Đề cuối kì 2 Toán 8 năm 2025 – 2026 trường THCS Lê Thiện – Hải Phòng

Điều kiện xác định của phân thức là các giá trị của biến mà tại đó mẫu thức của phân thức không bằng 0.

Điều kiện xác định của phân thức $\dfrac{x - 5}{x^{2} - 4}$ là $x^{2} - 4 = 0$. Suy ra $x \neq \pm 2$.

Tách tử thành các đa thức giống các đa thức đã xuất hiện ở mẫu.

Ta có: $\dfrac{1}{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} = \dfrac{(x + 2) - (x + 1)}{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} = \dfrac{x + 2}{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} - \dfrac{x + 1}{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} = \dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{1}{x + 2}$

Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng $ax + b = 0$, trong đó $a$ và $b$ là các số đã cho và $a \neq 0$.

Ta thấy $2x = 0$ là phương trình bậc nhất một ẩn với các hệ số $a = 2,b = 0$.

Áp dụng giải phương trình bậc nhất một ẩn tìm nghiệm của phương trình đã cho.

Ta có: $2x - 1 = 3$

$\begin{array}{l}2x=3+1\\ 2x=4\\ x=2\end{array}$$\begin{array}{l} {2x = 3 + 1} \\ {2x = 4} \\ {x = 2} \end{array}$

Thay $x = - 1$ vào hàm số $y = f(x) = 5x + 1$

Thay $x = - 1$ vào hàm số $y = f(x) = 5x + 1$ ta được:

$y = f(x) = 5.\left( {- 1} \right) + 1 = - 4$

Dựa vào kiến thức tam giác đồng dạng.

+ Hai tam giác bằng nhau có các cặp góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng bằng nhau nên chúng đồng dạng theo tỉ số 1.

Tỉ số đồng dạng là tỉ số giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng . Nếu hai tam giác $\Delta ABC$ và $\Delta A'B'C'$ đồng dạng, thì tỉ số đồng dạng $k$ được xác định bằng công thức:

$k = \dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{AC}{A'C'}$

Vì $\Delta ABC$ $\backsim$$\Delta A'B'C'$ nên

$k = \dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{AC}{A'C'}$

Hay $k = \dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{5}{7,5}\left( {= \dfrac{2}{3}} \right)$

Áp dụng định lý Py-ta-go

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác ABC vuông tại A ta có: $BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$

Hình chóp tứ giác đều là một hình khối không gian có mặt đáy là hình vuông và các mặt bên là những tam giác cân, tất cả các cạnh bên đều có chiều dài bằng nhau.

Quan sát hình vẽ ta thấy hình

Hình chóp tam giác đều là một khối hình học không gian có đáy là một tam giác đều và ba mặt bên là các tam giác cân, tất cả đều có chung một đỉnh.

Hình chóp tam giác đều có 4 mặt gồm 3 mặt bên và 1 mặt đáy.

Sử dụng kiến thức hàm số bậc nhất và đồ thị của hàm số bậc nhất.

a) Sai: Điều kiện để hàm số trên là hàm bậc nhất là $m \neq 2$.

b) Sai: Với $m = - 1$ thì ta có hàm số $(d)$: $y = 3x - 4$. Vì $4 \neq 3.0 - 4$ nên đồ thị hàm số $(d)$ không đi qua điểm $A\left( {0;4} \right)$.

c) Đúng: Để $(d)$ song song với $\left( {d\text{'}} \right)$ thì $\{\begin{array}{l}2-m=-1\\ 3m-1\mathrm{\ne }m-3\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {2 - m = - 1} \\ {3m - 1 \neq m - 3} \end{array} \right.$ hay $\{\begin{array}{l}m=3\\ m\mathrm{\ne }-1\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {m = 3} \\ {m \neq - 1} \end{array} \right.$. Vậy $m = 3$

d) Đúng:

Xét phương trình hoành độ giao điểm, ta có: $(2 - m)x + 3m - 1 = - x + 2$ (*)

Để $(d)$ cắt đường thẳng $\left( {d''} \right)$: $y = - x + 2$ tại một điểm thuộc trục tung thì $x = 0$.

Thay $x = 0$ vào phương trình (*) ta được: $(2 - m).0 + 3m - 1 = - 0 + 2$

hay $3m - 1 = 2$

$\begin{array}{l}3m=2+1\\ 3m=3\\ m=1\end{array}$$\begin{array}{l} {3m = 2 + 1} \\ {3m = 3} \\ {m = 1} \end{array}$

Sử dụng công thức tính xác suất của biến cố.

a) Sai: Số lần bạn Lan đã gieo xúc xắc là: $15 + 12 + 9 + 14 + 6 + 4 = 60$ (lần)

b) Đúng: Mặt 5 chấm xuất hiện 6 lần. Vậy số kết quả thuận lợi của biến cố “Xuất hiện mặt 5 chấm” là 6.

c) Đúng:

Số kết quả thuận lợi của biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 3” là: $15 + 12 = 27$

Vậy xác suất của biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 3” là $\dfrac{27}{60} = \dfrac{9}{20}$.

d) Sai:

Số kết quả thuận lợi của biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm là ước của 6” là: $15 + 12 + 9 + 4 = 40$

Vậy xác suất của biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm là ước của 6” là $\dfrac{40}{60} = \dfrac{2}{3}$.

Thay tọa độ điểm $A( - 2; - 3)$ vào hàm số bậc nhất $y = \left( {3 - 2m} \right)x - 1$, từ đó xác định m.

Vì hàm số đi qua điểm $A( - 2; - 3)$ nên $x = - 2;y = - 3$.

Thay $x = - 2;y = - 3$ vào hàm số $y = \left( {3 - 2m} \right)x - 1$ ta được:

$- 3 = \left( {3 - 2m} \right)( - 2) - 1$

$\begin{array}{l}-3=-6+4m-1\\ 4m=-3+6+1\\ 4m=4\\ m=1\end{array}$$\begin{array}{l} {- 3 = - 6 + 4m - 1} \\ {4m = - 3 + 6 + 1} \\ {4m = 4} \\ {m = 1} \end{array}$

Công thức tính tỉ số chu vi của hai tam giác đồng dạng là tỉ số của các cạnh tương ứng.

Vì $\Delta ABC \backsim \,\Delta DEF$ theo tỉ số $k = \dfrac{3}{2}$ nên $\dfrac{C_{\Delta ABC}}{C_{\Delta DEF}} = \dfrac{3}{2}$ hay $\dfrac{42}{C_{\Delta DEF}} = \dfrac{3}{2}$.

Suy ra $C_{\Delta DEF} = \dfrac{42.2}{3} = 28$ (cm)

Chu vi hình tứ giác bằng tổng độ dài các cạnh của tứ giác.

Từ C hạ đường vuông góc xuống AB, cắt AB tại H.

Xét tứ giác $AHCD$ có: $\widehat{A} = \widehat{H} = \widehat{D} = 90{^\circ}$

Suy ra $AHCD$ là hình chữ nhật.

Suy ra $AH = CD = 14$ (cm)

Khi đó, ta có: $HB = AB - AH = 20 - 14 = 6$ (cm)

Xét $\Delta BCH$ vuông tại $H$ ta có:

$BC^{2} = HB^{2} + HC^{2}$ (Định lý Py-ta-go)

$\begin{array}{l}B{C}^2=8^2+6^2\\ B{C}^2=100={10}^2\end{array}$$\begin{array}{l} {BC^{2} = 8^{2} + 6^{2}} \\ {BC^{2} = 100 = 10^{2}} \end{array}$

$BC = 10$ (cm)

Chu vi của tứ giác $ABCD$ là:

$AB + BC + CD + DA = 20 + 10 + 14 + 8 = 52$ (cm)

Công thức tính thể tích hình chóp tứ giác đều là $V = \dfrac{1}{3}.S_{d}.h$, trong đó $S_{d}$ là diện tích mặt đáy; $h$ là chiều cao của hình chóp.

Diện tích của mặt đáy kim tự tháp là $S_{d} = 15^{2} = 225$ ($cm^{2}$)

Thể tích của kim tự tháp thể tinh đó là: $V = \dfrac{1}{3}S_{d}.h = \dfrac{1}{3}.225.20 = 1500$ ($cm^{3}$)

+ Gọi $x$ (sản phẩm) là số sản phẩm dự định mà tổ phải sản xuất $\left( {x \in {\mathbb{N}}^{*}} \right)$

+ Biểu diễn thời dự định, thời gian thực tế của tổ đã làm theo $x$.

+ Vì tổ đã làm xong trước thời gian dự định là 4 ngày nên ta có phương trình: $\dfrac{x}{120} - \dfrac{x + 10}{150} = 4$.
+ Giải phương trình tìm $x$.

+ Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Gọi $x$ (sản phẩm) là số sản phẩm dự định mà tổ phải sản xuất $\left( {x \in {\mathbb{N}}^{*}} \right)$.

Khi đó:

- Thời gian dự định của tổ là: $\dfrac{x}{120}$ (ngày).

- Thực tế số sản phẩm tổ đã làm được là: $x + 10$ (sản phẩm)

- Thời gian thực tế tổ đã làm là: $\dfrac{x + 10}{150}$ (ngày)

Vì tổ đã làm xong trước thời gian dự định là 4 ngày nên ta có phương trình: $\dfrac{x}{120} - \dfrac{x + 10}{150} = 4$.

$\dfrac{x}{120} - \dfrac{x + 10}{150} = 4$

$\dfrac{x}{120} - \dfrac{x}{150} - \dfrac{10}{150} = 4$

$\dfrac{x}{600} = \dfrac{610}{150}$

$x = 2 440$ (thỏa mãn)

Vậy tổ dự định làm $2 440$ sản phẩm.

Bước 1:

+ Cho $x = 0$ thì $y = b$, $d: y = ax + b$ đi qua điểm A(0; b) thuộc trục tung Oy.

+ Cho $y = 0$ thì $x = \dfrac{- b}{a}$, $d: y = ax + b$ đi qua điểm $B(\dfrac{- b}{a};0)$ thuộc trục hoành Ox.

Bước 2: Xác định hai điểm $A,B$ trên hệ trục tọa độ.

Bước 3: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm $A$ và $B$.

Bước 4: Kết luận.

* Vẽ đồ thị hàm số: y = -2x + 4:

+) x = 0 thì y = 4; giao điểm của đồ thị hàm số với Oy là A(0; 4).

+) y = 0 thì x = 2; giao điểm của đồ thị hàm số với Ox là B(2; 0).

Đồ thị hàm số: y = -2x + 4 là một đường thẳng đi qua hai điểm A và B.

* Vẽ đúng đồ thị hàm số y = -2x + 4.

a) Dựa vào các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông, chứng minh $\Delta ABC \backsim \Delta HBA$. Từ đó, suy ra các cạnh tương ứng ta chứng minh được $AB^{2} = BH.BC$.

b) Chứng minh $\Delta AHC \backsim \Delta BHA$, từ đó suy ra $AH^{2} = HB.HC$. Lại có HD là tia phân giác của góc $\widehat{AHC}$ nên $\dfrac{AH}{HC} = \dfrac{AD}{DC}$. Từ đó chứng minh được $\dfrac{HB.HC}{HC^{2}} = \dfrac{AD^{2}}{DC^{2}}$ hay $\dfrac{HB}{HC} = \dfrac{AD^{2}}{DC^{2}}$.

a) Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HBA$, ta có:

$\widehat{B}$ là góc chung

$\widehat{BAC} = \widehat{AHC} = 90{^\circ}$

Do đó: $\Delta ABC \backsim \Delta HBA$ (g.g)

Suy ra: $\dfrac{AB}{BH} = \dfrac{BC}{AB}$ (Hai cạnh tương ứng)$y = f(x) = 5.\left( {- 1} \right) + 1 = - 4$

Suy ra: $AB^{2} = BH.BC$

b) Xét $\Delta AHC$ và $\Delta BHA$, ta có:

$\widehat{BHA} = \widehat{AHC} = 90{^\circ}$

$\widehat{BAH} = \widehat{HCA}$ (do $\Delta ABC \backsim \Delta HBA$)

Suy ra: $\Delta AHC \backsim \Delta BHA$ (g.g)

Suy ra: $\dfrac{AH}{BH} = \dfrac{CH}{AH}$ (Hai cạnh tương ứng)

Suy ra: $AH.AH = BH.CH$

Hay $AH^{2} = HB.HC$.

Do HD là tia phân giác của góc $\widehat{AHC}$ nên ta có

$\dfrac{AH}{HC} = \dfrac{AD}{DC}$

Suy ra $\dfrac{AH^{2}}{HC^{2}} = \dfrac{AD^{2}}{DC^{2}}$

Hay $\dfrac{HB.HC}{HC^{2}} = \dfrac{AD^{2}}{DC^{2}}$ (do $AH^{2} = HB.HC$)

Suy ra $\dfrac{HB}{HC} = \dfrac{AD^{2}}{DC^{2}}$(đpcm)