Đề giữa học kỳ 1 Toán 10 năm 2024 – 2025 trường THPT Lê Trọng Tấn – TP HCM

Phủ định của "$\exists$" là "$\forall$".

Phủ định của "A là B" là "A không là B".

Mệnh đề phủ định là $\overline{A} =$"$\forall n \in {\mathbb{N}}:3n + 1$ là số chẵn”.

M\N là tập hợp gồm các phần tử thuộc M mà không thuộc N.

Phần không bị gạch là B\A.

Liệt kê.

Các tập hợp $X$ thỏa điều kiện:

Tập $X$ có $2$ phần tử: $\left\{ {a;\,b} \right\}$.

Tập $X$ có $3$ phần tử: $\left\{ {a;\,b;\,c} \right\}$, $\left\{ {a;\,b;\,d} \right\}$¸$\left\{ {a;\,b;\,e} \right\}$.

Tập $X$ có $4$ phần tử: $\left\{ {a;\,b;\,c;\,d} \right\}$, $\left\{ {a;\,b;\,c;\,e} \right\}$¸$\left\{ {a;\,b;\,d;\,e} \right\}$.

Tập $X$ có $5$ phần tử: $\left\{ {a;\,b;\,c;\,d;\,e} \right\}$.

Vậy có tất cả 8 tập $X$ thỏa mãn điều kiện.

M\N là tập hợp gồm các phần tử thuộc M mà không thuộc N.

$A\backslash B = \left\lbrack {- 3;1} \right)$.

Hợp của A và B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B.

$A \cup B = [ - 5;2)$.

Số nguyên âm thuộc tập hợp trên là -5; -4; -3; -2; -1.

Dựa vào lí thuyết về số nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm.

Chọn một điểm thuộc miền nghiệm, thay tọa độ điểm đó vào các hệ, nếu thỏa mãn thì hình vẽ là miền nghiệm của hệ đó.

Chọn điểm O(0;0) thay tọa độ vào các hệ, thấy hệ $\{\begin{array}{l}x-2y>-2\\ x-2y<3\end{array}\mathrm{.}$$\left\{ \begin{array}{l} {x - 2y > - 2} \\ {x - 2y < 3} \end{array} \right..$ thỏa mãn nên hình biểu diễn miền nghiệm của hệ này.

Với góc $\alpha$ tù, ta có $\sin\alpha > 0$, $\cos\alpha < 0$.

Với góc $\alpha$ tù, ta có $\sin\alpha > 0$, $\cos\alpha < 0$.

Suy ra $\tan\alpha < 0$ và $\cot\alpha < 0$.

Áp dụng mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau.

\(\cos\left( {180^{ο} - \alpha} \right) = \cos\alpha\).

Áp dụng định lí cosin.

$AC$ là hướng tàu thứ nhất, $AB$ là hướng tàu thứ hai.

Quãng đường tàu thứ nhất đi được sau $3$ giờ: ${s_1} = 20.3 = 60$ (km).

Quãng đường tàu thứ hai đi được sau $3$ giờ: ${s_2} = 30.3 = 90$ (km).

Ta có: $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos 60^\circ$

$\Rightarrow B{C^2} = {90^2} + {60^2} - 2.90.60.\frac{1}{2} = 6300$

$\Rightarrow BC = 30\sqrt 7$ (km).

Áp dụng các phép toán trên tập hợp.

a) Đúng. Ta biểu diễn hai tập hợp $A$ và $B$ trên trục số:

Suy ra $A \cap B = (1; 3]$ nên mệnh đề đúng.

b) Sai. Ta có $B \cap \mathbb{N} = \{0; 1; 2; 3\} \Rightarrow n(B \cap \mathbb{N}) = 4$ nên mệnh đề sai.

c) Đúng. Ta có sự biểu diễn tập hợp $A$.

Suy ra $\mathbb{R} \setminus A = (-\infty; 1] \cup \left[ \frac{11}{2}; +\infty \right)$ nên mệnh đề đúng.

d) Sai. Để $B \cap C$ có đúng 3 phần tử là số nguyên $\Leftrightarrow 0 < \frac{m-1}{3} < 1$

$\Leftrightarrow 1 < m < 4$ Mà $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \{2; 3\}$

$\Rightarrow$ Tổng các giá trị nguyên của $m$ là $2+3=5$.

Do đó mệnh đề sai.

Áp dụng định lí sin.

a) Sai. Ta có: $R = \frac{BC}{2\sin A}$.

b) Sai. Ta có: $\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \Rightarrow \sin A$

$= \frac{BC \cdot \sin B}{AC} = \frac{12 \cdot \sin 45^\circ}{10} = \frac{3\sqrt{2}}{5}.$

c) Đúng. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $\Delta ABC$ là:

$R = \frac{AC}{2\sin B} = \frac{10}{2 \cdot \sin 45^\circ} = 5\sqrt{2}.$

d) Sai. Ta có: $2R = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$

$\Rightarrow 2R = \frac{3BC}{3\sin A} = \frac{2AC}{2\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$

$R = \frac{3BC - 2AC - AB}{2(3\sin A - 2\sin B - \sin C)}$

$\Rightarrow \frac{3BC - 2AC - AB}{6\sin A - 4\sin B - 2\sin C} = R = 5\sqrt{2}$.

Áp dụng lý thuyết về các tập hợp con của tập số thực.

a) Biểu diễn trên trục số:

$( - 4;1] \cap [0;3) = [0;1]$.

b) Điều kiện để các tập A, B khác rỗng: $\{\begin{array}{l}m<10-m\\ 2m<2m+1\end{array}\iff m<5$$\left\{ \begin{array}{l}m < 10 - m\\2m < 2m + 1\end{array} \right.$ \Leftrightarrow m < 5.

Do đó, có 4 giá trị nguyên dương của m là 1, 2, 3, 4 để hai tập hợp A, B khác rỗng.

Áp dụng các công thức tính diện tích hình tam giác, diện tích hình tròn.

Dùng công thức Heron ta tính được diện tích của tam giác là $S_1 = \frac{3\sqrt{91}}{4} \approx 7,15$ m $^2$.  

Ta có: $S_1 = pr$ ta tính được bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là $r = \frac{3\sqrt{91}}{26} \approx 1,1$ m.  

Tính được diện tích hình tròn là $S_2 = \pi r^2 = \frac{63\pi}{52}$ m $^2$.  

Diện tích cần sơn là $S = S_1 - S_2 = \frac{3\sqrt{91}}{4} - \frac{63\pi}{52} \approx 3,348$ m $^2$.  

Số tiền cần bỏ ra bằng $S \cdot 250 \approx 837$ nghìn đồng.

Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải bài toán.

Gọi $x$ là số giờ đạp xe và $y$ là số giờ cử tạ trong tuần của An.

Ta có hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{l}x+y\le 12\\ 350x+700y\le 7000\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 12\\350x + 700y \le 7000\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta được miền tứ giác $OABC$ có tọa độ các đỉnh là: $O(0;0)$; $A(0;10)$; $B(4;8)$; $C(12;0)$.

Số calo tiêu hao $G = 350x + 700y$ đạt giá trị lớn nhất bằng $7000$ tại $(4;8)$ hoặc tại $(0;10)$.