Đề thi giữa học kì 1 Toán 10 - Đề số 4

Phủ định của “$\forall$ ” là “$\exists$ ”.

Phủ định của “ $<$ ” là “ $\ge$ ”.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là “$\forall x \in \mathbb{R},{x^2} - x + 1 \ge 0$”.

Dựa vào định nghĩa bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Các phương trình, bất phương trình ở đáp án A, B, C không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Rút gọn vế trái của bất phương trình.

$3x - 2(y - x + 1) > 0$

$3x - 2y + 2x - 2 > 0$

$5x - 2y - 2 > 0$.

Thay lần lượt tọa độ các điểm đã cho vào hệ bất phương trình $\{\begin{array}{c}3x+y\ge 9\\ x\ge y-3\\ 2y\ge 8-x\\ y\le 6\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{3x + y \ge 9}\\{x \ge y - 3}\\{2y \ge 8 - x}\\{y \le 6}\end{array}} \right.$, nếu thỏa mãn thì điểm đó thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.

Với điểm có tọa độ (0;0) ta thấy 3.0 + 0 = 0 không thỏa mãn phương trình $3x + y \ge 9$.

Với điểm có tọa độ (1;2) ta thấy 3.1 + 2 = 5 không thỏa mãn phương trình $3x + y \ge 9$.

Với điểm có tọa độ (2;1) ta thấy 3.2 + 1 = 6 không thỏa mãn phương trình

$3x + y \ge 9$.

Với điểm có tọa độ (8;4) ta thấy thỏa mãn mọi phương trình trong hệ.

Vậy miền nghiệm chứa điểm P(8;4).

Dựa vào định lí cosin trong tam giác.

Cho tam giác ABC có ba cạnh a = BC, b = AC, c = AB. Khi đó ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos \widehat {BAC}$.

Hợp của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm các phần tử thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B.

$A \cup B = ( - \infty ;8]$.

Xét miền nghiệm có chứa biên hay không.

Thay tọa độ của điểm bất kì vào hệ bất phương trình xem có thỏa mãn không.

Dùng phương pháp loại trừ.

Do miền nghiệm không chứa biên nên ta loại đáp án A.

Lấy điểm M(0;1) không thuộc miền nghiệm của cả hai bất phương trình trong hệ bất phương trình, thay tọa độ điểm M vào đáp án B, C, D, nếu không thỏa mãn cả hai bất phương trình trong hệ thì đáp án đúng.

Xét đáp án B, ta thấy $\{\begin{array}{c}0-1=-1>0\\ 2.0-1=1>1\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{0 - 1 = - 1 > 0}\\{2.0 - 1 = 1 > 1}\end{array}} \right.$ không thỏa mãn cả hai bất phương trình. Chọn B.

Xét đáp án C, ta thấy $\{\begin{array}{c}0-1=-1<0\\ 2.0-1=1>1\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{0 - 1 = - 1 < 0}\\{2.0 - 1 = 1 > 1}\end{array}} \right.$ thỏa mãn một bất phương trình. Loại C.

Xét đáp án D, ta thấy $\{\begin{array}{c}0-1=-1<0\\ 2.0-1=1<1\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{0 - 1 = - 1 < 0}\\{2.0 - 1 = 1 < 1}\end{array}} \right.$ thỏa mãn một bất phương trình. Loại D.

Dựa vào mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau.

Với hai góc phụ nhau $\alpha$ và ${90^o} - \alpha$, ta có $\sin ({90^o} - \alpha ) = \cos \alpha$.

$\forall x \in (a;b] \Leftrightarrow a < x \le b$.

Với $x \in \mathbb{R}$ thì $\forall x \in [ - 3;2) \Leftrightarrow - 3 \le x < 2$.

Áp dụng công thức ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC.\sin \widehat B$.

Ta có ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC.\sin \widehat B = \frac{1}{2}4.7\sin {150^o} = 7$.

Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập hợp con của B.

Ta có:

$\{ 1;3\} \subset \{ 1;2;3;4\} = A$. Chọn A.

$\{ 2;5\} \not{ \subset }\{ 1;2;3;4\} = A$. Loại B.

$\{ 0;3\} \not{ \subset }\{ 1;2;3;4\} = A$. Loại C.

$\{ 0;1;2\} \not{ \subset }\{ 1;2;3;4\} = A$. Loại D.

Dựa vào giá trị lượng giác của góc.

$\alpha$ là góc tù nên $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha < 0$, suy ta $\tan \alpha < 0$, $\cot \alpha < 0$.

a, b) Xét tính đúng, sai của mệnh đề.

c, d) Mệnh đề kéo theo $A \Rightarrow B$ chỉ sai khi A đúng và B sai.

a) Đúng. “Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật” là mệnh đề đúng dựa vào dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.

b) Sai. “Số 7 là hợp số” là mệnh đề sai vì số 7 là số nguyên tố.

c) Sai. Vì P đúng, Q sai nên $P \Rightarrow Q$ là mệnh đề sai.

d) Đúng. Vì P đúng, Q sai nên $Q \Rightarrow P$ là mệnh đề đúng.

Lập hệ bất phương trình.

a) Đúng. Biểu thức biểu diễn số kg gạo nếp cần dùng là 0,4x + 0,6y.

b) Sai. Biểu thức biểu diễn số thịt ba chỉ cần dùng là 0,05x + 0,075y.

c) Đúng. Với số bánh chưng gói được là x, số bánh tét gói được là y, ta có:

Số kg gạo nếp cần dùng là 0,4x + 0,6y.

Số thịt ba chỉ cần dùng là 0,05x + 0,075y.

Số đậu xanh cần dùng là 0,1x + 0,15y.

Theo giả thiết ta có  $\{\begin{array}{c}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 0,4x+0,6y\le 20\\ 0,05x+0,075y\le 2\\ 0,1x+0,15y\le 5\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{0,4x + 0,6y \le 20}\\{0,05x + 0,075y \le 2}\\{0,1x + 0,15y \le 5}\end{array}} \right.$ hay $\{\begin{array}{c}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 2x+3y\le 100\\ 2x+3y\le 80\\ 2x+34y\le 100\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{2x + 3y \le 100}\\{2x + 3y \le 80}\\{2x + 34y \le 100}\end{array}} \right.$, rút gọn ta được $\{\begin{array}{c}x,y\ge 0\\ 2x+3y\le 80\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x,y \ge 0}\\{2x + 3y \le 80}\end{array}} \right.$.

d) Sai. Vẽ miền nghiệm của hệ:

Ta thấy miền nghiệm của hệ là một miền tam giác OAB kể cả biên, trong đó O(0;0), A(40;0), $B\left( {0;\frac{{80}}{3}} \right)$.

Số điểm thưởng nhận được là P = 5x + 7y.

P đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của tam giác. Thay tọa độ các điểm trên vào P, thấy P đạt giá trị lớn nhất bằng 200 tại A(40;0).

Vậy, cần gói 40 cái bánh chưng để điểm thưởng lớn nhất.

a) Dựa vào giá trị lượng giác của một góc.

b) Sử dụng công thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$.

c) Sử dụng định lý Cosin trong tam giác.

d) Sử dụng công thức tính diện tích $S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}{h_a}.a$.

a) Sai. Vì $\cos A = \frac{3}{5} > 0$ và ${0^o} < A < {180^o}$ nên $\widehat A$ là góc nhọn.

b) Sai. Ta có ${\sin ^2}A = 1 - {\cos ^2}A = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}$, khi đó \(\sin A =  \pm \frac{4}{5}\).

Vì $\widehat A$ là góc nhọn nên $\sin A > 0$, suy ra $\sin A = \frac{4}{5}$.

c) Đúng. Ta có ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = {5^2} + {7^2} - 2.5.7.\frac{3}{5} = 32$, suy ra $a = 4\sqrt 2$.

d) Đúng. Gọi ${h_a}$ là đường cao ứng với cạnh a trong tam giác.

$S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}.5.7.\frac{4}{5} = 14$.

Mà $S = \frac{1}{2}{h_a}.a$ suy ra ${h_a} = \frac{{2S}}{a} = \frac{{2.14}}{{4\sqrt 2 }} = \frac{{7\sqrt 2 }}{2}$.

a) Tìm các phần tử có trong tập hợp A.

b) Tìm các phần tử có trong tập hợp B.

c) Số tập hợp con của tập hợp có n phần tử là .

d) Giao của hai tập hợp là tập hợp gồm các phần tử thuộc cả hai tập hợp.

Ta có: $A = \{ 2;3\}$, $B = \{ 0;2\}$.

a) Sai. $4\not{ \in }A$.

b) Sai. Tập hợp B có 2 phần tử.

c) Đúng. Số tập hợp con của tập hợp A là ${2^2} = 4$, gồm $\emptyset ,\{ 0\} ,\{ 2\} ,\{ 0;2\}$.

d) Đúng. $A \cap B = \{ 2\}$.

Mệnh đề đúng khi giá trị của x là nghiệm của phương trình ${x^2} - 2x = 0$ và $x \in \mathbb{N}$.

Giải phương trình ${x^2} - 2x = 0$, ta được x = 0 hoặc x = 2.

Mà $x \in \mathbb{N}$ nên cả hai nghiệm trên đều thỏa mãn.

Vậy có 2 giá trị của biến x để mệnh đề P(x) là mệnh đề đúng.

Sử dụng định lí Cosin trong tam giác.

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ABC có:

$B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC.AB\cos A$

$B{C^2} = {8^2} + {5^2} - 2.5.8\cos {60^o} = 49$.

Vậy BC = 7 m.

Sử dụng các công thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$, $1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$.

Vì \({0^o} < \alpha  < {180^o}\) nên \(\sin \alpha  > 0\).

Lại có \(\tan \alpha  =  - \frac{5}{{12}} < 0\) nên \(\cos \alpha  < 0\).

Ta có \(1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)

$1 + {\left( { - \frac{5}{{12}}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$

\({\cos ^2}\alpha  = \frac{{144}}{{169}}\).

Kết hợp điều kiện suy ra \(\cos \alpha  =  - \frac{{12}}{{13}}\).

Ta có \({\sin ^2}\alpha  = 1 - {\cos ^2}\alpha  = 1 - {\left( { - \frac{{12}}{{13}}} \right)^2} = \frac{{25}}{{169}}\).

Kết hợp điều kiện suy ra \(\sin \alpha  = \frac{5}{{13}}\).

Ta có \(T = \frac{{3\sin \alpha  - 5\cos \alpha }}{{4\sin \alpha  + \cos \alpha }} = \frac{{3\frac{5}{{13}} - 5\left( { - \frac{{12}}{{13}}} \right)}}{{4\frac{5}{{13}} + \left( { - \frac{{12}}{{13}}} \right)}} = \frac{{75}}{8} \approx 9,38\).

Lập bất phương trình bậc nhất hai ẩn biểu diễn giá tiền mua tập vẽ và bút chì.

Số tiền bạn An cần để mua tập vẽ là 10000x (đồng).

Số tiền bạn An cần để mua bút chì là 5000y (đồng).

Vì bạn An chỉ có 50000 đồng nên số tiền mua tập vẽ và bút không vượt quá 50000 đồng.

Ta có bất phương trình $10000x + 5000y \le 50000$ hay $2x + y \le 10$.

Vì a, b, c là các số tự nhiên không lớn hơn 15 nên ta có a = 2, b = 1 và c = 10.

Vậy a + b + c = 2 + 1 + 10 = 13.

Lập hệ bất phương trình.

Gọi x, y lần lượt là số tấn sản phẩm loại A, B mà phân xưởng này sản xuất trong một ngày ($x,y \ge 0$).

Số giờ làm việc trong ngày của máy ${M_1}$ là 3x + y (giờ), số giờ làm việc trong ngày của máy ${M_1}$ là x + y (giờ).

Vì mỗi ngày, máy ${M_1}$ làm việc không quá 6 giờ và máy ${M_2}$ làm việc không quá 4 giờ nên ta có hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{c}3x+y\le 6\\ x+y\le 4\\ x,y\ge 0\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{3x + y \le 6}\\{x + y \le 4}\\{x,y \ge 0}\end{array}} \right.$   (*).

Số tiền lãi một ngày của phân xưởng này là f(x;y) = 2x + 1,6y (triệu đồng).

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x;y) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là tứ giác OABC (kể cả biên).

Hàm số f(x;y) sẽ đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) khi (x;y) là tọa độ một trong các đỉnh O(0;0), A(2;0), B(1;3), C(0;4).

Thay tọa độ từng điểm vào f(x;y) thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 6,8 khi (x;y) = (1;3).

Vậy số tiền lãi lớn nhất mà phân xưởng này có thể thu được trong một ngày là 6,8 triệu đồng.

Sử dụng kiến thức về các phép toán trên tập hợp.

Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn thì $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.

Gọi A là tập hợp các học sinh thích môn bóng đá, B là tập hợp các học sinh thích môn bóng chuyển.

Khi đó, số phần tử của hai tập hợp A, B là $n(A) = 20$ và $n(B) = 14$.

Theo đề bài, số học sinh thích cả hai môn là $n(A \cap B) = 11$.

Số học sinh thích ít nhất một môn là $n(A \cup B)$.

Ta có: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$= 20 + 14 - 11 = 23$.

Số học sinh không thích cả hai môn là 35 – 23 = 12 (học sinh).