Đề thi học kì 1 Toán 10 - Đề số 2

Mệnh đề phủ định của P: "$\forall x \in \mathbb{R}, P(x) > a$" là $\overline P$: "$\exists x \in \mathbb{R}, P(x) \le a$".

Mệnh đề phủ định của P: "$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 > 0$" là $\overline P$: "$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 \le 0$".

M\N là tập hợp gồm các phần tử thuộc M mà không thuộc N.

Phần không bị gạch là B\A.

Thay tọa độ từng điểm vào hệ, nếu thỏa mãn hệ thì điểm đó thuộc miền nghiệm.

Thấy $\{\begin{array}{l}3-4=-1<0\\ 2.7-3.4+1=13>0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}3 - 4 = - 1 < 0\\2.7 - 3.4 + 1 = 13 > 0\end{array} \right.$ thỏa mãn hệ nên điểm C(7;4) thuộc miền nghiệm của hệ.

Từ giả thiết, lập bất phương trình.

$0,2x + y \geq 9.$

Áp dụng định lí sin.

$\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow AC = \frac{{AB\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{3.\sin {{45}^o}}}{{\sin {{60}^o}}} = \sqrt 6$.

Áp dụng công thức $S = pr$.

$S = pr \Leftrightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{20\sqrt 3 }}{{10}} = 2\sqrt 3$.

Vẽ hình, quan sát và nhận xét.

Ta thấy $\overset{\rightarrow}{AB}$ và $\overset{\rightarrow}{MB}$ cùng hướng.

Dựa vào tỉ số đoạn thẳng và hướng của hai vecto để xác định.

Ta có $IB = \frac{3}{5}IA$ và $\overrightarrow {IB}$ cùng chiều $\overrightarrow {IA}$ nên $\overrightarrow {IB}  = \frac{3}{5}\overrightarrow {IA}$.

Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì ${x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}$; ${y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}$.

$P = \left( {\frac{{4 + 2}}{2};\frac{{ - 1 + 5}}{2}} \right) = \left( {3;2} \right)$.

Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vecto.

$\overrightarrow {AB} = (5 - 2;4 - 3) = (3;1)$, $\overrightarrow {BC} = (2 - 5;2 - 4) = ( - 3; - 2)$.

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 3.( - 3) + 1.( - 2) = - 11$.

Áp dụng công thức ${\delta _a} \le \frac{d}{{|a|}}$.

Ta có $0,15\% \le \frac{{0,75}}{{\left| a \right|}} \Leftrightarrow \left| a \right| = 500$.

Áp dụng công thức tính số trung bình: $\overline x = \frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3} + ... + {x_n}}}{n}$.

$\overline x  = \frac{{2.6 + 3.18 + 4.26 + 5.20 + 8.30}}{{6 + 18 + 26 + 20 + 30}} = 5,1$.

a) $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)$.

b) Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì: ${x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}$; ${y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}$.

c) Nếu $\overrightarrow a = (x;y)$ thì $\left| {\overrightarrow a} \right| = \sqrt {\overrightarrow a.\overrightarrow a} = \sqrt {{x^2} + {y^2}}$.

d) Cho $\overrightarrow u (x;y)$ và $\overrightarrow v = (x';y')$.

$\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{xx' + yy'}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {x{'^2} + y{'^2}} }}$.

a) Sai. $\overrightarrow {AB}  = ( - 2; - 7)$, $\overrightarrow {AC}  = (3;0)$. Khi đó:

$\overrightarrow u  = 2\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \left( { - 2.2 + 3; - 7.2 + 0} \right) = \left( { - 1; - 14} \right)$.

b) Sai. $G = \left( {\frac{{ - 2 - 4 + 1}}{3};\frac{{5 - 2 + 5}}{3}} \right) = \left( {\frac{{ - 5}}{3};\frac{8}{3}} \right)$.

c) Đúng. $AB = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 7)}^2}}  = \sqrt {53}$.

d) Đúng. $\overrightarrow {CG}  = \left( {\frac{{ - 8}}{3};\frac{{ - 7}}{3}} \right) \Rightarrow CG = \sqrt {{{\left( {\frac{{ - 8}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - 7}}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {113} }}{3}$.

${\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CG} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CG} }}{{AB.CG}} = \frac{{ - 2.\left( {\frac{{ - 8}}{3}} \right) - 7.\left( {\frac{{ - 7}}{3}} \right)}}{{\sqrt {53} .\frac{{\sqrt {113} }}{3}}} \approx 0,84$.

Cho mẫu số liệu ${x_1},{x_2},{x_3},...,{x_n}$.

+) Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất, kí hiệu: ${M_e}$.

+) Số trung bình (hay TB cộng) của mẫu số liệu kí hiệu là $\overline x$, được tính bằng công thức:

$\overline x = \frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3} + ... + {x_n}}}{n}$.

+) Để tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu có n giá trị, ta làm như sau:

- Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.

- Tìm trung vị. Giá trị này là $Q_2$.

- Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ). Giá trị này là $Q_1$, được gọi là tứ phân vị thứ nhất hay tứ phân vị dưới.

- Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ). Giá trị này là $Q_3$, được gọi là tứ phân vị thứ ba hay tứ phân vị trên.

Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{100}}$ lần lượt là số chấm của 100 lần gieo xúc xắc được sắp xếp theo giá trị từ nhỏ đến lớn.

a) Đúng. Mốt của mẫu số liệu trên là 6 vì 6 có tần số lớn nhất.

b) Sai. $\overline x  = \frac{{1.14 + 2.16 + 3.18 + 4.8 + 5.10 + 6.34}}{{100}} = 3,86$.

c) Đúng. ${Q_3} = \frac{{{x_{75}} + {x_{76}}}}{2} = \frac{{6 + 6}}{2} = 6$.

d) Sai. ${M_e} = \frac{{{x_{50}} + {x_{51}}}}{2} = \frac{{4 + 4}}{2} = 4$.

$A \subset B$ khi và chỉ khi mọi phần tử thuộc A đều thuộc B.

Điều kiện: $m - 1 < 2m + 1 \Leftrightarrow m > - 2$.

Để $A \subset B$ thì: $\{\begin{array}{l}-2<m-1\\ 2m+1\le 3\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}m>-1\\ m\le 1\end{array}\Rightarrow -1<m\le 1.$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ - 2 < m - 1}\\{2m + 1 \le 3}\end{array}} \right.$ \Rightarrow $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m > - 1}\\{m \le 1}\end{array}} \right.$ \Rightarrow - 1 < m \le 1.

So sánh với điều kiện ta được $- 1 < m \le 1$. Mà $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \{ 0;1\}$.

Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$ để $A \subset B$.

Áp dụng định lí sin.

Trong tam giác AKI ta có:

$\widehat {IAK} = {180^o} - \widehat {AIK} - \widehat {AKI} = {180^o} - {60^o} - {50^o} = {70^o}$.

Áp dụng định lí sin vào tam giác AKI ta có: $\frac{{AK}}{{\sin AIK}} = \frac{{IK}}{{\sin KAI}}$

$\Rightarrow AK = \frac{{IK \cdot \sin AIK}}{{\sin KAI}} = \frac{{380 \cdot \sin {{60}^o}}}{{\sin {{70}^o}}} \approx 350,21$ (m).

Lại có: $\widehat {KAB} = {180^o} - \widehat {KAI} = {180^o} - {70^o} = {110^o}$.

Áp dụng định lí sin vào tam giác AKB ta có: $\frac{{AB}}{{\sin AKB}} = \frac{{AK}}{{\sin ABK}}$

$\Rightarrow AB = \frac{{AK \cdot \sin AKB}}{{\sin ABK}} \approx \frac{{350,21 \cdot \sin ({{65}^o} - {{50}^o})}}{{\sin ({{180}^o} - {{110}^o} - {{15}^o})}} \approx 111$ (m).

Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải.

Gọi x, y $(x \ge 0,y \ge 0)$ lần lượt là số ha đất trồng rau và hoa.

Diện tích đất trồng canh tác không vượt quá 8 ha nên ta có: $x + y \le 8$.

Số ngày công sử dụng không vượt quá 180 ngày nên $20x + 30y \le 180$.

Từ đó, ta có hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 8\\ 20x+30y\le 180\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y \le 8}\\{20x + 30y \le 180}\end{array}} \right.$

Ta cần tìm x, y sao cho T(x, y) = 3x + 4y lớn nhất.

Miền nghiệm của hệ được biểu diễn như sau:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền trong của tứ giác OABC, kể cả 4 cạnh của tứ giác đó, với O(0;0), A(8;0), B(6;2), C(0;6).

Tại O(0;0), ta có: T = 3.0 + 4.0 = 0;

Tại A(8;0), ta có: T = 3.8 + 4.0 = 24;

Tại B(6;2), ta có: T = 3.6 + 4.2 = 26;

Tại C(0;6), ta có: T = 3.0 + 4.6 = 24.

Vậy số lợi nhuận cao nhất mà gia đình chị Minh thu được từ trồng rau và hoa là 26 triệu đồng.

Áp dụng quy tắc hình bình hành và định lí cos.

Gọi A, B, C là điểm cuối của các vectơ lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}}$ và dựng hình bình hành MADB.

Gọi $\overrightarrow {{F_{12}}}$ là hợp lực của hai lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}}$.

Ta có $\widehat {MBD} = {180^o} - \widehat {AMB} = {120^o}$. $MB = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 20$, $BD = MA = \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 10$.

$\left| {\overrightarrow {{F_{12}}} } \right| = MD = \sqrt {M{B^2} + B{D^2} - 2.MB.BD.\cos MBD} = 10\sqrt 7$ (N).

Vật đứng yên nên $\overrightarrow {{F_3}} = - \overrightarrow {{F_{12}}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_{12}}} } \right| = 10\sqrt 7 \approx 26,5$ (N).

Bước 1: Xác định hướng, độ lớn của các vecto vận tốc.

Bước 2: Từ giả thiết “vật đứng yên” suy ra cường độ và hướng của lực $\overrightarrow {{F_3}}$.

Gọi O là vị trí của ca nô.

Vẽ $\overrightarrow {OA}$ là vận tốc dòng nước (chảy từ phía bắc xuống phía nam);

$\overrightarrow {OB}$ là vận tốc riêng của ca nô (chuyển động từ phía đông sang phía tây).

Khi đó vecto vận tốc của ca nô so với bờ sông là vecto $\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}$.

Gọi C là đỉnh thứ tư của hình bình hành OACB, ta có: $\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}$

Xét tam giác OBC vuông tại B ta có:

BC = 40; BC = OA = 10.

$\Rightarrow OC = \sqrt {O{B^2} + B{C^2}}  = 10\sqrt {17}$.

Vậy vận tốc của ca nô so với bờ sông là $10\sqrt {17}$ km/h.

Gọi C là địa điểm máy bay đến sau khi xuất phát 1 giờ. Tìm tọa độ điểm C.

Bước 1: Tính tọa độ $\overrightarrow {AB}$.

Bước 2: Từ giả thiết tìm điểm C thỏa mãn $\overrightarrow {AC}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}$ rồi kết luận.

Gọi C(a; b) là địa điểm máy bay đến sau khi xuất phát 1 giờ.

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = ( - 400;300)$.

Theo giả thiết, AC = $\frac{1}{3}AB$ $\Rightarrow \overrightarrow {AC}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}a - 600 = \frac{1}{3}.( - 400)\\b - 200 = \frac{1}{3}.300\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{1400}}{3}\\b = 300\end{array} \right.$ \Rightarrow C\left( {\frac{{1400}}{3};300} \right).

Vậy toạ độ của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 1 giờ là $\left( {\frac{{1400}}{3};300} \right)$.

Áp dụng công thức $s = \sqrt {{s^2}}$, trong đó:

${s^2} = \frac{{{{({x_1} - \bar x)}^2} + {{({x_2} - \bar x)}^2} + \cdots + {{({x_n} - \bar x)}^2}}}{n}$

$= \frac{1}{n}({n_1}{x_1}^2 + {n_2}{x_2}^2 + ... + {n_k}{x_k}^2) - {\overline x ^2}$.

+) Ta có bàng tần số:

+) Từ bảng tần số ta có số lượng áo trung bình bán ra trong 1 tháng là: $\overline x  = 575$ ( chiếc áo).

+) Phương sai của mẫu số liệu là:

${s^2}$

$= \frac{{{{\left( {410 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {430 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {450 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {525 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {550 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {560 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {635 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {760 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {800 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {900 - \overline x } \right)}^2}}}{{12}}$

$= 25401$.

+) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: $s = \sqrt {{s^2}}  = 159,4$.