Đề cuối kì 2 Toán 8 năm 2025 – 2026 trường THCS Nguyễn Công Trứ – Lâm Đồng

Hình chóp tứ giác đều S.MNPQ có đỉnh là $S$, mặt đáy là hình vuông MNPQ.

Mặt đáy của hình chóp tứ giác đều S.MNPQ là MNPQ.

Thay $x = - 3$ vào từng phương trình để kiểm tra phương trình nào thỏa mãn.

Thay $x = - 3$ vào phương trình $2x + 6 = 0$, ta có: $2( - 3) + 6 = - 6 + 6 = 0$ (đúng).

Trong phương trình $A = B$, biểu thức $A$ nằm ở bên trái dấu "=" gọi là vế trái.

Vế trái của phương trình $3x + 4 = x + 12$ là $3x + 4$.

Xét hai tam giác $\Delta ABC$ và $\Delta DEF$, các cặp đỉnh tương ứng là $\left. A\leftrightarrow D \right.$, $\left. C\leftrightarrow F \right.$, $\left. B\leftrightarrow E \right.$.

Khi đó $\Delta ABC \backsim \Delta DEF$.

$\Delta ABC \backsim \Delta DEF$ (theo trường hợp góc - góc)

Hai tam giác đồng dạng thì các góc tương ứng bằng nhau.

Nếu $\Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'$ thì $\widehat{B} = \widehat{B^{\prime}}$.

Hai tam giác đồng dạng $\Delta ABC \backsim \Delta DEF$ thì góc tương ứng $\widehat{D} = \widehat{A}$.

Vì $\Delta ABC \backsim \Delta DEF$ nên $\widehat{D} = \widehat{A} = 60^{{^\circ}}$.

Tổng số kết quả có thể khi chọn 1 bạn ngẫu nhiên bằng tổng số bạn trong đội văn nghệ.

Số bạn trong đội văn nghệ là: $3 + 3 + 1 + 2 = 9$ (bạn). Do đó số kết quả có thể xảy ra là 9.

Đồ thị hàm số $y = ax + b$ cắt trục tung $Oy$ tại điểm có hoành độ $x = 0$, tìm tung độ $y = b$.

Cho $x = 0$ thì $y = 3(0) - 6 = - 6$. Tọa độ giao điểm là $(0; - 6)$.

Áp dụng định lý Định lý Pythagore cho tam giác $MNP$ vuông tại $P$.

Xét $\Delta MNP$ vuông tại $P$ ta có:

$MN^{2} = NP^{2} + MP^{2}$ (Định lý Pythagore)

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $ax + b = 0$ ($a \neq 0$).

$2x + 5 = 0$ là phương trình bậc nhất một ẩn $x$ với $a = 2 \neq 0$.

Xác suất thực nghiệm = (Số bút bi đỏ) : (Tổng số bút trong hộp).

Tổng số bút trong hộp là $5 + 3 + 2 = 10$ (bút). Số bút bi đỏ là 3. Xác suất lấy được bút đỏ là $\dfrac{3}{10}$.

Thay tọa độ các điểm vào hàm số $y = \dfrac{1}{3}x - 2$, điểm nào cho đẳng thức đúng thì thuộc đồ thị.

Thay $T(0; - 2)$ vào hàm số ta được:

$- 2 = \dfrac{1}{3}(0) - 2$ hay $- 2 = - 2$ (đúng).

Biểu diễn các đại lượng theo biến $x$ để lập phương trình và giải phương trình tìm $x$.

Gọi tuổi Minh hiện nay là $x$ ($x \in {\mathbb{N}}^{*}$).

Năm nay tuổi bố gấp 10 lần tuổi Minh nên tuổi bố hiện nay là $10x$ (tuổi).

Sau 24 năm nữa: Tuổi Minh là $x + 24$ (tuổi); Tuổi bố là $10x + 24$ (tuổi).

Sau 24 năm nữa tuổi bố gấp 2 lần tuổi Minh nên ta có phương trình: $10x + 24 = 2(x + 24)$.

Giải phương trình:

$10x + 24 = 2(x + 24)$

$\begin{array}{l}10x+24=2x+48\\ 8x=24\\ x=3\end{array}$$\begin{array}{l} {10x + 24 = 2x + 48} \\ {8x = 24} \\ {x = 3} \end{array}$

Do đó, tuổi Minh hiện nay là 3 tuổi.

Tuổi bố Minh hiện nay là: $10.3 = 30$ (tuổi).

Áp dụng các công thức của hình chóp tứ giác đều:

+ Nửa chu vi đáy $p = \dfrac{4 \times a}{2} = 2a$

+ Diện tích đáy $S_{d\text{á}y} = a^{2}$

+ Diện tích xung quanh $S_{xq} = p \cdot d$ ($d$ là trung đoạn)

+ Thể tích $V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{d\text{á}y} \cdot h$ ($h$ là chiều cao)

Cạnh đáy $a = 10\text{~cm}$, trung đoạn $d = 13\text{~cm}$, chiều cao $h = 12\text{~cm}$.

a) Nửa chu vi mặt đáy là: $p = \dfrac{10 \times 4}{2} = 20\text{~cm}$$\rightarrow$ SAI (đề ghi 40 cm).

b) Diện tích mặt đáy là: $S_{d\text{á}y} = 10^{2} = 100\text{~cm}^{2}$$\rightarrow$ ĐÚNG.

c) Diện tích xung quanh là: $S_{xq} = p \cdot d = 20 \times 13 = 260\text{~cm}^{2}$$\rightarrow$ ĐÚNG.

d) Thể tích hình chóp là: $V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{d\text{á}y} \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12 = 400\text{~cm}^{3}$$\rightarrow$ SAI (đề ghi $200\text{~cm}^{3}$).

Hệ số góc của đường thẳng $y = ax + b$ ($a \neq 0$) là $a$.

Đường thẳng $y = - 3x + 1$ có hệ số góc $a = - 3$.

Thay tọa độ $E(0;2)$ tức là $x = 0,y = 2$ vào phương trình đường thẳng để tìm $m$.

Thay $x = 0,y = 2$ vào $y = (m - 1)x - m + 4$ ta được:

$\begin{array}{l}2=(m-1)\cdot 0-m+4\\ 2=-m+4\\ m=2\text{ (TM, }m\mathrm{\ne }1\text{)}\end{array}$$\begin{array}{l} {2 = (m - 1) \cdot 0 - m + 4} \\ {2 = - m + 4} \\ {m = 2\text{~(TM,~}m \neq 1\text{)}} \end{array}$

Chuyển hạng tử tự do sang vế phải và chia cho hệ số của $x$.

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{2x}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}=0\\ {\displaystyle \frac{2x}{3}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ 2x={\displaystyle \frac{3}{2}}\\ x={\displaystyle \frac{3}{4}}=0,75\end{array}$$\begin{array}{l} {\dfrac{2x}{3} - \dfrac{1}{2} = 0} \\ {\dfrac{2x}{3} = \dfrac{1}{2}} \\ {2x = \dfrac{3}{2}} \\ {x = \dfrac{3}{4} = 0,75} \end{array}$

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác DEF vuông tại $D$: $EF^{2} = DE^{2} + DF^{2}$.

Xét $\Delta DEF$ vuông tại $D$ ta có:

$EF^{2} = DE^{2} + DF^{2}$ (định lý Pythagore)

Hay $EF^{2} = 12^{2} + 16^{2} = 144 + 256 = 400$

Suy ra $EF = 20\text{~(cm)}$

a) Chuyển vế $4x = 20$ hay $x = 5$.

b) Nhân phá ngoặc, chuyển các hạng tử chứa $x$ về vế trái, hằng số về vế phải.

c) Dùng hằng đẳng thức $(x + 4)(x - 4) = x^{2} - 16$, khai triển và rút gọn.

a) $4x - 20 = 0$

$4x = 20$

$x = 5$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = 5$.

b) $5x - 2 + 4x~ = 7 + 3\left( {x - 1} \right)$

$9x - 2 = 7 + 3x - 3$

$9x - 3x = 4 + 2$

$6x = 6$

$x = 1$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = 1$.

c) $x^{2} - (x + 4)(x - 4) = 4x$

$x^{2} - (x^{2} - 16) = 4x$

$x^{2} - x^{2} + 16 = 4x$

$4x = 16$

$x = 4$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = 4$.

a) Áp dụng định lý Pythagore tính BC

b) Chứng minh hai tam giác vuông $\Delta ABD$ và $\Delta HBI$ có $\widehat{BAD} = \widehat{BHI} = 90^{{^\circ}}$ và góc $\widehat{ABD} = \widehat{HBI}$ (do $BD$ là tia phân giác của góc $B$).

a) Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ta có:

$\begin{array}{l}B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2\\ B{C}^2=6^2+8^2=36+64=100\end{array}$$\begin{array}{l} {BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}} \\ {BC^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100} \end{array}$

Suy ra $BC = 10\text{~cm}$

b) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta HBI$, ta có:

$\widehat{BAD} = \widehat{BHI} = 90^{{^\circ}}$ (AH là đường cao)

$\widehat{ABD} = \widehat{HBI}$ (do $BD$ là đường phân giác của $\widehat{ABC}$).

Do đó, $\Delta ABD \backsim \Delta HBI$ (g.g) (đpcm).

Áp dụng hằng đẳng thức và nhóm từng cặp phân thức quy đồng mẫu.

Ta có: $\dfrac{1}{1 - x} + \dfrac{1}{1 + x} = \dfrac{1 + x + 1 - x}{(1 - x)(1 + x)} = \dfrac{2}{1 - x^{2}}$

Cộng tiếp với $\dfrac{2}{1 + x^{2}}$:

$\dfrac{2}{1 - x^{2}} + \dfrac{2}{1 + x^{2}} = 2\left( {\dfrac{1}{1 - x^{2}} + \dfrac{1}{1 + x^{2}}} \right) = 2 \cdot \dfrac{1 + x^{2} + 1 - x^{2}}{(1 - x^{2})(1 + x^{2})} = \dfrac{4}{1 - x^{4}}$

Quy đồng liên tiếp ta được:

$\dfrac{4}{1 - x^{4}} + \dfrac{4}{1 + x^{4}} = \dfrac{8}{1 - x^{8}}$

$\dfrac{8}{1 - x^{8}} + \dfrac{8}{1 + x^{8}} = \dfrac{16}{1 - x^{16}}$

$\dfrac{16}{1 - x^{16}} + \dfrac{16}{1 + x^{16}} = \dfrac{32}{1 - x^{32}}$

$\dfrac{32}{1 - x^{32}} + \dfrac{32}{1 + x^{32}} = \dfrac{64}{1 - x^{64}}$

Vậy $A = \dfrac{64}{1 - x^{64}}$.