Đề giữa kỳ 1 Toán 10 năm 2024 – 2025 trường THPT Lương Ngọc Quyến – Thái Nguyên

Áp dụng công thức $S = \frac{1}{2}ac\sin B$.

$S = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}.4.5.\sin {150^o} = 5$.

Dựa vào dạng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

$\{\begin{array}{c}{x}^2-2y>0\\ x+y<1\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x^2} - 2y > 0}\\{x + y < 1}\end{array}} \right.$ không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa ${x^2}$.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác.

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC\cos \widehat B$

$= {9^2} + {8^2} - 2.9.8.\cos {60^o} = 73$.

Vậy $AC = \sqrt {73}$.

Mệnh đề là các khẳng định có tính đúng, sai.

"$\pi$ có phải là một số vô tỷ không?" không phải mệnh đề vì đây là câu nghi vấn.

Áp dụng quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau.

$\cos \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha$.

Xét gốc tọa độ O(0;0) có thuộc miền nghiệm không, từ đó loại dần các phương án.

Dựa vào giả thiết "miền nghiệm có kể bờ" để kết luận đáp án.

Điểm O(0;0) không thuộc miền nghiệm nên loại A, B.

Miền nghiệm có kể bờ nên C là đáp án đúng.

Thay tọa độ từng điểm vào bất phương trình, nếu thỏa mãn thì cặp số đó là nghiệm.

$2( - 2) + 3.1 \le 5$ (đúng) nên (-2;1) là một nghiệm của bất phương trình.

$\cot\alpha = \dfrac{1}{\tan\alpha}$.

$\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = 2$.

Trong 25 học sinh chơi bóng đá, có 14 học sinh chơi cả bóng bàn.

Trong 23 học sinh chơi bóng bàn, có 14 học sinh chơi cả bóng đá.

Ta lấy tổng số học sinh chơi bóng đá và bóng bàn, trừ đi hai lần số học sinh chơi cả hai môn.

Số học sinh chỉ chơi một môn thể thao là: 25 + 23 – 2.14 = 20.

Mệnh đề là khẳng định có tính đúng, sai.

Câu 1, 2, 4 là mệnh đề.

Quan sát hình vẽ và kết luận.

Hình ở đáp án A minh họa A là tập con của B.

Xét tính đúng, sai của từng mệnh đề.

"Phương trình $x^{2} + 7x - 2 = 0$ có $2$ nghiệm trái dấu" là mệnh đề đúng.

Áp dụng định lí sin, định lí cosin trong tam giác, công thức tính diện tích tam giác.

a) Đúng. $S = pr.$                                                            

b) Đúng. $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R.$

c) Đúng. ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A.$

d) Sai. $S = \frac{{abc}}{{4R}}.$

Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

a) Đúng. Số gói thực phẩm X là x (gói), số gói thực phẩm Y là y (gói).

Mỗi ngày không được dùng 12 gói mỗi loại nên ta có $0 \le x,y \le 12$.

Số đơn vị canxi cần nạp tối thiểu 240 đơn vị nên $20x + 20y \ge 240$ hay $x + y \ge 12$.

Số đơn vị sắt cần nạp tối thiểu 160 đơn vị nên $20x + 10y \ge 160$ hay $2x + y \ge 16$.

Số đơn vị vitamin B cần nạp tối thiểu 140 đơn vị nên $10x + 20y \ge 140$ hay $x + 2y \ge 14$.

Vậy ta có hệ $\{\begin{array}{l}x+y\ge 12\\ 2x+y\ge 16\\ x+2y\ge 14\\ 0\le x\le 12\\ 0\le y\le 12\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y \ge 12}\\{2x + y \ge 16}\\{x + 2y \ge 14}\\{0 \le x \le 12}\\{0 \le y \le 12}\end{array}} \right.$.

b) Đúng. Miền nghiệm của hệ bất phương mô tả số gói thực phẩm $X$ và thực phẩm $Y$ mà bà Lan cần dùng mỗi ngày trong chế độ ăn kiêng để đáp ứng đủ nhu cầu cần thiết đối với canxi, sắt và vitamin $B$ là ngũ giác ABCDE với: A(12;12), B(12;2), C(4;8), D(10;2), E(12;1).

c) Đúng. Chi phí mua là $F(x;y) = 20x + 25y$ (nghìn đồng).

Ta có ${F_A} = 20.12 + 25.12 = 540$;

${F_B} = 20.2 + 25.12 = 340$;

${F_C} = 20.4 + 25.8 = 280$;

${F_D} = 20.10 + 25.2 = 250$;

${F_E} = 20.12 + 25.1 = 265$.

Vậy chi phí mua ít nhất là 250 nghìn đồng khi bà Lan dùng 10 gói thực phẩm loại $X$ và 2 gói thực phẩm loại $Y$.

d) Sai. Điểm $\left( {10;8} \right)$ có thuộc miền nghiệm của hệ bất phương mô tả số gói thực phẩm $X$ và thực phẩm $Y$ mà bà Lan cần dùng mỗi ngày trong chế độ ăn kiêng để đáp ứng đủ nhu cầu cần thiết đối với canxi, sắt và vitamin $B$.

Áp dụng các phép toán trên tập hợp.

a) Đúng. $A \cap B = \{ - 2;0;2\}$.

b) Sai. $A \cup B = \{ - 2; - 1;0;1;2;4\}$.

c) Đúng. $A\backslash B = \{ - 1;1\}$.

d) Đúng. $B\backslash A = \{ 4\}$.

Thay các cặp số vào bất phương trình, nếu thỏa mãn thì đó là nghiệm.

a) Đúng. Vì $6.0 - 0 \le 1$ (thỏa mãn).

b) Đúng. Vì $0 - 0 < 7$ (thỏa mãn).

c) Đúng. Vì $- 3.0 + 1 \ge 0$ (thỏa mãn).

d) Sai. Vì $2.0 + 3.0 > 5$ (không thỏa mãn).

Áp dụng định lí sin, định lí cosin và công thức tính diện tích tam giác.

$\sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {21} }}{5}$.

Diện tích tam giác ABC: $S = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat A = \frac{1}{2}.7.5.\frac{{\sqrt {21} }}{5} = \frac{{7\sqrt {21} }}{2}$ (cm).

$BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A} = \sqrt {{5^2} + {7^2} - 2.5.7.\frac{2}{5}} = \sqrt {46}$ (cm).

Vậy độ dài đường cao xuất phát từ A là:

${d_A} = \frac{{2S}}{{BC}} = \frac{{2.\frac{{7\sqrt {21} }}{2}}}{{\sqrt {46} }} \approx 4,7$ (cm).

Áp dụng định lí sin trong tam giác.

Gọi CH là chiều cao của ngọn núi.

Theo đề ta có: $AB = 70$ (m), $\widehat{CAH} = 30^o$, $\widehat{ABC} = 90^o + 15^\prime 30^{\prime\prime} = 105,5^o$.

Suy ra $\widehat{BAC} = 90^o - 30^o = 60^o$;

$\widehat{ACB} = 180^o - \widehat{ABC} - \widehat{BAC} = 180^o - 105,5^o - 60^o = 14,5^o$.

Theo định lý sin trong tam giác ABC, ta có:

$\dfrac{AB}{\sin \widehat{BCA}} = \dfrac{AC}{\sin \widehat{ABC}} \Leftrightarrow AC = \dfrac{AB \sin \widehat{ABC}}{\sin \widehat{BCA}} = \dfrac{70 \sin 105,5^o}{\sin 14,5^o} \approx 269,41$ (m).

$\Delta A H C$ vuông tại H nên ta có:

$CH = AC . \sin \widehat{CAH} = 269,41 . \sin 30^o \approx 135$ (m).

Vậy ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất xấp xỉ bằng 135 m.

Liệt kê các cặp số thỏa mãn.

Có x, y nguyên dương nên các cặp số thỏa mãn là: (1;1), (1;2), (2;1), (2;2), (3;1), (4;1).

Áp dụng công thức $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.

Gọi A là tập hợp các HS nhảy, B là tập hợp các HS hát, C là tập hợp các HS không tham gia tiết mục nào;

M là tập hợp HS cả lớp.

Lớp 10A có 45 HS suy ra n(M) = 45, trong đó:

+ 35 HS nhảy suy ra n(A) = 35;

+ 10 HS tham gia cả nhảy và hát suy ra $n(A \cap B) = 10$;

+ 4 HS không tham gia tiết mục nào suy ra n(C) = 4.

Ta có $n(M) = n(A \cup B) + n(C)$

$\Leftrightarrow n(M) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) + n(C)$

$\Leftrightarrow 45 = 35 + n(B) - 10 + 4 \Leftrightarrow n(B) = 16$.

Vậy có 16 HS tham gia tiết mục hát.

Ứng dụng hệ bất phương trình 

Gọi $x$ là số ha đất trồng ngô, $y$ là số ha đất trồng đậu xanh.

Ta có các điều kiện ràng buộc đối với $x, y$ như sau:

- Hiển nhiên $x \geq 0$, $y \geq 0$.

- Diện tích canh tác không vượt quá 8 ha nên ta có $x + y \leq 8$.

- Số ngày công sử dụng không vượt quá 180 ngày nên $20x + 30y \leq 180 \Leftrightarrow 2x + 3y \leq 18$.

Từ đó, ta có hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc là:

$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 8\\ 2x+3y\le 18\end{array}(\ast )$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y \le 8}\\{2x + 3y \le 18}\end{array}} \right.$(*).

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow$ Tìm $(x; y)$ thỏa (*) để $F(x; y) = 40x + 50y$ đạt giá trị lớn nhất.

Vẽ và xác định miền nghiệm của (*):

Miền nghiệm của (*) là tứ giác OABC (kể cả biên) với O(0; 0), A(0; 6), B(6; 2), C(8; 0).

Ta có F(O) = 0, F(A) = 300, F(B) = 340, F(C) = 320.

Suy ra maxF(x; y) = F(B) = 340 khi x = 6, y = 2.

Vậy bác Năm thu được số tiền nhiều nhất là 340 triệu đồng.

Viết tập hợp A, B bằng cách liệt kê phần tử, từ đó tìm $A \cap B$ là tập hợp bao gồm các phần tử thuộc cả A và B.

$A = \{ - 5;1\}$, $B = \left\{ { - \frac{1}{2};\frac{1}{6};1} \right\}$.

$A \cap B = 1$.