Đề giữa kỳ 1 Toán 10 năm 2024 – 2025 trường THPT chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi

Giao của hai tập hợp là tập hợp gồm các phần tử thuộc cả hai tập hợp.

Phần được gạch sọc biểu diễn tập hợp $A \cap B$.

Dựa vào lý thuyết mệnh đề.

Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.

Dựa vào dạng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

$\{\begin{array}{c}3x+2y<4\\ xy+1>0\end{array}$$\left\{ \begin{matrix} {3x + 2y < 4} \\ {xy + 1 > 0} \end{matrix} \right.$~ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Giao của hai tập hợp là một tập hợp chứa các phần tử thuộc cả hai tập hợp ban đầu.

$A \cap B = \left\{ - 1;0;1;3 \right\}$.

Áp dụng công thức $S = \frac{1}{2}bc\sin A$.

$S = \frac{1}{2}bc\sin {120^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}bc$.

Áp dụng định lí sin, cosin, công thức tính diện tích tam giác.

$S = \frac{{abc}}{{4R}}$.

Áp dụng công thức $\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }}$.

$\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }} = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = 2$.

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm.

Bất phương trình có vô số nghiệm.

Dựa vào cách cho tập hợp để biểu diễn.

Vì $A = \left\{ x \in {\mathbb{R}} \middle| - 3 < x < 1 \right\}$ nên $\left( {- 3;1} \right)$.

Xét từng mệnh đề.

Vì ${0^o} \le x < {90^o}$ nên $\sin \alpha \ge 0$ và $\cos \alpha > 0$. Suy ra đáp án A sai và đáp án C đúng.

Vì $\sin \alpha$ có thể bằng 0 nên có thể không tồn tại $\cot \alpha$, vậy đáp án B sai.

Vì $\sin \alpha \ge 0$ và $\cos \alpha > 0$ nên $\tan \alpha \ge 0$, vậy đáp án D sai.

Tập hợp con của tập A gồm các phần tử thuộc A.

$\varnothing$ có một tập hợp con là chính nó.

Dựa vào dạng của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

$y < 5$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Thay tọa độ các điểm vào hệ, nếu thỏa mãn thì điểm đó thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Ta thấy $\{\begin{array}{l}2.0-5.(-2)-1>0\\ 2.0+(-2)+5>0\\ 0+(-2)+1<0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}2.0 - 5.( - 2) - 1 > 0\\2.0 + ( - 2) + 5 > 0\\0 + ( - 2) + 1 < 0\end{array} \right.$ thỏa mãn nên điểm (0;-2) thuộc miền nghiệm.

Thay các cặp số vào hệ, nếu thỏa mãn thì cặp số đó là nghiệm của hệ bất phương trình.

Ta thấy $\{\begin{array}{l}-1+1-2\le 0\\ 2.(-1)-3.1+2>0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} - 1 + 1 - 2 \le 0\\2.( - 1) - 3.1 + 2 > 0\end{array} \right.$ không thỏa mãn nên điểm (-1;1) không là nghiệm của hệ bất phương trình.

Áp dụng định lí cosin.

Theo định lí cosin: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$.

Dựa vào khái niệm mệnh đề đảo.

Mệnh đề đảo của $P \Rightarrow Q$ là mệnh đề $\left. Q\Rightarrow P \right.$.

a) Dựa vào dạng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b, c) Thay tọa độ các điểm vào hệ, nếu thỏa mãn thì điểm đó thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

d) Bước 1: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ trên cùng mặt phẳng tọa độ. Gạch bỏ miền không là nghiệm.

Bước 2: Phần không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

a) Sai. Hệ đã cho là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Sai. Ta thấy $\{\begin{array}{l}3-3<0\\ 2.4-3.3+1>0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}3 - 3 < 0\\2.4 - 3.3 + 1 > 0\end{array} \right.$ không thỏa mãn nên B(4;3) không thuộc miền nghiệm của hệ.

c) Đúng. Ta thấy $\{\begin{array}{l}3-4<0\\ 2.7-3.4+1>0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}3 - 4 < 0\\2.7 - 3.4 + 1 > 0\end{array} \right.$ thỏa mãn nên C(7;4) là một điểm thuộc miền nghiệm của hệ.

d) Đúng.

Áp dụng định lí và hệ quả định lí cosin, định lí sin.

a) Sai. $a = \sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos A} = \sqrt {{7^2} + {5^2} - 2.7.5\cos {{120}^o}} = \sqrt {109}$ (cm).

b) Đúng. $\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \frac{{109 + {7^2} - {5^2}}}{{2\sqrt {109} .7}} \approx 0,91$.

c) Sai. $\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{109 + {5^2} - {7^2}}}{{2\sqrt {109} .5}} \approx 0,81$.

d) Đúng. $\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Leftrightarrow R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{{\sqrt {109} }}{{2.\sin {{120}^o}}} = \frac{{\sqrt {327} }}{3} \approx 6,03$ (cm).

Trong 25 học sinh chơi bóng đá, có 14 học sinh chơi cả bóng bàn.

Trong 23 học sinh chơi bóng bàn, có 14 học sinh chơi cả bóng đá.

Ta lấy tổng số học sinh chơi bóng đá và bóng bàn, trừ đi hai lần số học sinh chơi cả hai môn.

Số học sinh chỉ chơi một môn thể thao là: 25 + 23 – 2.14 = 20.

Vận dụng ứng dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Giả sử chiếc đu quay quay theo chiều kim đồng hồ.

Gọi M là vị trí của cabin, M’ là vị trí của cabin sau 5 phút và các điểm A A’, B, H như hình dưới.

Vì đi cả vòng quay mất 15 phút nên sau 5 phút, cabin sẽ đi quãng đường bằng $\frac{1}{3}$ chu vi đường tròn.

$\widehat {MOM'} = \frac{{{{360}^o}}}{3} = {120^o} \Rightarrow \widehat {AOM'} = {120^o} - {90^o} = {30^o}$.

$\Rightarrow M'H = \sin {30^o}.OM' = \frac{1}{2}.75 = 37,5\left( m \right).$

$\Rightarrow$ Độ cao của người đó là: $37,5 + 90 \approx 128$ (m).

Vậy sau 5 phút quay người đó ở độ cao 128 m.

Giải phương trình, chọn nghiệm thỏa mãn tính chất của tập hợp.

Liệt kê các tập hợp con.

Vì $x \in {\mathbb{N}^*}$ nên A = {1; 2; 3}.

Vậy tất cả các tập hợp con của tập hợp A là:

$\emptyset$, {1}, {2}, {3}, {1; 2}, {1; 3}, {2; 3}, {1; 2; 3}.

Áp dụng định lí côsin và định lí sin.

Đặt $BC = x$ (cm) $(x > 0)$.

Áp dụng định lí côsin ta có: 

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot \cos B$.

Suy ra $13^2 = 8^2 + x^2 - 2.8 \cdot x \cdot \cos 60^\circ \Leftrightarrow x^2 - 8x - 105 = 0$.

Giải phương trình trên ta được $x = 15$ hoặc $x = -7$. Vì $x > 0$ nên $x = 15$. 

Suy ra $BC = 15(cm)$.

Áp dụng định lí sin ta có: 

$\frac{AC}{\sin B} = 2R \Rightarrow R = \frac{AC}{2\sin B} = \frac{13}{2\sin 60^\circ} \approx 7,5$ (cm).

Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải.

Gọi số bàn xưởng sản xuất được là x (bàn) và số ghế xưởng sản xuất được là y (ghế) (x, y ∈ ℕ).

Xưởng có 3 công nhân lắp ráp và một công nhân làm việc không quá 8 tiếng mỗi ngày nên tổng thời gian lắp ráp một ngày là 3.8 = 24 (giờ).

Xưởng có 4 công nhân hoàn thiện và một công nhân làm việc không quá 8 tiếng mỗi ngày nên tổng thời gian lắp ráp một ngày là: 4.8 = 32 (giờ).

Tổng thời gian lắp ráp x chiếc bàn và y chiếc ghế không vượt quá 24 giờ nên $1,5x + y \le 24\quad (1)$

Tổng thời gian hoàn thiện x chiếc bàn và y chiếc ghế không vượt quá 32 giờ nên:

$x + 2y \le 32\quad (2)$

Vì lượng ghế tiêu thụ không vượt quá 3,5 lần số bàn nên $3,5x \ge y{\rm{ }}\left( 3 \right)$.

Từ (1), (2), (3) và điều kiện của x, y nên ta có hệ bất phương trình sau:

$\{\begin{array}{c}1,5x+y\le 24\\ x+2y\le 32\\ 3,5x-y\ge 0\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{1,5x + y \le 24}\\{x + 2y \le 32}\\{3,5x - y \ge 0}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array}} \right.$

Vẽ các đường thẳng:

d1: 1,5x + y = 24 đi qua hai điểm (16; 0) và (0; 24).

d2: x + 2y = 32 đi qua hai điểm (32; 0) và (0; 16).

d3: 3,5x – y = 0 đi qua hai điểm (0; 0) và (2; 7).

d4: x = 0 là trục Oy.

d5: y = 0 là trục Ox.

Gạch đi các phần không thuộc miền nghiệm của từng bất phương trình.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong tứ giác OABC với O(0; 0), A(4; 14), B(8; 12), C(16; 0).

Số tiền lãi mà phân xưởng thu được khi bán x chiếc bàn và y chiếc ghế là: 600x + 450y (nghìn đồng).

Đặt F = 600x + 450y.

Thay x, y lần lượt là tọa độ các điểm O, A, B, C, D vào biểu thức F:

F đạt giá trị lớn nhất bằng 10200 tại $x = 8,y = 12$.

Vậy xưởng cần sản xuất 8 chiếc bàn và 12 chiếc ghế để thu được tiền lãi lớn nhất là 10 200 000 đồng.

Sử dụng biểu đồ Venn để giải.

Gọi x là số học sinh giải được cả 3 bài toán.

a là số học sinh chỉ làm được bài toán thứ nhất và thứ ba.

b là số học sinh chỉ làm được bài toán thứ nhất và thứ hai.

Khi đó:

Số học sinh chỉ làm được bài toán thứ ba là: 15 - a - x - 3 = 12 - x - a (học sinh).

Số học sinh chỉ làm được bài toán thứ hai là: 14 - b - x - 3 = 11 - x - b (học sinh).

Theo đề ta có phương trình: x + a + b + 3 + 12 + 12 - x - a + 11 - x - b = 35

Do đó x = 3.

Vậy có 3 học sinh giải được cả 3 bài toán.