị trí 13 là 6.

b) Sai. $\overline {{x_A}} = \frac{{2.2 + 3.2 + 4.2 + 5.5 + 6.2 + 7.6 + 8.3 + 9.3}}{{25}} = 5,92$.

${s_A}^2 = \frac{1}{{25}}[2.{(2 - 5,92)^2} + 2.{(3 - 5,92)^2} + 2.{(4 - 5,92)^2} + 5.{(5 - 5,92)^2}$

$+ 2.{(6 - 5,92)^2} + 6.{(7 - 5,92)^2} + 3.{(8 - 5,92)^2} + 3.{(9 - 5,92)^2}] \approx 4,3$.

$\overline {{x_B}} = \frac{{3.2 + 4.2 + 5.4 + 6.5 + 7.7 + 8.2 + 9.2 + 10.1}}{{25}} = 6,28$.

${s_B}^2 = \frac{1}{{25}}[2.{(3 - 6,28)^2} + 2.{(4 - 6,28)^2} + 4.{(5 - 6,28)^2} + 5.{(6 - 6,28)^2}$

$+ 7.{(7 - 6,28)^2} + 2.{(8 - 6,28)^2} + 2.{(9 - 6,28)^2} + 1.{(10 - 6,28)^2}] \approx 3,1$.

Có ${s_A}^2 > {s_B}^2$ nên điểm lớp 10B đồng đều hơn lớp 10A.

c) Đúng. Điểm trung bình lớp 10A là 5,92.

d) Sai. Có 25 số, suy ra trung vị ở vị trí 13 là 7.

Vậy mốt mẫu số liệu lớp 10A lớn hơn mốt của mẫu số liệu ở lớp 10B.

Cho hệ bất phương trình hai ẩn x, y và biểu thức F = ax + by.

a, b, c) Bước 1: Xác định miền đa giác nghiệm và toạ độ đỉnh của đa giác đó.

Bước 2: Tính giá trị của F tại các đỉnh của đa giác. So sánh các giá trị thu được.

Bước 3: Kết luận.

Miền nghiệm là tứ giác ABCD với A(1; 4), B(5; 4), C(5; -6), D(-1; 0).

d) Thay cặp số vào hệ, nếu tất cả các bất phương trình trong hệ đều thỏa mãn thì cặp số đó là một nghiệm của bất phương trình.

Miền nghiệm của hệ:

F(1; 4) = -5, F(5; 4) = -9, F(5; -6) = 1, F(-1; 0) = 1.

a) Đúng. Biểu thức đạt GTLN bằng 1.

b) Sai. Biểu thức đạt GTNN khi x = 5, y = 4.

c) Sai. Miền nghiệm là tứ giác (tính cả cạnh).

d) Đúng. Ta có $\{\begin{array}{l}-2.0+0\le 2\\ 0\le 5\\ 0\le 4\\ 0+0\ge -1\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} - 2.0 + 0 \le 2\\0 \le 5\\0 \le 4\\0 + 0 \ge - 1\end{array} \right.$ đúng nên (x; y) = (0; 0) là nghiệm của hệ.

Áp dụng định lí cos, tính chất đường phân giác, các phép toán với vecto để giải.

a) Đúng. D nằm giữa B, C nên $\overrightarrow {DB}$ và $\overrightarrow {DC}$ ngược hướng.

b) Đúng. $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC\cos ABC}$

$= \sqrt {{5^2} + {8^2} - 2.5.8\cos {{60}^o}} = 7$.

Theo tính chất đường phân giác, ta có $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{7} \Leftrightarrow 7DB = 5DC$.

Vì $\overrightarrow {DB}$ và $\overrightarrow {DC}$ ngược hướng nên $7\overrightarrow {DB} = - 5\overrightarrow {DC} \Leftrightarrow 7\overrightarrow {DB} + 5\overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0$.

c) Đúng. $$\overrightarrow {GD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AG} = \left( {\frac{7}{{12}}\overrightarrow {AB} + \frac{5}{{12}}\overrightarrow {AC} } \right) - \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{{12}}\overrightarrow {AC}$$.

d) Sai. $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{7} \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AB} + \frac{5}{{12}}\overrightarrow {AC}$.

Áp dụng định lí sin, cosin , công thức tính diện tích tam giác để giải tam giác.

a) Đúng. $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC\cos ABC} = \sqrt {{5^2} + {8^2} - 2.5.8\cos {{60}^o}} = 7$.

b) Sai. $\overrightarrow {NB} + 3\overrightarrow {NC} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {NB} = - 3\overrightarrow {NC} \Leftrightarrow NB = \frac{{3BC}}{4} = \frac{{3.8}}{4} = 6$.

$AN = \sqrt {A{B^2} + B{N^2} - 2AB.BN\cos ABC} = \sqrt {{5^2} + {6^2} - 2.5.6\cos {{60}^o}} = \sqrt {31}$.

c) Đúng. $\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Leftrightarrow \sin C = \frac{{AB\sin B}}{{AC}} = \frac{{5\sin {{60}^o}}}{7} = \frac{{5\sqrt 3 }}{{14}} \Rightarrow C \approx {38^o}$.

$A \approx {180^o} - {60^o} - {38^o} = {82^o}$. Do đó ABC là tam giác nhọn.

d) Đúng. $S = pr \Leftrightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{\frac{1}{2}AB.BC\sin B}}{{\frac{{AB + BC + CA}}{2}}} = \frac{{\frac{1}{2}5.8\sin {{60}^o}}}{{\frac{{5 + 8 + 7}}{2}}} = \sqrt 3$.

Giao của A và B là tập hợp gồm các phần tử thuộc cả A và B. Số tập con của tập hợp có n phần tử là ${2^n}$.

A = {1; 2}, B = {0; 1; 2; 3; 4; 5}.

$A \cap B = {\rm{\{ }}1;2\}$. Số tập con của $A \cap B$ là ${2^3} = 8$.

Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải.

Gọi $x$ là số giờ chơi cầu lông và $y$ là số giờ tập Gym trong một tuần ($x \ge 0,y \ge 0$).

Tổng thời gian tối đa là 12 giờ: $x + y \le 12$.

Tổng lượng calo tiêu hao không ít hơn 6000 calo: $300x + 750y \ge 6000$ hay $2x + 5y \ge 40$.

Ta có hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{l}x,y\ge 0\\ x+y\le 12\\ 2x+5y\ge 40\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x,y \ge 0\\x + y \le 12\\2x + 5y \ge 40\end{array} \right.$.

Miền nghiệm của hệ trên là miền tam giác ABC với A(0; 12), $B\left( {\frac{{20}}{3};\frac{{16}}{3}} \right)$, C(0; 8).

Số tiền chi phí bạn Mạnh phải bỏ ra trong một tuần là: T = 30x + 50y (nghìn đồng).

T(0; 8) = 400, T(0; 12) = 600, $T\left( {\frac{{20}}{3};\frac{{16}}{3}} \right) \approx 466,67$.

Vậy chi phí thấp nhất là 400 nghìn đồng.

Sử dụng công thức: $n(A \cup B \cup C)$

$= n(A) + n(B) + n(C) - [n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(C \cap A)] + n(A \cap B \cap C)$.

Gọi A, B, C lần lượt là tập hợp các học sinh đăng kí câu lạc bộ bóng đá, cầu lông và đá cầu.

Tổng số học sinh tham gia ít nhất một câu lạc bộ: $n\left( {A \cup B \cup C} \right) = 35$ (vì mỗi học sinh đều đăng kí từ một đến ba câu lạc bộ).

Số học sinh đăng kí từng câu lạc bộ: n(A) = 20, n(B) = 15, n(C) = 9.

Số học sinh đăng kí chung hai câu lạc bộ: $n\left( {A \cap B} \right) = 4$, $n\left( {B \cap C} \right) = 4$, $n\left( {C \cap A} \right) = 3$.

Ta có: $n(A \cup B \cup C)$

$= n(A) + n(B) + n(C) - [n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(C \cap A)] + n(A \cap B \cap C)$

$35 = 20 + 15 + 9 - (4 + 4 + 3) + n(A \cap B \cap C)$

$n(A \cap B \cap C) = 2$.

Vậy có 2 học sinh đăng kí tham gia cả ba câu lạc bộ.

Áp dụng công thức tổng hợp lực: ${F_{12}} = \sqrt {{F_1}^2 + {F_2}^2 + 2{F_1}{F_2}\cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right)}$.

Vì chất điểm A ở trạng thái cân bằng nên tổng hợp các lực tác dụng lên nó phải bằng 0:

$\overrightarrow {F1} + \overrightarrow {F2} + \overrightarrow {F3} = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {F3} = - \left( {\overrightarrow {F1} + \overrightarrow {F2} } \right)$.

${F_3} = \sqrt {{F_1}^2 + {F_2}^2 + 2{F_1}{F_2}\cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right)}$

$= \sqrt {{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2} + {{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2} + 2\left( {2\sqrt 5 } \right)\left( {2\sqrt 5 } \right)\cos {{120}^o}}$

$= 2\sqrt 5 \approx 4,47$ (N).

Sử dụng quan hệ giữa giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt.

Vì 90° < $\alpha$ < 180° nên góc $\alpha$ nằm ở góc phần tư thứ hai, do đó $\cos \alpha < 0$.

${\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}} \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{4}{5}$.

$\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{3}{5}}}{{ - \frac{4}{5}}} = - \frac{3}{4}$.

$A = 2\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right).\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) + \tan \left( {{{90}^o} - \alpha } \right)$

$= 2\sin \alpha .( - \cos \alpha ) + \frac{t}{{\tan \alpha }}$

$= - 2.\frac{3}{5}.\left( { - \frac{4}{5}} \right) + \left( { - \frac{4}{3}} \right) = - \frac{{28}}{{75}} \approx - 0,4$.

Áp dụng công thức tính số trung bình.

Gọi điểm số của bài kiểm tra cuối cùng (bài thứ 5) mà An cần đạt được là $x$ ($x \ge 0$).

Để được giảm 30% học phí thì điểm trung bình của cả 5 bài kiểm tra phải từ 85 điểm trở lên. Ta có bất phương trình: $\frac{{94 + 82 + 78 + 80 + x}}{5} \ge 85$ hay $x \ge 91$.

Do đó, An cần đạt ít nhất là 91 điểm ở bài kiểm tra cuối cùng.