Đề giữa học kỳ 1 Toán 10 năm 2024 – 2025 trường THPT Hiệp Hòa 2 – Bắc Giang

Mệnh đề toán học là mệnh đề khẳng định một sự kiện trong toán học.

“1 + 1 = 3” là một mệnh đề toán học.

Dựa vào cách viết tập hợp con của tập số thực.

$M = \left\lbrack {2;\, 5} \right)$.

B là tập con của A nếu tất cả các phần tử thuộc B đều thuộc A.

$B \subset A \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}m \ge 1\\m + 1 \le 3\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le 2\end{array} \right.$ \Leftrightarrow 1 \le m \le 2.

Thay từng cặp số vào bất phương trình, nếu không thỏa mãn thì không phải nghiệm của bất phương trình.

Ta có $3.( - 1) + 5.1 - 2 = 0$ nên $\left( {x;y} \right) = \left( { - 1;1} \right)$ không phải nghiệm của bất phương trình $3x + 5y - 2 < 0$.

Dựa vào dạng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

$\{\begin{array}{l}-3x+y\le -1\\ 4x-7y>5\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {- 3x + y \leq - 1} \\ {4x - 7y > 5} \end{array} \right.$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Áp dụng quy tắc ba điểm và định lí Pythagores để tính.

Tam giác ABC vuông tại A nên theo định lí Pythagores, ta có:

$BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5$.

Ta có $\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = BC = 5$.

Áp dụng định nghĩa vecto bằng nhau và quy tắc ba điểm.

$\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DB}$.

Áp dụng định lí sin.

Theo định lí sin, ta có $\frac{b}{{\sin B}} = 2R$ nên hệ thức ở đáp án B sai.

Hợp của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B.

Ta có $A = \left( { - \infty ; - 3} \right]$, $B = \left( { - 3;10} \right]$.

Do đó $A \cup B = \left( { - \infty ;10} \right]$.

Thay từng cặp số vào hệ, nếu thỏa mãn thì cặp số đó là nghiệm của hệ phương trình.

Ta có $\{\begin{array}{l}1-3.(-2)=7>5\\ 2.1+(-2)=0<3\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}1 - 3.( - 2) = 7 > 5\\2.1 + ( - 2) = 0 < 3\end{array} \right.$ nên (1;-2) là nghiệm của hệ bất phương trình.

Áp dụng các công thức lượng giác ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$, $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$.

Vì $\alpha$ là góc tù nên $\cos \alpha < 0$.

Do đó $\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^2}} = - \frac{3}{5}$.

Ta có $tan\left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \tan \alpha = - \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \frac{{\frac{4}{5}}}{{ - \frac{3}{5}}} = \frac{4}{3}$.

Áp dụng định lí cosin và công thức tính diện tích tam giác.

Ta có ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}BC.AC.\sin \widehat C \Leftrightarrow 3\sqrt 3 = \frac{1}{2}.4.3.\sin \widehat C \Leftrightarrow \widehat C = {60^o}$.

$AB = \sqrt {B{C^2} + A{C^2} - 2BC.AC.\cos \widehat C} = \sqrt {{4^2} + {3^2} - 2.4.3.\cos {{60}^o}} = \sqrt {13}$.

Kết hợp các phép toán trên tập hợp.

$A = \{ 0;2\}$.

a) Sai. $A \cup B = \{ 0;1;2;3\}$.

b) Đúng. $B\backslash A = \{ 1;3\}$.

c) Đúng. $A \cap B = \{ 0;2\}$; $\left( {A \cap B} \right) \cup \left( {B\backslash A} \right) = \{ 0;1;2;3\} = B$.

d) Sai. $C \cap B$ có 8 tập hợp con suy ra $C \cap B$ gồm 3 phần tử.

Khi đó $C \cap B = \{ 0;1;2\}$ hoặc $C \cap B = \{ 0;1;3\}$.

TH1: $m = 2 \Rightarrow m + 2 = 4$ (TM).

TH2: $m + 2 = 2 \Rightarrow m = 0$ (loại).

TH3: $m = 3 \Rightarrow m + 2 = 5$ (TM).

TH4: $m + 2 = 3 \Rightarrow m = 1$ (loại).

Vậy có 2 giá trị nguyên là m = 2 hoặc m = 3 TM yêu cầu đề bài.

Thay các cặp số vào hệ, nếu thỏa mãn thì là nghiệm của hệ.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ.

Giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức P(x;y) = ax + by (b ≠ 0) trên miền đa giác lồi (kể cả biên) đạt được tại một đỉnh nào đó của đa giác.

a) Đúng. Hệ trên là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Đúng. Vì $\{\begin{array}{l}2.0+3.0-6\le 6\\ 0\ge 0\\ 2.0-3.0-1\le 0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}2.0 + 3.0 - 6 \le 6\\0 \ge 0\\2.0 - 3.0 - 1 \le 0\end{array} \right.$ (hệ đúng).

c) Sai. Vì $\{\begin{array}{l}2.1+3.(-1)-6\le 6\\ 1\ge 0\\ 2.1-3.(-1)-1\le 0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}2.1 + 3.( - 1) - 6 \le 6\\1 \ge 0\\2.1 - 3.( - 1) - 1 \le 0\end{array} \right.$ (vô lí).

d) Sai. Miền nghiệm của hệ là tam giác ABC với A(0;2), $B\left( {\frac{7}{4};\frac{5}{6}} \right)$, $C\left( {0; - \frac{1}{3}} \right)$.

Ta có: ${L_A} = 2 - 0 = 2$; ${L_B} = \frac{5}{6} - \frac{7}{4} = - \frac{{11}}{{12}}$; ${L_C} = - \frac{1}{3} - 0 = - \frac{1}{3}$.

Vậy $L = y - x$ đạt GTNN là $- \frac{{11}}{{12}}$ và đạt GTLN là 2.

Khi đó $a + b = 2 - \frac{{11}}{{12}} = \frac{{13}}{{12}}$.

Áp dụng định nghĩa vecto bằng nhau, quy tắc hình bình hành, phép nhân vecto với một số, độ dài vecto.

a) Sai. $\overrightarrow {OA}$ và $\overrightarrow {OC}$ không cùng hướng nên không bằng nhau.

b) Đúng. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AO}$.

c) Sai. $\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = CB = AD = 3$.

d) Đúng. $\left| {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} } \right| = \sqrt {{{(3.2)}^2} + {4^2}} = 2\sqrt {13}$.

Áp dụng các công thức tính diện tích tam giác.

a) Đúng. $p = \frac{{7 + 9 + 12}}{2} = 14$.

b) Sai. $S = \sqrt {14(14 - 7)(14 - 9)(14 - 12)} = 14\sqrt 5$.

c) Sai. $R = \frac{{7.9.12}}{{4.14\sqrt 5 }} = \frac{{27\sqrt 5 }}{{10}}$.

d) Sai. $r = \frac{S}{p} = \frac{{14\sqrt 5 }}{{14}} = \sqrt 5$.

Chia cả tử và mẫu cho $\cos x$.

Vì $\tan x = - 1$ nên $\cos x \ne 0$. Ta chia cả tử và mẫu cho $\cos x$:

$P = \frac{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{2\cos x}}{{\cos x}}}}{{\frac{{\cos x}}{{\cos x}} + \frac{{2\sin x}}{{\cos x}}}} = \frac{{\tan x + 2}}{{1 + 2\tan x}} = \frac{{ - 1 + 2}}{{1 + 2.( - 1)}} = - 1$.

Áp dụng công thức $n\left( {A \cup B} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) - n\left( {A \cup B} \right)$.

Gọi A là tập hợp các học sinh tham gia tiết mục nhảy.

B là tập hợp các học sinh tham gia tiết mục hát.

Ta có $n\left( {A \cup B} \right) = 46 - 4 = 42$; $n\left( A \right) = 26$; $n\left( {A \cap B} \right) = 10$.

Mặt khác $n\left( {A \cup B} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) - n\left( {A \cup B} \right)$

$\Leftrightarrow 42 = 26 + n\left( B \right) - 10 \Leftrightarrow n\left( B \right) = 26$.

Vậy có 26 học sinh tham gia tiết mục hát.

Từ điều kiện của đề bài, lập bất phương trình ẩn x, y.

Số tiền cần dùng để An mua x quyển vở là 7x (nghìn đồng).

Số tiền cần dùng để An mua y bút bi là 4,5y (nghìn đồng).

Vì toorg số tiền không quá 200 nghìn đồng nên ta có bất phương trình:

$7x + 4,5y \le 200$, hay $14x + 9y \le 400$.

Suy ra $5a + b = 5.14 + 400 = 470$.

Áp dụng công thức $\left| {\overrightarrow {{F_{12}}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \sqrt {{F_1}^2 + {F_2}^2 + 2{F_1}{F_2}\cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right)}$.

Cường độ lực tổng hợp của hai lực trên là:

$\left| {\overrightarrow {{F_{12}}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \sqrt {{F_1}^2 + {F_2}^2 + 2{F_1}{F_2}\cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right)}$

$= \sqrt {{{60}^2} + {{90}^2} + 2.60.90.\cos {{45}^o}} \approx 139$ (N).

Sử dụng định lí sin.

$\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow AC = \frac{{AB\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{40.\sin {{70}^o}}}{{\sin \left( {{{180}^o} - {{45}^o} - {{70}^o}} \right)}} \approx 41,5$ (m).

Biểu diễn miền nghiệm của hệ.

Giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức P(x;y) = ax + by (b ≠ 0) trên miền đa giác lồi (kể cả biên) đạt được tại một đỉnh nào đó của đa giác.

Miền nghiệm của hệ là tam giác ABC với A(2;2), B(5;-1), C(2;-4).

${F_A} = 3.2 - 2.2 = 2$; ${F_B} = 3.( - 1) - 2.5 = - 13$; ${F_C} = 3.( - 4) - 2.2 = - 16$.

Vậy GTNN của $F = 3y - 2x$ bằng -16.