Đề giữa học kỳ 1 Toán 10 năm 2025 – 2026 trường THPT Hồ Thị Bi – TP HCM

Xét tính đúng sai từng mệnh đề P(0), P(4), P(7), P(3).

Ta có $P(7):2.7 + 10 \le {7^2}$ đúng.

Tập hợp gồm n phần tử có $2^n$ tập con.

X có $2^3 = 8$ tập con.

Tập hợp $A = \{x \in \mathbb{R} | a \leq x < b\}$ được viết dưới dạng khoảng, đoạn, nửa khoảng là $A = [a;b)$.

Tập hợp $A = \{x \in \mathbb{R} | -5 \leq x < 3\}$ được viết dưới dạng khoảng, đoạn, nửa khoảng là $A = [-5; 3)$.

Dựa vào định lí sin $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$.

Theo định lí sin: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$.

Do đó $\frac{\sin B}{b} = 2R$ sai.

Áp dụng định lí cosin: $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos ABC}$.

$AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos ABC}$

$= \sqrt {{5^2} + {8^2} - 2.5.8.\cos {{60}^o}} = 7$.

Mệnh đề phủ định của P: "$\forall x \in \mathbb{R}, P(x) > a$" là $\overline P$: "$\exists x \in \mathbb{R}, P(x) \le a$".

Mệnh đề phủ định của P: "$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 > 0$" là $\overline P$: "$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 \le 0$".

Sử dụng công thức $\sin \alpha = \sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right)$.

$\tan {30^o} + \sin {120^o} = \tan {30^o} + \sin {60^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{5\sqrt 3 }}{6}$.

M\N là tập hợp gồm các phần tử thuộc M mà không thuộc N.

$M \setminus N = \{6; 9\}$.

$\sin \widehat{xOM}$ là tung độ điểm M.

$\sin \widehat{xOM} = \frac{1}{2}$.

Giải phương trình ${x^2} - 6x + 8 = 0$.

Phần tử của A là nghiệm thực của phương trình trên.

${x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 4\\x = 2\end{array}$ \right.

A = {2; 4}.

Một khẳng định nhưng không là mệnh đề, nhưng nếu cho một giá trị cụ thể thì câu đó cho ta một mệnh đề. Những câu như vậy được gọi là mệnh đề chứa biến.

"$({{x}^{2}}+x)\vdots 3$" là mệnh đề chứa biến.

Mệnh đề đảo của mệnh đề "Nếu A thì B" là mệnh đề "Nếu B thì A".

Cho mệnh đề: “Nếu tam giác có hai góc bằng $60^o$ thì tam giác đó là tam giác đều”. Mệnh đề đảo của mệnh đề trên là "Nếu tam giác là tam giác đều thì tam giác đó có hai góc bằng $60^o$".

Mệnh đề là một khẳng định có tính đúng/sai.

Phát biểu "Số 3 là số nguyên tố lẻ nhỏ nhất" là một khẳng định có tính đúng/sai xác định nên là một mệnh đề.

Thay cặp số vào từng BPT.

Thay x = 1, y = 3 vào bất phương trình x - 3y - 2 < 0, ta được: 1 – 3.3 – 2 = 0.

Dựa vào dạng của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bất phương trình $\frac{1}{x} + \frac{3}{y} - 5 \le 0$ chứa ẩn ở mẫu số, không có dạng bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hợp của A và B là tập hợp chứa các phần tử hoặc thuộc A, hoặc thuộc B.

$A \cup B = [0;5)$.

Áp dụng các công thức giải tam giác.

a) Đúng. $A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2.AC.BC.\cos C$

$= {6^2} + {4^2} - 2.6.4.\cos {60^o} = 36 + 16 - 24 = 28 \Rightarrow AB = 2\sqrt 7$.

b) Sai. Diện tích $\Delta ABC$ là:

$S = \frac{1}{2}AC.BC.\sin C = \frac{1}{2}.6.4.\sin {60^o} = 6\sqrt 3$.

${h_a} = \frac{{2S}}{{BC}} = \frac{{2.6\sqrt 3 }}{4} = 3\sqrt 3$.

c) Sai. $S = 6\sqrt 3$.

d) Sai. Nửa chu vi: $p = \frac{{4 + 6 + 2\sqrt 7 }}{2} = 5 + \sqrt 7$.

Bán kính đường tròn nội tiếp: $r = \frac{S}{p} = \frac{{6\sqrt 3 }}{{5 + \sqrt 7 }} = \frac{{5\sqrt 3 - \sqrt {21} }}{3}$.

Ứng dụng kiến thức về tập hợp để giải.

a) Sai. Số học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao là 28, suy ra n(A) = 28.

b) Đúng. Số học sinh tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ là:

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 28 + 19 - 10 = 37$.

c) Sai. Số học sinh chỉ tham gia câu lạc bộ thể thao là:

$n(A\backslash B) = n(A) - n(A \cap B) = 28 - 10 = 18$.

d) Đúng. Số học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ là $n\left( {A \cap B} \right) = 10$.

Áp dụng các phép toán trên tập hợp.

$A \cap B = \left( {2;5} \right]$, $A \cup B = \left( { - 3; + \infty } \right)$, $B\backslash A = \left( {5; + \infty } \right)$, ${C_\mathbb{R}}B = \mathbb{R}\backslash \left( {2; + \infty } \right) = \left( { - \infty ;2} \right]$.

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $ax + by \le c$.

Bước 1: Vẽ đường thẳng $\Delta :ax + by = c$.

Bước 2: Lấy điểm $A({x_0};{y_0})$ không thuộc $\Delta$. Tính $a{x_0} + b{y_0}$ rồi so sánh với c.

Bước 3: Kết luận:

+ Nếu $a{x_0} + b{y_0} < c$ thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng (kể cả bờ $\Delta$) chứa điểm $A({x_0};{y_0})$.

+ Nếu $a{x_0} + b{y_0} > c$ thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng (kể cả bờ $\Delta$) không chứa điểm $A({x_0};{y_0})$.

Vẽ đường thẳng d: 2x – y = 6 đi qua hai điểm (3; 0) và (0; -6).

Chọn điểm O(0; 0) không thuộc d. Thay x = 0, y = 0 vào bất phương trình: $2.0 - 0 = 0 \ge 6$, thấy mệnh đề trên sai.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d, không chứa gốc tọa độ O(0;  0) (bao gồm cả đường thẳng d).

Áp dụng định lí sin trong tam giác.

$\widehat {BAC} = \widehat {OAC} - \widehat {OAB} = {50^o} - {26^o} = {24^o}$.

Xét tam giác AOC vuông tại O:

$\widehat {ACO} = {90^o} - \widehat {OAC} = {90^o} - {50^o} = {40^o} \Rightarrow \widehat {ACB} = {40^o}$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC:

$\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}}$

$\Rightarrow BC = AB.\frac{{\sin {{24}^o}}}{{\sin {{40}^o}}} = 30.\frac{{\sin {{24}^o}}}{{\sin {{40}^o}}} \approx 19$ (m).

Áp dụng định lí cosin trong tam giác.

ST =15.10 = 150 (hải lý).

Áp dụng định lí cosin trong tam giác STB:

$TB = \sqrt {S{T^2} + S{B^2} - 2.ST.SB.\cos \widehat {TSB}}$

\( = \sqrt {{{150}^2} + {{600}^2} - 2.150.600.\cos {{20}^o}}  \approx 462\(.