Đề thi học kì 1 Toán 10 - Đề số 5

Đọc kĩ mệnh đề và áp dụng quy tắc sử dụng kí hiệu $\forall$ và $\exists$.

“Có một số nguyên” tức là tồn tại số nguyên: $\exists x \in \mathbb{Z}$.

“Số (nguyên) bằng bình phương của chính nó”: $x = {x^2}$.

Vậy mệnh đề đúng là “$\exists x \in \mathbb{Z},x = {x^2}$”.

Với dấu “>” hoặc “<” ta dùng kí hiệu khoảng ().

$x \in \mathbb{R}$ nên mọi số thực thỏa mãn -3 < x < 1 đều thuộc A. Tập {-3; 1} chỉ có 2 giá trị nên A sai.

Với dấu “>” hoặc “<” ta dùng kí hiệu khoảng. Trong trường hợp này dùng kí hiệu nửa khoảng ở cả hai đầu mút.

Vậy A = (-3; 1).

Quan sát dạng (ẩn, bậc) của bất phương trình.

Các bất phương trình ở đáp án B, C, D đều là bất phương trình bậc hai hai ẩn.

Thay tọa độ các điểm vào hệ phương trình, nếu thỏa mãn hệ điểm đó thuộc miền nghiệm.

Thay tọa độ các điểm vào hệ, chỉ có điểm (0;-2) thỏa mãn hệ.

Sử dụng định lí Cosin cho tam giác.

${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A$

$= {b^2} + {c^2} - 2bc\cos {120^o}$

$= {b^2} + {c^2} - 2bc.\left( { - \frac{1}{2}} \right)$

$= {b^2} + {c^2} + bc$.

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác.

$S = \frac{1}{2}bc\sin A$.

Các vecto cùng phương có giá song song với nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD.

Khi đó $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA}$, $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD}$ và $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$.

Dựng hình thỏa mãn đẳng thức trên và nhận xét.

Vì $\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AB}$ nên hai vecto trên cùng phương và $\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AB}$ cùng chiều.

Khi đó A, B, C thẳng hàng và A nằm giữa B, C.

Vậy khẳng định đúng là $\overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow a$.

Công thức tọa độ vecto $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)$.

$\overrightarrow {MN} = ( - 2 - 4;0 + 3) = ( - 6;3)$.

Áp dụng công thức tính tích vô hướng: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.

$\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$

$\Rightarrow - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \alpha$

$\Rightarrow \cos \alpha = - 1$

$\Rightarrow \alpha = {180^o}$.

Quy tròn đến hàng phần trăm là quy tròn đến chữ số thập phân thứ hai.

Xét chữ số thập phân thứ ba là 6 > 5 nên số sau khi quy tròn là 12,46.

Xác định khoảng biến thiên bằng cách lấy giá trị lớn nhất trừ đi giá trị nhỏ nhất.

Giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 38. Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 60.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là R = 60 – 38 = 22.

Ứng dụng bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải.

a) Sai. Vì mỗi lần chọn được chữ A thì được cộng 3 điểm nên sau x lần chọn chữ A, người chơi được 3x điểm.

b) Đúng. Vì mỗi lần chọn được chữ B thì bì trừ 1 điểm nên sau y lần chọn chữ B, người chơi bị trừ y điểm.

c) Sai. Người chơi cần ít nhất 20 điểm để chiến thắng trò chơi nên $3x - y \ge 20$.

d) Sai. Thay cặp số (8;3) vào bất phương trình được $3.8 - 1.3 = 21 > 20$.

Vậy người chơi thừa 1 điểm so với điểm tối thiểu để chiến thắng trò chơi.

Sử dụng kiến thức về dấu của các giá trị lượng giác của các góc.

Áp dụng công thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$, $\cos ({180^o} - \alpha ) = - \cos \alpha$.

a) Sai. Có ${0^o} < \alpha < {90^o}$ suy ra $\cos \alpha > 0$.

b) Sai. ${\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}$.

c) Sai. Vì $\cos \alpha > 0$ nên $\cos \alpha = \sqrt {\frac{8}{9}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

$\cos ({180^o} - \alpha ) = - \cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

d) Đúng. Ta có: $P = \frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{2\sin \alpha + \cos \alpha }} = \frac{{\frac{1}{3} + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}}{{2.\frac{1}{3} + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = \frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{{2 + 2\sqrt 2 }}$.

Áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm đối với vecto, quy tắc cộng, trừ hai vecto.

a) Đúng. Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow {MG} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GD}$.

b) Sai. $\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$.

c) Sai. $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + 2\overrightarrow {BG}$.

d) Đúng. $\overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GD} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BG} = - \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) + \left( {\overrightarrow {BA} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} } \right)$

$= - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC}$.

a) Sử dụng công thức tính số trung bình.

b) Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện nhiều nhất.

c) Giá trị ngoại lệ nằm ngoài đoạn $[{Q_1} - 1,5{\Delta _Q};{Q_3} + 1,5{\Delta _Q}]$.

d) Sử dụng công thức tính độ lệch chuẩn.

a) Đúng. Số giờ học thêm trung bình của 10 học sinh là

$\overline x = \frac{{2.1 + 3.1 + 4.2 + 5.1 + 6.2 + 7.1 + 8.1 + 15.1}}{{1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1}} = 6$ (giờ).

b) Sai. Mốt của mẫu số liệu trên là 4 và 6 vì có tần số lớn nhất (bằng 2).

c) Sai. Trung vị là ${Q_2} = \frac{{5 + 6}}{2} = 10,5$.

Tứ phân vị thứ nhất là ${Q_1} = 4$, tứ phân vị thứ ba là ${Q_3} = 7$.

Khoảng tứ phân vị là ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 7 - 4 = 3$.

Giá trị ngoại lệ sẽ nhỏ hơn ${Q_1} - 1,5{\Delta _Q} = 4 - 1,5.3 = - 0,5$ và lớn hơn ${Q_3} + 1,5{\Delta _Q} = 7 + 1,5.3 = 11,5$.

Vậy 15 là giá trị ngoại lệ.

d) Đúng. Phương sai của mẫu số liệu:

${s^2} = \frac{1}{{10}}\left[ {{{\left( {2 - 6} \right)}^2} + {{\left( {3 - 6} \right)}^2} + 2.{{\left( {4 - 6} \right)}^2} + {{\left( {5 - 6} \right)}^2} + 2.{{\left( {6 - 6} \right)}^2} + {{\left( {7 - 6} \right)}^2} + {{\left( {8 - 6} \right)}^2} + {{\left( {15 - 6} \right)}^2}} \right] = 12$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là $\sqrt {{s^2}} = \sqrt {12}$.