Đề giữa học kỳ 1 Toán 10 năm 2024 – 2025 trường THPT Cẩm Phả – Quảng Ninh

Giải phương trình, chọn nghiệm thích hợp rồi viết tập hợp.

$X = \left\{ {2;4} \right\}$.

Dựa vào dạng của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

$2x + 0y \leq 1$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Áp dụng định lí sin.

Theo định lí sin, ta có $\frac{{MN}}{{\sin P}} = \frac{{MP}}{{\sin N}} \Leftrightarrow MN = \frac{{MP.\sin P}}{{\sin N}}$.

Dựa vào dấu của giá trị lượng giác của góc tù.

Với $90{^\circ} < \alpha < 180{^\circ}$, ta có:

$\sin \alpha >0$, $\cos \alpha <0$, $\tan \alpha <0$, $\cot \alpha <0$.

Vậy khẳng định đúng là $\cos \alpha <0$.

Thay từng cặp số vào hệ, nếu không thỏa mãn thì cặp số đó không phải nghiệm của hệ.

Ta có $\{\begin{array}{l}-1+1-2\le 0\\ 2.(-1)-3.1+2>0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} - 1 + 1 - 2 \le 0\\2.( - 1) - 3.1 + 2 > 0\end{array} \right.$ vô lí nên (-1;1) không phải nghiệm của hệ.

Nếu cả hai mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đều đúng thì P và Q là hai mệnh đề tương đương, kí hiệu $P \Leftrightarrow Q$.

“$\forall x,x\in A\Rightarrow x\in B$” tương đương với mệnh đề $A \subset B$.

Chọn vài điểm bất kì thuộc miền nghiệm, thay vào từng hệ, nếu thỏa mãn hệ thì hình vẽ là miền nghiệm của hệ đó.

Chọn (2;0) thuộc miền nghiệm.

Ta thấy $\{\begin{array}{l}2-0\ge 0\\ 2\ge 0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}2 - 0 \ge 0\\2 \ge 0\end{array} \right.$ nên hình vẽ là miền nghiệm của hệ $\{\begin{array}{l}x-y\ge 0\\ x\ge 0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x - y \ge 0\\x \ge 0\end{array} \right.$.

Dựa vào cách phát biểu của mệnh đề kéo theo.

$A \Rightarrow B$ tức A là điều kiện đủ để có B và B là điều kiện cần để có A.

Do đó cách phát biểu ở đáp án B sai.

Giao của hai tập hợp S và T là tập hợp gồm các phần tử thuộc cả hai tập hợp S và T.
Hiệu của hai tập hợp S và T (kí hiệu S\T) là tập hợp gồm các phần tử thuộc S nhưng không thuộc T.

$\left( {M\backslash N} \right) \cup N= M \cup N$.

Vẽ trục số.

$A \cap B = \left( {0;4} \right)$.

Phủ định của $\forall$ là $\exists$, phủ định của $>$ là $\leq$.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề $\forall x \in {\mathbb{R}},x^{2} - x - 5 > 0$ là $\exists x \in {\mathbb{R}},x^{2} - x - 5 \leq 0$.

Áp dụng định lí cosin.

$NP = \sqrt {M{N^2} + M{P^2} - 2.MN.MP.\cos \widehat {NMP}}$

$= \sqrt {{2^2} + {3^2} - 2.2.3.\cos {{60}^o}} = \sqrt 7$.

Áp dụng công thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$.

${\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - {\left( { - \frac{5}{{12}}} \right)^2} = \frac{{119}}{{144}}$.

Vì ${0^o} < x < {180^o}$ nên $\sin \alpha > 0 \Rightarrow \sin \alpha = \frac{{\sqrt {119} }}{{12}}$.

$\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{\sqrt {119} }}{{12}}}}{{ - \frac{5}{{12}}}} = - \frac{{\sqrt {119} }}{5}$, $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = - \frac{5}{{\sqrt {119} }}$.

a) Đúng. Vì ${0^o} < \alpha < {180^o}$ và $\cos \alpha < 0$ nên ${90^o} < \alpha < {180^o}$. Khi đó $\alpha$ là góc tù.

b) Sai. $\frac{{2\sin \alpha + \cos \alpha }}{{1 - \tan \alpha }} = \frac{{2.\frac{{\sqrt {119} }}{{12}} + \left( { - \frac{5}{{12}}} \right)}}{{1 - \left( { - \frac{{\sqrt {119} }}{5}} \right)}} \approx 0,44$.

c) Đúng. $\tan \alpha + 5\cot \alpha = - \frac{{\sqrt {119} }}{5} + 5.\left( { - \frac{5}{{\sqrt {119} }}} \right) \approx - 4,47 < 0$.

d) Sai. $\sin \alpha = \frac{{\sqrt {119} }}{{12}}$.

Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Lượng protein từ bò và cá anh Bảo ăn trong ngày là $26x + 22y$.

Vì lượng protein đó cần trong khoảng 56 đến 91 g nên ta có $56 \le 26x + 22y \le 91$.

Vì nên ăn thịt ít hơn cá nên ta có $x \le y$.

a) Đúng. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x,y$ để biểu diễn lượng protein cần thiết trong một ngày cho anh Bảo là $\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}26x+22y\ge 56\\ 26x+22y\le 91\\ x\le y\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} {26x + 22y \geq 56} \\ {26x + 22y \leq 91} \\ {x \leq y} \\ {x \geq 0} \\ {y \geq 0} \end{array} \end{array} \right.$.

b) Sai. Miền nghiệm của hệ là tứ giác ABCD với $A\left( {0;\frac{{28}}{{11}}} \right)$, $B\left( {\frac{7}{6};\frac{7}{6}} \right)$, $C\left( {\frac{{91}}{{48}};\frac{{91}}{{48}}} \right)$, $D\left( {0;\frac{{91}}{{22}}} \right)$.

Chi phí mua thịt và cá là: F(x;y) = 160x + 180y (nghìn đồng).

Ta có ${F_A} = 160.0 + 180.\frac{{28}}{{11}} \approx 458$;

${F_B} = 160.\frac{7}{6} + 180.\frac{7}{6} \approx 397$;

${F_C} = 160.\frac{{91}}{{48}} + 180.\frac{{91}}{{48}} \approx 645$;

${F_D} = 160.0 + 180.\frac{{91}}{{22}} \approx 745$.

Vậy để tiết kiệm chi phí nhất mà vẫn đảm bảo dinh dưỡng, anh Bảo cần mua $\frac{7}{6}$ lạng thịt bò và $\frac{7}{6}$ lạng cá.

c) Đúng. Điểm $\left( {1;\frac{3}{2}} \right)$ thuộc miền nghiệm của hệ.

d) Sai. Miền nghiệm là tứ giác.

Áp dụng định lí cosin, các công thức tính diện tích tam giác.

$\widehat A = {180^o} - \widehat B - \widehat C = {180^o} - {15^o} - {30^o} = {135^o}$.

a) Đúng. $\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Leftrightarrow AB = \frac{{BC.\sin C}}{{\sin A}} = \frac{{12.\sin {{30}^o}}}{{\sin {{135}^o}}} = 6\sqrt 2$.

b) Sai. $S = \frac{1}{2}AB.BC\sin B = \frac{1}{2}AH.BC$

$\Leftrightarrow AB\sin B = AH \Leftrightarrow AH = 6\sqrt 2 .\sin {15^o} = - 3 + 3\sqrt 3$.

c) Sai. $S = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}\left( { - 3 + 3\sqrt 3 } \right).12 = - 18 + 18\sqrt 3$.

$\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Leftrightarrow AC = \frac{{BC.\sin B}}{{\sin A}} = \frac{{12.\sin {{15}^o}}}{{\sin {{135}^o}}} = - 6 + 6\sqrt 3$.

$p = \frac{{AB + BC + AC}}{2} = \frac{{6\sqrt 2 + 12 + \left( { - 6 + 6\sqrt 3 } \right)}}{2} = 3\left( {1 + \sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)$.

$r = \frac{S}{p} = \frac{{ - 18 + 18\sqrt 3 }}{{3\left( {1 + \sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)}} \approx 1,1$.

d) Sai. $2R = \frac{a}{{\sin A}}$.

Áp dụng các phép toán trên tập hợp, vẽ trục số.

Với m = -2 thì $B = ( - 3;1]$.

a) Sai. $A \cap B = ( - 3;3)$.

b) Sai. $A\backslash B = [ - 4;3]$.

c) Đúng. Tập hợp A có vô số phần tử nhưng nó chỉ có 3 phần tử là số tự nhiên: 0; 1; 2.

d) Đúng. $C_{\mathbb{R}}A = ( - \infty; - 4) \cup \left\lbrack {3; + \infty} \right)$.

Biểu diễn miền nghiệm, tìm các đầu mút của miền nghiệm.

Thay tọa độ các đầu mút vào biểu thức để tìm giá trị lớn nhất.

Miền nghiệm là ngũ giác ABCDE với A(0;4), B(0;0), C(1;0), D(4;3), E(2;4).

$F(0;4) = 2.0 + 3.4 = 12$;

$F(0;0) = 2.0 + 3.0 = 0$;

$F(1;0) = 2.1 + 3.0 = 2$;

$F(4;3) = 2.4 + 3.3 = 14$;

$F(2;4) = 2.2 + 3.4 = 16$.

Vậy giá trí lớn nhất của F(x;y) = 2x + 3y là 16.

Xét tính đúng sai của từng mệnh đề.

Mệnh đề đúng là: (I).

Xét tính đúng sai của từng mệnh đề, áp dụng các phép toán trên tập hợp.

Mệnh đề sai là: c).

Áp dụng các hằng đẳng thức và công thức ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$.

Ta có ${\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^3}$

$= {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)$

$= 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x$.

Mặt khác ${\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x$

$\Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} = 1 + 2\sin x\cos x \Leftrightarrow \sin x\cos x = - \frac{{15}}{{16}} \Rightarrow {\sin ^2}x{\cos ^2}x = \frac{{225}}{{1024}}$.

Suy ra ${\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 1 - 3.\frac{{225}}{{1024}} = \frac{{349}}{{1024}}$.

Vậy $P = \sqrt {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x + 1} = \sqrt {\frac{{349}}{{1024}} + 1} \approx 1,16$.

Áp dụng các công lượng giác.

Xét tháp nghiêng $AB$ có:

$\widehat{B} = \alpha$, $\widehat{ADB} = 45^o$, $BD = 61,2$ m, $\widehat{ACB} = 60^o$, $BD = 28,2$ m.

Kẻ $AH \perp BC$.

Ta có:

$\cot 60^o = \frac{HC}{AH} \Rightarrow HC = AH \cot 60^o = \frac{AH\sqrt{3}}{3}$.

$\cot 45^o = \frac{HD}{AH} \Rightarrow HD = AH \cot 45^o = AH$.

Ta có:

$CD = CB + BD = 89,4$

$\Rightarrow CH + HC = 89,4$

$\Rightarrow \frac{AH\sqrt{3}}{3} + AH = 89,4$

$\Rightarrow AH \approx 56,67$

\(\Rightarrow BH = HC - BC = 56,67 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} – 28,2 \approx 4,52\)

$\Rightarrow AB = \sqrt{AH^2 + HB^2} \approx 56,9$.

Tập hợp con của tập A bao gồm tất cả các phần tử đều thuộc A.

$A \subset B \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}m + 1 > 0\\2m - 1 < 6\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\m < \frac{7}{2}\end{array} \right.$

Các giá trị nguyên thỏa mãn là 0; 1; 2; 3.