Đề giữa học kì 1 Toán 10 năm 2024 – 2025 trường THPT Hồng Bàng – Hải Phòng

Áp dụng định lí cosin.

$b = \sqrt {{a^2} + {c^2} - 2ac\cos B} = \sqrt {{8^2} + {3^2} - 2.8.3\cos {{60}^o}} = 7$.

Xác định miền nghiệm.

Đường thẳng $3x + 2y + 6 = 0$ đi qua hai điểm (0;-3) và (-2;0) nên ta chọn đáp án A.

Giao của A và B gồm các phần tử thuộc cả A và B.

Hợp của A và B gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B.

$A \cup B = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)$;

$\left( {A \cup B} \right) \cap C = \left[ {3;4} \right)$.

Dựa vào các kí hiệu.

Ký hiệu đúng là $3 \in {\mathbb{N}}$.

Áp dụng hệ quả định lí cosin.

$\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 2bc\cos A$

$\Leftrightarrow \sqrt 3 = 2\cos A \Leftrightarrow \cos A = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow A = {30^o}$.

Áp dụng công thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$.

$\alpha$ là góc tù nên $\cos \alpha < 0$.

Do đó $\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Xét tính đúng sai của từng mệnh đề.

"Tích của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ" là mệnh đề đúng.

Sử dụng định nghĩa mệnh đề chứa biến.

"$\left( {x^{2} + x} \right) \vdots 3\,\,,\, x \in {\mathbb{N}}$" là mệnh đề chứa biến.

Thay các tọa độ vào hệ, nếu thỏa mãn thì điểm thuộc miền nghiệm của hệ.

Ta có x $\{\begin{array}{l}5-3>0\\ 5-3.3+3<0\\ 5+3-5>0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}5 - 3 > 0\\5 - 3.3 + 3 < 0\\5 + 3 - 5 > 0\end{array} \right.$ (thỏa mãn) nên miền nghiệm của hệ chứa điểm (5;3).

Xét tính đúng sai của từng mệnh đề.

"Tổng của hai cạnh một tam giác lớn hơn cạnh thứ ba" là một mệnh đề.

Áp dụng định lí sin.

Ta có $\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Leftrightarrow \frac{4}{{\sin {{45}^o}}} = \frac{{BC}}{{\sin {{60}^o}}} \Leftrightarrow BC = 2\sqrt 6$.

Sử dụng hệ quả định lí cosin.

$\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2-c^2>0\\ ab>0\end{array}\Rightarrow \cos \widehat{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}>0\Rightarrow \widehat{C}<{90}^o$$\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} - {c^2} > 0\\ab > 0\end{array} \right.$ \Rightarrow \cos \widehat C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} > 0 \Rightarrow \widehat C < {90^o}.

A\B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A mà không thuộc B.

$A = [ - 2; + \infty )$, $B = ( - \infty ;5]$.

$A\backslash B = (5; + \infty )$.

Xác định phương trình các đường thẳng là bờ của miền nghiệm.

Vì miền nghiệm không có bờ là đường thẳng y = 0 nên loại đáp án B.

Miền nghiệm kể cả ba cạnh của tam giác nên loại đáp án D.

Đường thẳng AB dạng y = ax + b cắt hai trục tại các điểm có tọa độ $(0;2)$ và $\left( {\frac{5}{2};0} \right)$, đo đó ta có hệ: $\{\begin{array}{l}2=a.0+b\\ 0=a\mathrm{.}\frac{5}{2}+b\end{array}\iff \{\begin{array}{l}b=2\\ a=-\frac{4}{5}\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}2 = a.0 + b\\0 = a.\frac{5}{2} + b\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}b = 2\\a = - \frac{4}{5}\end{array} \right.$.

Vậy miền nghiệm chứa đường thẳng $y = - \frac{4}{5}x + 2 \Leftrightarrow 4x + 5y = 10$. Chọn đáp án A.

Sử dụng hệ quả định lí cosin.

$\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}} = \frac{{{4^2} + {9^2} - {7^2}}}{{2.4.9}} = \frac{2}{3}$.

Giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức P(x;y) = ax + by (b ≠ 0) trên miền đa giác lồi (kể cả biên) đạt được tại một đỉnh nào đó của đa giác.

Miền nghiệm của hệ là tam giác ABC với A(1;4), B(2;3), C(0;2).

${F_A} = 4 - 1 = 3$; ${F_B} = 3 - 2 = 1$; ${F_C} = 2 - 0 = 2$.

Vậy GTNN của F = y – x bằng 1 khi x = 2, y = 3.

Thay các tọa độ vào hệ, nếu thỏa mãn thì điểm thuộc miền nghiệm của hệ.

Ta có $\{\begin{array}{l}\sqrt{3}>0\\ \sqrt{3}+\sqrt{3}.0+1>0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 3 > 0\\\sqrt 3 + \sqrt 3 .0 + 1 > 0\end{array} \right.$ (thỏa mãn) nên $\left( {\sqrt 3 ;0} \right) \in S$.

Áp dụng công thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$.

Vì $\alpha$ là góc tù nên $\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^2}} = - \frac{3}{5}$.

$A = 2\sin \alpha - \cos \alpha = 2.\frac{4}{5} - \left( { - \frac{3}{5}} \right) = \frac{{11}}{5}$.

Áp dụng công thức $\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}$ và ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$.

$G = \left( {1 - {{\cos }^2}x} \right){\tan ^2}x + 1 - {\tan ^2}x$

$= {\tan ^2}x - {\sin ^2}x + 1 - {\tan ^2}x$

$= - {\sin ^2}x + 1$

$= {\cos ^2}x$.

Kiểm tra số nào có tổng các chữ số chia hết cho 6 mà số đó không chia hết cho 6.

33 là số có tổng các chữ số là 3 + 3 = 6 nhưng 33 không chia hết cho 6.

Do đó $S$ sai.

Áp dụng định lí sin.

Công thức ở đáp án D sai vì $\frac{b}{{\sin B}} = 2R$.

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC:

$S = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat A$.

Ta có $S = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat A = \frac{1}{2}.2a.4a.\sin {120^o} = 2a^2\sqrt 3$.

Tập hợp n phần tử có số tập con là $2^n$.

$3{\left( {{x^2} + x} \right)^2} - 2{x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow 3\left( {{x^4} + 2{x^3} + {x^2}} \right) - 2{x^2} - 2x = 0$

$\Leftrightarrow 3{x^4} + 6{x^3} + {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\\x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {33} }}{6}\end{array}$ \right..

Tập con A có 4 phần tử (tương đương với 4 nghiệm) nên số tập con của A là ${2^4} = 16$.

Áp dụng công thức $1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$.

$1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$

$\Leftrightarrow 1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^2}}}$

$\Leftrightarrow \tan \alpha = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{2}$.

Xét góc ${90^ \circ } < \alpha < {180^ \circ }$, vì $\cos \alpha = - \frac{2}{3} < 0$ nên $\alpha$ là góc tù, khi đó $\tan \alpha < 0$ hay
$\tan \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}$.

A\B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A mà không thuộc B.

\(A\B=\left\{ {6;9} \right\}\).

Mệnh đề là một khẳng định có tính đúng sai.

Phát biểu a), c), d) là mệnh đề.

Tìm giá trị x thỏa mãn rồi kết luận.

Ta có $5 \le {3^2} \le 11$ nên mệnh đề đúng là P(3).

Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp chứa các phần tử thuộc cả A và B.

$A = \left[ { - 2; + \infty } \right)$, $B = \left( { - \infty ;5} \right]$.

$A \cap B = \left[ { - 2;5} \right]$.

Sử dụng kí hiệu phù hợp.

Vì $\sqrt 5$ là một phần tử nên ta dùng dấu $\in$ hoặc $\notin$.

Áp dụng biểu đồ Venn.

Số học sinh chỉ chơi bóng đá là: 25 – 14 = 11 (học sinh).

Số học sinh chỉ chơi bóng bàn là: 23 – 14 = 9 (học sinh).

Số học sinh chỉ chơi 1 môn là: 11 + 9 = 20 (học sinh).

Áp dụng công thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$.

Vì $\alpha$ là góc tù nên $\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^2}} = - \frac{3}{5}$.

$M = \frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} = \frac{{\frac{4}{5} + \left( { - \frac{3}{5}} \right)}}{{{{\left( { - \frac{3}{5}} \right)}^3}}} = - \frac{{25}}{{27}}$.

Thay từng cặp số vào bất phương trình, nếu thỏa mãn thì là nghiệm của bất phương trình.

Vì $3.5 - 3.1 \ge 4$ (thỏa mãn) nên $\left( {x_{0};y_{0}} \right) = \left( {5;1} \right)$ là nghiệm của bất phương trình.

Mệnh đề là một khẳng định có tính đúng sai.

"3 là số nguyên tố lẻ nhỏ nhất" là một mệnh đề.

Tìm x thỏa mãn điều kiện, suy ra x + 1, từ đó viết tập hợp A.

$x \in \mathbb{N},x \le 5$ nên $x \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\} \Rightarrow x + 1 \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}$.

Vậy $A = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}$.

Áp dụng định lí sin.

M là trung điểm của cạnh huyền BC nên MA = MB = MC = 5 cm.

Xét tam giác vuông ABC có $\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5}$.

Xét tam giác ABM có $\frac{{AM}}{{\sin B}} = 2R \Leftrightarrow R = \frac{{AM}}{{2\sin B}} = \frac{5}{{2.\frac{4}{5}}} = \frac{{25}}{8}$ cm.

Giao của hai tập hợp A, B là tập hợp gồm các phần tử thuộc cả A và B.

Tìm m để $A \cap B = \emptyset$, sau đó suy ra $A \cap B \ne \emptyset$.

\(A \cap B = \emptyset  \Leftrightarrow 4m \le \frac{{25}}{m}\)

$\Leftrightarrow \frac{{4{m^2} - 25}}{m} \le 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - 25 \ge 0$ (vì m < 0) \( \Leftrightarrow m \le  - 2,5\).

Suy ra \(A \cap B \ne \emptyset  \Leftrightarrow  - 2,5 \le m \le 0\), mà m nguyên nên có 2 giá trị m thỏa mãn.

Áp dụng công thức $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

Gọi tập hợp học sinh ủng hộ vở là A, tập hợp học sinh ủng hộ cặp sách là B.

Theo đề bài, $n(A) = 29$, $n(B) = 25$, $n(A \cup B) = 45 - 10 = 35$.

Số học sinh ủng hộ cả vở và cặp sách là:

$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B)$

$= 29 + 25 - 35 = 19$ (học sinh).

Áp dụng các công thức lượng giác đã học

Ta có $3\cos \alpha  - \sin \alpha  = 1$

$\Leftrightarrow 3\cos \alpha  = \sin \alpha  + 1$

$\Rightarrow 9{\cos ^2}\alpha  = {(\sin \alpha  + 1)^2}$

$\Leftrightarrow 9{\cos ^2}\alpha  = {\sin ^2}\alpha  + 2\sin \alpha  + 1$

$\Leftrightarrow 9(1 - {\sin ^2}\alpha ) = {\sin ^2}\alpha  + 2\sin \alpha  + 1$

$\Leftrightarrow 10{\sin ^2}\alpha  + 2\sin \alpha  - 8 = 0$

$\Leftrightarrow$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\sin \alpha  =  - 1}\\{\sin \alpha  = \frac{4}{5}}\end{array}} \right.$

$\sin \alpha  =  - 1$: không thỏa mãn vì ${0^\circ } < \alpha  < {90^\circ }$.

$\sin \alpha  = \frac{4}{5} \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{3}{5}$ (vì ${0^\circ } < \alpha  < {90^\circ } \Rightarrow \cos \alpha  > 0$).

$\Rightarrow \tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{4}{3} \Rightarrow 9\tan \alpha  = 12$.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác.

Gọi $t$ (giờ) là thời gian kể từ khi hai tàu xuất phát ($t > 0$).

- Quãng đường tàu thứ nhất đi được sau thời gian $t$ là: ${d_1} = 8t$ (hải lí).

- Quãng đường tàu thứ hai đi được sau thời gian $t$ là: ${d_2} = 10t$ (hải lí).

Góc giữa hai hướng đi của hai tàu là ${120^o}$. Theo định lí côsin, khoảng cách $d$ giữa hai tàu sau thời gian $t$ được tính bằng công thức:

${d^2} = d_1^2 + d_2^2 - 2.{d_1}.{d_2}.\cos {120^o}$

$\Leftrightarrow {65^2} = {\left( {8t} \right)^2} + {\left( {10t} \right)^2} - 2.8t.10t.\cos {120^o}$

$\Rightarrow t = \sqrt {\frac{{4225}}{{244}}}  \approx 4,16$.

Bước 1: Tính góc $\widehat {{A_1}D{B_1}} \Rightarrow$ Áp dụng định lí sin trong tam giác ${A_1}D{B_1}$ để tính ${A_1}D$.

Bước 2: Tính ${C_1}D$ từ đó suy ra chiều cao của tháp.

Ta có: $\widehat {D{A_1}{C_1}} = \widehat {{A_1}D{B_1}} + \widehat {D{B_1}{A_1}}$

$\Rightarrow \widehat {{A_1}D{B_1}} = {49^ \circ } - {35^ \circ } = {14^ \circ }$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ${A_1}D{B_1}$ , ta có:

$\frac{{{A_1}D}}{{\sin {B_1}}} = \frac{{{A_1}{B_1}}}{{\sin D}} \Leftrightarrow \frac{{{A_1}D}}{{\sin {{35}^ \circ }}} = \frac{{12}}{{\sin {{14}^ \circ }}}$

$\Rightarrow {A_1}D = \sin {35^ \circ }.\frac{{12}}{{\sin {{14}^ \circ }}} \approx 28,45$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ${A_1}D{C_1}$ , ta có:

$\frac{{{A_1}D}}{{\sin {C_1}}} = \frac{{{C_1}D}}{{\sin {A_1}}} \Leftrightarrow \frac{{28,45}}{{\sin {{90}^ \circ }}} = \frac{{{C_1}D}}{{\sin {{49}^ \circ }}}$

$\Rightarrow {C_1}D = \sin {49^ \circ }.\frac{{28,45}}{{\sin {{90}^ \circ }}} \approx 21,47$.

Do đó, chiều cao CD của tháp là: $21,47 + 1,2 = 22,67$ (m).