Đề cuối kỳ 1 Toán 10 năm 2024 – 2025 trường THPT chuyên Trần Phú – Hải Phòng

$\overrightarrow a = k\overrightarrow b$ nếu $\overrightarrow a$, $\overrightarrow b$ cùng phương.

+) k > 0 nếu hai vecto trên cùng hướng.

+) k < 0 nếu hai vecto trên ngược hướng.

$AB = 4AI \Rightarrow IB = 3AI \Rightarrow \overrightarrow {IB} = - 3\overrightarrow {IA}$ (vì $\overrightarrow {IB}$, $\overrightarrow {IA}$ ngược hướng).

Áp dụng công thức tích vô hướng: $\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)$.

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = a.a.\cos {60^o} = \frac{{{a^2}}}{2}$.

Áp dụng định lí sin để tính: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$.

$\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow AC = \frac{{AB\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{3\sin {{120}^o}}}{{\sin ({{180}^o} - {{30}^o} - {{120}^o})}} = 3\sqrt 3$.

Áp dụng các công thức lượng giác: ${\sin ^2}\alpha = \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }}$, ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$.

$1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }} = \frac{1}{{1 + {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2}}} = \frac{4}{5}$.

${0^o} < \alpha < {180^o} \Rightarrow \sin \alpha > 0$, mà $\cot \alpha = - \frac{1}{2} < 0 \Rightarrow \cos \alpha < 0$.

$\Rightarrow \cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - \frac{4}{5}} = - \frac{{\sqrt 5 }}{5}$.

Áp dụng quy tắc ba điểm và định lí Pythagore.

$\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4$.

Áp dụng công thức tính góc giữa hai vecto: $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$.

$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = - 1 \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {180^o}$.

Hợp của A và B là tập hợp chứa mọi phần tử thuộc A hoặc thuộc B.

$A \cup B = ( - \infty ;5]$.

Bước 1: Xác định đường thẳng giới hạn miền nghiệm có dạng tổng quát $y = ax + b$.

+ Tìm toạ độ 2 điểm thuộc đường thẳng đó.

+ Từ 2 điểm trên, thay toạ độ tương ứng vào phương trình $y = ax + b$, được một hệ 2 phương trình ẩn a, b.

+ Giải hệ tìm a, b. Kết luận đường thẳng có phương trình $y = ax + b$ hay \(ax – y = b\).

Bước 2: Thay toạ độ 1 điểm bất kì thuộc nửa mặt phẳng miền nghiệm (không thuộc đường thẳng) vào biểu thức \(ax – y\).

+ Đường thẳng được biểu diễn bằng nét đứt: Nếu \(ax – y > b\) thì kết luận bất phương trình là \(ax – y > b\), nếu \(ax – y < b\) thì kết luận bất phương trình là \(ax – y < b\).

+ Đường thẳng được biểu diễn bằng nét liền: Tương tự như trên, thay dấu < thành $\le$, thay dấu > thành $\ge$.

$3x - 2y = - 6$ đi qua hai điểm (0; 3) và (-2; 0) nên loại đáp án A, C.

Thay tọa độ điểm O(0; 0) vào bất phương trình, được $3.0 - 2.0 = 0 \ge - 6$ (đúng) nên O(0; 0) thuộc miền nghiệm.

Áp dụng định lí cosin.

${a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\cos A$ là mệnh đề sai.

Tập hợp A gồm n phần tử có ${2^n}$ tập con.

$X \subset A$ và $X \subset B$ nghĩa là $X = A \cap B = \{ 2;3\}$. Có ${2^2} = 4$ tập X thỏa mãn.

Trong mặt phẳng Oxy, cặp số (x; y) trong biểu diễn $\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j$ được gọi là toạ độ của vecto $\overrightarrow a$, kí hiệu $\overrightarrow a = (x;y)$.

$\overrightarrow a = 4\overrightarrow j - \overrightarrow i = ( - 1;4)$.

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

$\{\begin{array}{l}x>5\\ y+2<0\\ x+y\ge 100\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x > 5\\y + 2 < 0\\x + y \ge 100\end{array} \right.$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Cách biểu diễn mối liên hệ giữa phần tử và tập hợp: dùng kí hiệu $\in$ hoặc $\notin$.

$a \in S$.

Áp dụng quy tắc hiệu của hai vecto.

$\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OA} \Leftrightarrow \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AD}$ (vô lí), do đó $\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OA}$ sai.

Dựa vào các định nghĩa liên quan đến vecto.

$\overrightarrow {AA} = 0$ sai vì $\overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0$.

Dựa vào lí thuyết giá trị lượng giác của các góc từ $0^o$ đến $180^o$.

Với $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, ta có $\sin \alpha > 0$, các giá trị lượng giác còn lại của $\alpha$ đều nhỏ hơn 0.

a) $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)$.

b) Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì: ${x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}$; ${y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}$.

c) Nếu $\overrightarrow a = (x;y)$ thì $\left| {\overrightarrow a} \right| = \sqrt {\overrightarrow a.\overrightarrow a} = \sqrt {{x^2} + {y^2}}$.

d) Cho $\overrightarrow u (x;y)$ và $\overrightarrow v = (x';y')$.

$\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{xx' + yy'}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {x{'^2} + y{'^2}} }}$.

a) Sai. $\overrightarrow {AB} = ( - 2; - 7)$, $\overrightarrow {AC} = (3;0)$. Khi đó:

$\overrightarrow u = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \left( { - 2.2 + 3; - 7.2 + 0} \right) = \left( { - 1; - 14} \right)$.

b) Sai. $G = \left( {\frac{{ - 2 - 4 + 1}}{3};\frac{{5 - 2 + 5}}{3}} \right) = \left( {\frac{{ - 5}}{3};\frac{8}{3}} \right)$.

c) Đúng. $AB = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 7)}^2}} = \sqrt {53}$.

d) Đúng. $\overrightarrow {CG} = \left( {\frac{{ - 8}}{3};\frac{{ - 7}}{3}} \right) \Rightarrow CG = \sqrt {{{\left( {\frac{{ - 8}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - 7}}{3}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {113} }}{3}$.

${\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CG} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CG} }}{{AB.CG}} = \frac{{ - 2.\left( {\frac{{ - 8}}{3}} \right) - 7.\left( {\frac{{ - 7}}{3}} \right)}}{{\sqrt {53} .\frac{{\sqrt {113} }}{3}}} \approx 0,84$.

Áp dụng tính chất trung điểm, tính chất trọng tâm, quy tắc hình bình hành.

a) Sai. Theo tính chất trọng tâm: $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} = \overrightarrow {CG}$.

b) Sai. Vì PM là đường trung bình của tam giác ABC nên PM // AN và PM = AN (= AC/2).

Do đó APMN là hình bình hành, suy ra $\overrightarrow {AP} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AM} \Rightarrow \overrightarrow {AP} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {NA}$.

Mà $\overrightarrow {MA} \ne \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}$ nên $\overrightarrow {AP} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {NA}$ sai.

c) Sai. Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\left| {\overrightarrow {AG} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {MG} } \right|$.

d) Đúng. Vì M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0$.

Áp dụng quy tắc trọng tâm tìm điểm C. Tính hai vecto $\overrightarrow {HB}$, $\overrightarrow {HC}$ và áp dụng tính chất của tam giác vuông cân để tìm tọa độ điểm H.

$\{\begin{array}{l}\frac{-1+1+x_C}{3}=(-2)\\ \frac{1+3+y_C}{3}=3\cdot \frac{2}{3}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_C=-6\\ y_C=-2\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\frac{{ - 1 + 1 + {x_C}}}{3} = ( - 2)}\\{\frac{{1 + 3 + {y_C}}}{3} = 3 \cdot \frac{2}{3}}\end{array}} \right.$ \Rightarrow $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_C} = - 6}\\{{y_C} = - 2}\end{array}} \right.$. Suy ra C(-6; -2).

Vì điểm H nằm trên trục Oy nên tọa độ của H có dạng: H(0; y).

$\overrightarrow {HB} = (1 - 0;3 - y) = (1;3 - y)$;

$\overrightarrow {HC} = ( - 6 - 0; - 2 - y) = ( - 6; - 2 - y)$.

Tam giác HBC vuông tại H nên HB.HC = 0, khi đó:

$1.( - 6) + (3 - y)( - 2 - y) = 0$

${y^2} - y - 12 = 0$.

Giải phương trình trên được y = 4 hoặc y = -3.

Theo giả thiết, HB = HC nên y = -3 (khi đó $HB = HC = \sqrt {37}$).

Vậy tung độ điểm H là -3.

Biểu diễn $\overrightarrow {AM}$ theo $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$, từ đó biểu diễn được $\overrightarrow {MN}$ theo $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$.

+) $\overrightarrow {MB} = - 2\overrightarrow {MC}$

$\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AM} = - 2(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AM} )$

$\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AM} = - 2\overrightarrow {AC} + 2\overrightarrow {AM}$

$3\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC}$

$\overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC}$

$\overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{2}{3}\vec b$.

+) $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM}$

$\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\vec b - \left( {\frac{1}{3}\vec a + \frac{2}{3}\vec b} \right)$

$\overrightarrow {MN} = - \frac{1}{3}\vec a + \left( {\frac{1}{2} - \frac{2}{3}} \right)\vec b$

$\overrightarrow {MN} = - \frac{1}{3}\vec a - \frac{1}{6}\vec b$.

+) Từ biến đổi trên, ta có: $x = - \frac{1}{3}$, $y = - \frac{1}{6}$ suy ra $3x + 6y = - 2$.

Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải.

Gọi x là số lượng xe máy Lead cửa hàng nhập về, y là số lượng xe máy Vision cửa hàng nhập về $(x,y \ge 0;x,y \in \mathbb{N})$.

Giá nhập một chiếc Lead là 40 triệu đồng, Vision là 30 triệu đồng. Tổng số vốn không quá 36 tỉ đồng (36000 triệu đồng): $40x + 30y \le 36000$ hay $4x + 3y \le 3600$.

Tổng số xe hai loại không vượt quá 1100 chiếc: $x + y \le 1100$.

Nhu cầu xe Lead không vượt quá 1,5 lần nhu cầu xe Vision: $x \le 1,5y$ hay $2x - 3y \le 0$.

Ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x,y\ge 0\\ 4x+3y\le 3600\\ x+y\le 1100\\ 2x-3y\le 0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x,y \ge 0\\4x + 3y \le 3600\\x + y \le 1100\\2x - 3y \le 0\end{array} \right.$ (*)

Miền nghiệm của hệ là tứ giác OABC với O(0; 0), A(600; 400), B(300; 800), C(0; 1100).

Lợi nhuận thu được khi bán x xe Lead và y xe Vision là:

F(x, y) = 5x + 3,2y (triệu đồng).

Ta có: $F\left( {0;0} \right) = 0$ triệu đồng.

$F\left( {600;400} \right) = 5.600 + 3,2.400 = 4280$ triệu đồng.

$F\left( {300;800} \right) = 5.300 + 3,2.800 = 4060$ triệu đồng.

$F\left( {0;1100} \right) = 5.0 + 3,2.1100 = 3520$ triệu đồng.

So sánh các giá trị trên, ta thấy giá trị lớn nhất thu được tại đỉnh A là 4280 triệu đồng.

Vậy lợi nhuận có thể thu được lớn nhất của cửa hàng là 4280 triệu đồng.

B là tập con của A khi và chỉ khi mọi phần tử thuộc B đều thuộc A.

$B \subset A$ thì $2m - 5 \ge 12$ hay $m \ge \frac{{17}}{2}$.

Vì m nguyên và m thuộc [0; 2024] nên $9 \le m \le 2024$. Vậy có 2016 giá trị nguyên m thỏa mãn.

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác $S = \frac{1}{2}Bh$ và công thức Heron $S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)}$.

Ta gọi ${h_c}$ là đường cao ứng với đỉnh C. Theo công thức Heron:

$S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)}$ với $p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{13}}{2}$.

Nên $S = \sqrt {\frac{{13}}{2}\left( {\frac{{13}}{2} - 3} \right)\left( {\frac{{13}}{2} - 4} \right)\left( {\frac{{13}}{2} - 6} \right)} = \frac{{\sqrt {455} }}{4}$.

Ta có ${h_c} = \frac{{2S}}{c} = \frac{{\sqrt {455} }}{{2.6}} = \frac{{\sqrt {455} }}{{12}} \approx 1,78$.

Áp dụng các phép toán vecto trên mặt phẳng tọa độ.

a) $\Leftrightarrow ({x_N} - 1;{y_N} + 2) + 2({x_N};{y_N} - 4) - 4({x_N} - 3;{y_N} - 2) = (0;0)$ $\Leftrightarrow ( - {x_N} + 11; - {y_N} + 2) = (0;0) \Leftrightarrow$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_N} = 11}\\{{y_N} = 2}\end{array}} \right.$ \Leftrightarrow N(11;2).

b)

Gọi $\overrightarrow {{v_1}}$ là vận tốc của máy bay khi chưa có gió, $\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right| = 750$ (km/h); $\overrightarrow {{v_2}}$ là vận tốc của gió, $\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right| = 40$ (km/h); $\overrightarrow v$ là vận tốc của máy bay khi gặp gió.

Ta có: $\overrightarrow v = \overrightarrow {{v_1}} + \overrightarrow {{v_2}}$ và $(\overrightarrow {{v_1}} ,\overrightarrow {{v_2}} ) = {45^o}$.

${\overrightarrow v^2} = {(\overrightarrow {{v_1}} + \overrightarrow {{v_2}} )^2} = {\overrightarrow {{v_1}} ^2} + {\overrightarrow {{v_2}} ^2} + 2\overrightarrow {{v_1}} .\overrightarrow {{v_2}} = |\overrightarrow {{v_1}} {|^2} + |\overrightarrow {{v_2}} {|^2} + 2|\overrightarrow {{v_1}} |.|\overrightarrow {{v_2}} |.\cos {45^o}$ $= {750^2} + {40^2} + 2.750.40.\frac{{\sqrt 2 }}{2} \approx 606526,4068$.

Vậy $\left| {\overrightarrow v} \right| \approx 778,8$ (km/h).