Đề giữa kì 1 Toán 10 năm 2024 – 2025 trường THPT Lương Đắc Bằng – Thanh Hóa

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác.

$S = \dfrac{1}{2}bc\sin A\,.$

Áp dụng công thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$.

Dựa vào góc phần tư để xét dấu $\cos \alpha$.

${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}$.

Vì ${90^o} < \alpha < {180^o}$ nên $\cos \alpha < 0$.

Do đó ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Leftrightarrow \cos \alpha = - \sqrt {\frac{8}{9}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Dựa vào dạng của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

$\left( {x + y} \right)\left( {3x - y} \right) \geq 1$ không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Giao của hai tập hợp là tập hợp gồm các phần tử thuộc cả hai tập hợp cho trước.

$S \cap T = \{ 4;7\}$.

Mệnh đề là một khẳng định có tính đúng sai.

"$2 + 3 = 9$" là một mệnh đề.

Từ dấu của $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ suy ra dấu của $\tan \alpha$ và $\cot \alpha$.

$\alpha$ là góc tù nên $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha < 0$ suy ra $\tan \alpha < 0$, $\cot \alpha < 0$.

Từ giả thiết, lập bất phương trình.

$0,2x + y \geq 9.$

Sử dụng trục số.

$X = \left( { - \infty ;2} \right] \cap \left( { - 6; + \infty } \right) = \left( { - 6;2} \right]$.

Thay từng cặp số vào hệ phương trình xem có thỏa mãn không.

$\{\begin{array}{l}4+2.1\le 8\\ 3.4-1>3\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{4 + 2.1 \le 8}\\{3.4 - 1 > 3}\end{array}} \right.$ nên (4;1) là một nghiệm của hệ bất phương trình.

Áp dụng định lí sin.

$\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow \frac{{AC}}{{\sin {{60}^o}}} = \frac{5}{{\sin {{45}^o}}} \Leftrightarrow AC = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}$.

Phủ định của $\forall$ là $\exists$, phủ định của < là $\geq$.

Mệnh đề phủ định là “$\exists x \in {\mathbb{R}}$, $x^{2} - x + 7 \geq 0$”.

Quan sát hình vẽ và nhận xét.

Dễ thấy điểm có tọa độ $\left( {1;0} \right)$ thuộc miền nghiệm.

Thay các cặp số vào hệ phương trình, nếu thỏa mãn thì là nghiệm của hệ.

Giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức P(x;y) = ax + by (b ≠ 0) trên miền nghiệm đa giác (kể cả biên) đạt được tại một đỉnh nào đó của đa giác.

a) Đúng. Hệ trên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Đúng. Thay $(0;0)$ vào hệ trên ta được $\{\begin{array}{l}-6\le 0\\ 0\ge 0\\ -1\le 0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} - 6 \le 0\\0 \ge 0\\ - 1 \le 0\end{array} \right.$ (đúng).

c) Sai. Thay $(1; - 1)$ vào hệ trên ta được $\{\begin{array}{l}2.1+3.(-1)-6\le 0\\ 1\ge 0\\ 2.1-3.(-1)-1\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-7\le 0\\ 1\ge 0\\ 4\le 0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}2.1 + 3.( - 1) - 6 \le 0\\1 \ge 0\\2.1 - 3.( - 1) - 1 \le 0\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l} - 7 \le 0\\1 \ge 0\\4 \le 0\end{array} \right.$ (sai).

d) Đúng. Miền nghiệm của hệ bất phương trình được biểu diễn như hình sau:

Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng: $\left( {{d_1}} \right):2x + 3y - 6 = 0$; $\left( {{d_2}} \right):x = 0$; $\left( {{d_3}} \right):2x - 3y - 1 = 0$.

Ta thấy $\left( {0;0} \right)$ là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả ba miền nghiệm của cả ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

Miền nghiệm là hình tam giác $ABC$, với $A\left( {0;2} \right)$, $B\left( {\frac{7}{4};\frac{5}{6}} \right)$, $C\left( {0; - \frac{1}{3}} \right)$.

Vậy ta có $a = 2 - 0 = 2$, $b = \frac{5}{6} - \frac{7}{4} = - \frac{{11}}{{12}} \Rightarrow a + b = \frac{{13}}{{12}}$.

Áp dụng kiến thức về tập hợp.

a) Sai. $A \cap B = \left( {2;4} \right)$.

b) Đúng. $A \cup B = \left( {0; + \infty } \right).$

c) Sai. $B\backslash A = \left[ {4; + \infty } \right).$

d) Đúng. Xét phương trình: $\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2mx + {m^2} - m - 4} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2mx + {m^2} + m - 4 = 0\end{array}$ \right.$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{}\\{}\end{array}$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{}\\{(*)}\end{array}$

Để tập hợp $C$ có đúng $8$ tập con thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 thì

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{1^2} - 2m.1 + {m^2} - m - 4 \ne 0\\{m^2} - \left( {{m^2} + m - 4} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m - 3 \ne 0\\4 - m > 0\end{array} \right.$

Mà $m \in {\mathbb{N}^*}$ nên $m \in \left\{ {1;2;3} \right\}$.

Sử dụng định lí và hệ quả của định lí cosin.

a) Đúng. Theo định lí cosin ${c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C$.

b) Đúng. ${c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C = 7 \Rightarrow c = \sqrt 7 .$

c) Đúng. Theo hệ quả của định lí cosin $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$.

d) Sai. $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{2\sqrt 7 }}{7} \Rightarrow \widehat A \approx {41^o}$

Suy ra: $\widehat B = {180^o} - \left( {\widehat A + \widehat C} \right) \approx {79^o}$.

Áp dụng các công thức lượng giác:

${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$; $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$; $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }}$.

a) Đúng. Ta có $\sin \alpha = \frac{1}{3} > 0$. Mà $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ nên $\cos \alpha < 0$.

Vậy giá trị $\sin \alpha .\cos \alpha < 0$.

b) Đúng. Vì $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ nên $\cos \alpha < 0$, mặt khác ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ suy ra:

$\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - \frac{1}{9}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

c) Sai. Ta có $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{ - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = - \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{4}$.

d) Đúng. Ta có $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{ - \frac{{\sqrt 2 }}{4}}} = - 2\sqrt 2$.

Vậy $\frac{{6\sin \alpha + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}{{2\sqrt 2 \tan \alpha + \sqrt 2 \cot \alpha }} = \frac{{6.\frac{1}{3} + 3\sqrt 2 .\left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)}}{{2\sqrt 2 .\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right) + \sqrt 2 .\left( { - 2\sqrt 2 } \right)}} = \frac{2}{5}$.

Tập X phải chứa ít nhất toàn bộ các phần tử thuộc B mà không thuộc A.

Ta có: $A = \left\{ { - 4; - 2; - 1;2;3;4} \right\}$, $B = \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}$ và tập hợp $X$ gồm bốn phần tử.

Suy ra tập hợp $X$ là: $\left\{ { - 4; - 3;0;1} \right\}$, $\left\{ { - 3; - 2;0;1} \right\}$, $\left\{ { - 3; - 1;0;1} \right\}$, $\left\{ { - 3;0;1;2} \right\}$, $\left\{ { - 3;0;1;3} \right\}$, $\left\{ { - 3;0;1;4} \right\}$.

Sử dụng biểu đồ Venn.

Cách 1: Dùng công thức để giải.

Gọi A, B, C lần lượt là tập hợp số học sinh giỏi Toán, giỏi Lý, giỏi Hoá.

Suy ra $A \cup B \cup C$ là tập hợp số học sinh giỏi ít nhất 1 môn Toán, Lý hoặc Hoá.

Ta có số học sinh cần tìm là $n\left( {A \cup B \cup C} \right) = 7 + 5 + 6 - 3 - 4 - 2 + 1 = 10$.

Cách 2: Dùng biểu đồ Venn để giải.

Nhìn vào biểu đồ, số học sinh giỏi ít nhất $1$ trong $3$ môn là $1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 = 10$.

Ứng dụng hệ bất phương trình hai ẩn.

Gọi $x,y$ lần lượt là số xe máy Lead và số xe máy Vision nhập về để lợi nhuận thu được là lớn nhất ($x \ge 0;y \ge 0$).

Số vốn ban đầu không vượt quá $36$ tỉ đồng nên ta có: $40x + 30y \le 36000$.

Nhu cầu thị trường không vượt quá $1100$ xe nên: $x + y \le 1100$.

Nhu cầu xe Lead không vượt quá $1,5$ lần nhu cầu Vision nên: $x \le \frac{3}{2}y$.

Ta có hệ: $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 40x+30y\le 36000\\ x+y\le 1100\\ x\le \frac{3}{2}y\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\40x + 30y \le 36000\\x + y \le 1100\\x \le \frac{3}{2}y\end{array} \right.$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ trên mặt phẳng $Oxy$ ta được tứ giác $OEFK$:

$O\left( {0;0} \right),E\left( {600;400} \right),F\left( {300;800} \right),K\left( {0;1100} \right)$.

Lợi nhuận: $F\left( {x,y} \right) = 5x + 3,2y$.

$F\left( {0;0} \right) = 0$;

$F\left( {600;400} \right) = 4280$;

$F\left( {300;800} \right) = 4060$;

$F\left( {0;1100} \right) = 3520$.

Vậy cửa hàng nhập $600$ xe Lead và $400$ xe Vision thì lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Lợi nhuận có thể thu được lớn nhất của cửa hàng là: $5.600 + 3,2.400 = 4280$ triệu đồng.

Chia cả tử và mẫu của biểu thức $P$ cho $\sin \alpha$.

Chia cả tử và mẫu của biểu thức $P$ cho $\sin \alpha$.

Do $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 2 \Rightarrow \sin \alpha \ne 0$.

Chia cả tử và mẫu của biểu thức $P$ cho $\sin \alpha$, ta có:

$P = \frac{{3 + 4\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}{{\sqrt 2 - \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}} = \frac{{3 + 4\cot \alpha }}{{\sqrt 2 - \cot \alpha }} = \frac{{ - 22 - 11\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}a = - 22\\b = 11\end{array} \right.$

Vậy $a + 2b = - 22 + 2.11 = 0$.

Áp dụng định lí sin và công thức tính diện tích tam giác.

Ta có $\widehat {BAD} = 54^\circ + 22^\circ = 76^\circ \Rightarrow \widehat {ABC} = 180^\circ - 76^\circ = 104^\circ$, $\widehat {ACB} = \widehat {DAC} = 22^\circ .$

Áp dụng định lý sin cho tam giác ABC, ta có $\frac{{AC}}{{\sin 104^\circ }} = \frac{{AB}}{{\sin 22^\circ }} \Rightarrow AC = \frac{{70.\sin 104^\circ }}{{\sin 22^\circ }}.$

Suy ra diện tích tam giác ABC là ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin 54^\circ = \frac{{70.\sin 104^\circ .\sin 54^\circ }}{{2.\sin 22^\circ }}.$

Lại có $\widehat {ADB} = 180^\circ - 76^\circ - 73^\circ = 31^\circ .$

Áp dụng định lý sin cho tam giác ABD, ta có :

$\frac{{AD}}{{\sin 73^\circ }} = \frac{{AB}}{{\sin 31^\circ }} \Rightarrow AD = \frac{{70.\sin 73^\circ }}{{\sin 31^\circ }} \approx 129,97(m).$

Suy ra diện tích tam giác ACD là ${S_{ACD}} = \frac{1}{2}AC.AD.\sin 22^\circ = \frac{{{{70}^2}.\sin 104^\circ .\sin 73^\circ }}{{2.\sin 22^\circ .\sin 31^\circ }}.$

Vậy diện tích mảnh đất là ${S_{ABCD}} = {S_{ABC}} + {S_{ACD}} \approx 9548\,\,({m^2}).$

Sử dụng định lí sin, tính AC, BC.

Tính thời gian di chuyển của tàu 1, từ đó suy ra thời điểm đến đảo C của tàu 1.

Tính thời gian di chuyển của tàu 2, từ đó tính thời điểm xuất phát của tàu 2 sao cho đến C cùng lúc với tàu 1.

Tính được góc $\widehat {BAC} = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$.

Áp dụng định lý sin vào tam giác ABC, ta có:

$\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Leftrightarrow \frac{{200}}{{\sin 105^\circ }} = \frac{{BC}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{AC}}{{\sin 45^\circ }} \Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}AC \approx 146,41\\BC \approx 103,53\end{array} \right.$

Thời gian tàu 1 đi là $\frac{{AC}}{{80}} \approx 1,83$ giờ. Vậy tàu 1 đến nơi lúc 9,83 giờ.

Thời gian tàu 2 đi là $\frac{{BC}}{{80}} \approx 1,29$ giờ.

Vậy tàu 2 cần xuất phát lúc $9,83 - 1,29 \approx 8,54$ giờ (hay 8h32) để đến nơi cùng lúc với tàu 1.

Vậy a = 8, b = 32, suy ra a + b = 8 + 32 = 40.