Đề thi học kì 2 Toán 8 - Đề số 1

Điều kiện xác định của phân thức $\frac{A}{B}$ là $B \ne 0$.

Điều kiện xác định của phân thức $\frac{{x - 5}}{{{x^2} - 4}}$ là ${x^2} - 4 \ne 0$ hay ${x^2} \ne 4$ suy ra $x \ne 2;x \ne - 2$.

Đáp án D

Rút gọn phân thức để tìm phân thức bằng với $\frac{{2xy}}{{3{x^2}y}}$.

Ta có: $\frac{{2xy}}{{3{x^2}y}} = \frac{2}{{3x}}$.

Đáp án D

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $ax + b = 0\left( {a \ne 0} \right)$.

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $ax + b = 0\left( {a \ne 0} \right)$.

Do đó $3x + 6 = 0$ là phương trình bậc nhất một ẩn.

Đáp án B

Sử dụng công thức liên hệ giữa vận tốc, thời gian và quãng đường: $v = \frac{S}{t}$.

Biểu thức biểu thị vận tốc của xe đạp đi từ A đến B là: $\frac{x}{5}$.

Đáp án A

Hàm số bậc nhất có dạng $y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)$.

Hàm số $y = \frac{2}{3} - 2x$ là hàm số bậc nhất.

Đáp án C

Đồ thị hàm số $y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)$ và $y = a'x + b'\left( {a' \ne 0} \right)$ song song với nhau nếu $a = a',b \ne b'$.

Vì đồ thị hàm số $y = 2x + 1$ và đồ thị hàm số $y = ax + 3$ là hai đường thẳng song song nên hệ số $a = 2$ và $1 \ne 3$.

Đáp án B

Liệt kê các số tự nhiên có một chữ số, ta được số kết quả có thể xảy ra.

Có 10 số tự nhiên có một chữ số là: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

Vậy có 10 kết quả có thể xảy ra.

Đáp án D

Xác định số kết quả có thể.

Xác định các mặt có số chấm chẵn, ta được số các kết quả thuận lợi cho biến cố.

Xác suất của biến cố bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố với tổng số kết quả có thể (tổng số thẻ).

Xúc xắc có 6 mặt: 1; 2; 3; 4; 5; 6 nên có 6 kết quả có thể khi gieo con xúc xắc.

Các mặt có số chấm chẵn là: 2; 4; 6 nên có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố B.

Xác suất của biến cố B là $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Đáp án A

Sử dụng định lí tổng ba góc trong tam giác để tính $\widehat C$.

Từ đó chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

Xét tam giác ABC ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$ suy ra $\widehat C = 180^\circ - \widehat A - \widehat B = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ$.

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ có:

$\widehat A = \widehat D\left( { = 50^\circ } \right)$

$\widehat C = \widehat E\left( { = 70^\circ } \right)$

nên $\Delta ABC\backsim \Delta DFE\left( g.g \right)$

Đáp án B

Sử dụng kiến thức về hình đồng dạng phối cảnh (hình vị tự): Nếu với mỗi điểm M thuộc hình $\mathcal{K}$, lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho $OM' = k.OM$ (hay  thì các điểm M’ đó tạo thành hình $\mathcal{K}'$. Hình $\mathcal{K}'$ đồng dạng phối cảnh với hình $\mathcal{K}$ theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh và với mỗi điểm M thuộc hình $\mathcal{K}$, lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho $\frac{{OM'}}{{OM}} = k$.

Vì Hình 1 đồng dạng phối cảnh với Hình 2 với tỉ số đồng dạng là 2 nên ta có: $\frac{{AC}}{{AB}} = 2$.

Đáp án C

Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt bên là tam giác cân và đáy là hình vuông.

Vì hình chóp tứ giác đều có 4 mặt bên nên Hình 1 khi gấp và dán lại thì được một hình chóp tứ giác đều.

Đáp án A

Dựa vào kiến thức về diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều.

Diện tích xung quanh của hình chóp bằng nửa chu vi đáy nhân với trung đoạn.

Đáp án C

a) Điều kiện để hàm số $y = ax + b$ là hàm số bậc nhất là $a \ne 0$.

b) Thay $m = - 1$ vào hàm số. Thay toạ độ điểm A vào đồ thị hàm số để kiểm tra xem điểm $A\left( {0;4} \right)$ có thuộc đồ thị hàm số hay không.

c) Hai đường thẳng $y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)$ và $y = a'x + b'\left( {a' \ne 0} \right)$ song song khi $a = a',b \ne b'$.

d) Điểm thuộc trục tung thì có hoành độ bằng 0.

Thay $x = 0$ vào (d”) để tìm $y$.

Từ đó thay toạ độ giao điểm vào (d) để tìm m.

a) Đúng

Điều kiện để hàm số trên là hàm số bậc nhất là $2 - m \ne 0$ suy ra $m \ne 2$.

b) Sai

Với $m = - 1$, ta được $y = \left[ {2 - \left( { - 1} \right)} \right]x + 3\left( { - 1} \right) - 1 = 3x - 4$

Do đó $\left( d \right):y = 3x - 4$.

Thay $x = 0,y = 4$ vào $y = 3x - 4$, ta được: $3.0 - 4 = 4$ hay $- 4 = 4$ (vô lí)

Do đó với $m = - 1$ thì đồ thị hàm số $\left( d \right)$ không đi qua điểm $A\left( {0;4} \right)$.

c) Đúng

Để đường thẳng $\left( d \right):y = \left( {2 - m} \right)x + 3m - 1$ song song với $\left( {d'} \right):y = - x + m - 3$ thì:

$2 - m = - 1$ và $3m - 1 \ne m - 3$

$m = 2 + 1$        $3m - m \ne - 3 + 1$

$m = 3$              $2m \ne - 2$

                            $m \ne - 1$

Do đó $m = 3$.

d) Đúng

Với $x = 0$ thì $y = - 0 + 2 = 2$ nên $\left( {d''} \right):y = - x + 2$ cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2.

Vì $\left( d \right):y = \left( {2 - m} \right)x + 3m - 1$ cắt đường thẳng $\left( {d''} \right):y = - x + 2$ tại một điểm thuộc trục tung nên giao điểm của hai đường thẳng là điểm $\left( {0;2} \right)$.

Thay $x = 0;y = 2$ vào $\left( d \right):y = \left( {2 - m} \right)x + 3m - 1$, ta được:

$\begin{array}{l}2=\left(2-m\right).0+3m-1\\ 2=3m-1\\ 3m=3\\ m=1\end{array}$$\begin{array}{l}2 = \left( {2 - m} \right).0 + 3m - 1\\2 = 3m - 1\\3m = 3\\m = 1\end{array}$

Vậy để $\left( d \right)$ cắt đường thẳng $\left( {d''} \right):y = - x + 2$ tại một điểm thuộc trục tung thì $m = 1$.

Đáp án: ĐSĐĐ

a) Kết quả có thể là tổng số học sinh.

b) Kết quả thuận lợi cho biến cố “Học sinh được chọn là nữ” là số các bạn học sinh nữ.

c) Kết quả thuận lợi cho biến cố “Học sinh được chọn là nam” là số các bạn học sinh nam.

Xác suất của biến cố bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố với số kết quả có thể.

d) Xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố “Học sinh được chọn là nam và có tên bắt đầu bằng chữ H”.

Xác suất của biến cố bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố với số kết quả có thể.

a) Đúng

Có 10 kết quả có thể xảy ra khi chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm tập, đó là: Hoa, Mai, Linh, My, Cường, Hùng, Nguyên, Kiên, Phúc, Hoàng.

b) Sai

Số kết quả thuận lợi cho biến cố “Học sinh được chọn là nữ” là 4 gồm Hoa, Mai, Linh, My.

c) Đúng

Số kết quả thuận lợi cho biến cố “Học sinh được chọn là nam” là 6.

Do đó, xác suất của biến cố “Học sinh được chọn là nam” là: $\frac{6}{{10}} = 0,6$.

d) Sai

Số kết quả thuận lợi cho biến cố “Học sinh được chọn là nam và có tên bằng đầu bằng chữ H” là 2, đó là: Hùng; Hoàng.

Do đó xác suất của biến cố “Học sinh được chọn là nam và có tên bằng đầu bằng chữ H” là: $\frac{2}{{10}} = 0,2$.

Đáp án: ĐSĐS

Gọi đường thẳng cần tìm là $\left( d \right):y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)$.

Thay lần lượt toạ độ của A, B vào hàm số và chuyển b sang 1 vế.

Từ đó ta được một phương trình bậc nhất ẩn a.

Giải phương trình ẩn a để tìm a.

Gọi đường thẳng cần tìm là $\left( d \right):y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)$.

Vì $A\left( {1;2} \right) \in \left( d \right)$ nên $2 = a + b$, suy ra $b = 2 - a$ (1).

Vì $B\left( {3;4} \right) \in \left( d \right)$ nên $4 = 3a + b$, suy ra $b = 4 - 3a$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$2 - a = 4 - 3a$

$\begin{array}{l}3a-a=4-2\\ 2a=2\\ a=1\end{array}$$\begin{array}{l}3a - a = 4 - 2\\2a = 2\\a = 1\end{array}$

Vậy hệ số góc của đường thẳng đó là 1.

Đáp án: 1

Xác định số kết quả có thể.

Xác định các kết quả thuận lợi cho biến cố “Số trên thẻ được rút ra vừa là bình phương của một số, vừa là số chia hết cho 3”.

+ Liệt kê các số là bình phương của một số.

+ Xác định các số chia hết cho 3 trong các số đó.

Xác suất của biến cố bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố với số kết quả có thể.

Các kết quả có thể xảy ra khi rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp là 50.

Kết quả thuận lợi cho biến cố “Thẻ được rút ra là bình phương của một số” là: 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49.

Trong các số trên, các số chia hết cho ba là: 9; 36.

Suy ra, có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố “Số trên thẻ được rút ra vừa là bình phương của một số, vừa là số chia hết cho 3”.

Vậy xác suất của biến cố “Số trên thẻ được rút ra vừa là bình phương của một số, vừa là số chia hết cho 3” là: $\frac{2}{{50}} = \frac{1}{{25}} = 0,04$.

Đáp án: 0,04

Do điểm D được gấp trùng với điểm E nên tính được AE.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AEB vuông tại B để tính BE.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên tính được độ dài BC, từ đó tính được EC.

Do điểm D được gấp trùng với điểm E nên ta có $AD = AE = 10cm$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AEB vuông tại B, ta có:

$A{B^2} + B{E^2} + A{E^2}$

suy ra $B{E^2} = A{E^2} - A{B^2} = {10^2} - {8^2} = 36$

Do đó $BE = \sqrt {36}  = 6\left( {cm} \right)$

Vì ABCD là hình chữ nhật nên $AD = BC = 10cm$ nên $BE + EC = BC$

Suy ra $EC = BC - BE = 10 - 6 = 4\left( {cm} \right)$.

Đáp án: 4

Áp dụng công thức tính thể tích hình chóp để tính thể tích khối đá.

Áp dụng công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật để thể tích nước có khối đá bên trong.

Thể tích nước khi lấy khối đá ra = thể tích nước có khối đá bên trong – thể tích khối đá.

Tính diện tích đáy của bể.

Từ đó áp dụng công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật để tính mực nước của bể.

Thể tích khối đá hình chóp tam giác đều là:

${V_{hc}} = \frac{1}{3}S.h = \frac{1}{3}.270.30 = 2\,700\left( {c{m^3}} \right)$

Thể tích nước có khối đá bên trong là:

${V_{hhcn}} = 60.30.60 = 108\,000\left( {c{m^3}} \right)$

Do đó thể tích nước khi lấy khối đá ra là:

${V_{hhcn}} - {V_{hc}} = 108\,000 - 2\,700 = 105\,300\left( {c{m^3}} \right)$

Diện tích đáy của bể hình hộp chữ nhật là:

$60.30 = 1\,800\left( {c{m^2}} \right)$

Vậy khi lấy khối đá ra thì mực nước của bể là: $105\,300:1\,800 = 58,5\left( {cm} \right)$

Đáp án: 58,5

Gọi số tấn thóc thu hoạch theo dự định là $x$(tấn) $(x > 0)$.

Biểu diễn số ngày thu hoạch hết số thóc theo dự định và số ngày thu hoạch hết số thóc thực tế, từ đó lập phương trình.

Giải phương trình, kiểm tra lại điều kiện và kết luận.

Gọi số tấn thóc thu hoạch theo dự định là $x$(tấn) $(x > 0)$.

Khi đó số ngày thu hoạch hết số thóc theo dự định là: $\frac{x}{{20}}$ (ngày)

Số tấn thóc thực tế thu hoạch được là: $x + 10$ (tấn)

Số tấn thóc thực tế mỗi ngày thu hoạch được là $20 + 6 = 26$ (tấn)

Số ngày thu hoạch hết số thóc theo thực tế là: $\frac{{x + 10}}{{26}}$ ngày

Vì hợp tác xã hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày nên ta có phương trình:

$\frac{x}{{20}} - 1 = \frac{{x + 10}}{{26}}$

Giải phương trình:

$\frac{x}{{20}} - 1 = \frac{{x + 10}}{{26}}$

$\frac{{13x}}{{20}} - \frac{{260}}{{260}} = \frac{{10\left( {x + 10} \right)}}{{26}}$

$\frac{{13x - 260}}{{260}} = \frac{{10x + 100}}{{260}}$

$13x - 260 = 10x + 100$

$13x - 10x = 100 + 260$

$3x = 360$

$x = 120$ (thỏa mãn)

Vậy số thóc theo dự định là 120 tấn.

a) Chứng minh $\widehat {BAD} = \widehat {AHB} = 90^\circ$

Từ đó chứng minh $\Delta ABD\backsim \Delta HBA$ (g.g)

b) Chứng minh $\Delta ABD\backsim \Delta HAD\left( g.g \right)$ suy ra $\frac{{AD}}{{DH}} = \frac{{BD}}{{AD}}$ hay $A{D^2} = BD.DH$

Kết hợp đặc điểm của hình chữ nhật ta có AD = BC

Do đó $B{C^2} = BD.DH$ (đpcm)

c) Chứng minh $\Delta AIE$ cân tại A

Sử dụng tính chất tia phân giác cho DE và từ $\Delta ABD\backsim \Delta HAD$ suy ra $\widehat {DBA} + \widehat {EDB} = \widehat {HAD} + \widehat {EDA}$

Sử dụng tính chất góc ngoài cho $\Delta AID$ và $\Delta DEB$ để có $\widehat {AIE} = \widehat {HAD} + \widehat {EDA}$ và $\widehat {AEI} = \widehat {EBD} + \widehat {BDE}$

Suy ra $\widehat {AIE} = \widehat {AEI}$ nên $\Delta AIE$ cân tại A.

Chứng minh $A{E^2} = IH.EB$

Từ $\Delta AIE$ cân tại A có AE = AI

Kết hợp tính chất đường phân giác DI của tam giác $\Delta ADH$ suy ra $\frac{{IH}}{{IA}} = \frac{{DH}}{{DA}}$ nên $\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{DH}}{{DA}}$

Chứng minh $\frac{{DH}}{{AD}} = \frac{{AD}}{{BD}}$ suy ra $\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{AD}}{{BD}}$

Kết hợp tính chất đường phân giác DE của tam giác $\Delta ADB$ suy ra $\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AD}}{{BD}}$

Suy ra $\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{AE}}{{EB}}$, do đó $A{E^2} = IH.EB$.

a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên $\widehat {BAD} = 90^\circ$.

Vì $AH \bot BD$ tại H nên ta có: $\widehat {BAD} = \widehat {AHB} = 90^\circ$.

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta HBA$ có:

$\widehat {BAD} = \widehat {AHB} = 90^\circ$ (cmt)

$\widehat {ABD}$ chung

nên $\Delta ABD\backsim \Delta HBA$ (g.g) (đpcm)

b) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta HAD$ có:

$\widehat {BAD} = \widehat {AHD} = 90^\circ$

$\widehat {BDA}$ chung

nên $\Delta ABD\backsim \Delta HAD\left( g.g \right)$

suy ra $\frac{{AD}}{{DH}} = \frac{{BD}}{{AD}}$ hay $A{D^2} = BD.DH$

Mà AD = BC (do ABCD là hình chữ nhật)

Do đó $B{C^2} = BD.DH$ (đpcm)

c) Chứng minh $\Delta AIE$ cân tại A

Vì DE là đường phân giác của tam giác ABD nên $\widehat {ADE} = \widehat {EDB}$

Vì $\Delta ABD\backsim \Delta HAD\left( cmt \right)$ nên $\widehat {DBA} = \widehat {HAD}$ (hai góc tương ứng)

suy ra $\widehat {DBA} + \widehat {EDB} = \widehat {HAD} + \widehat {EDA}$ (1)

Xét $\Delta AID$ có $\widehat {AIE} = \widehat {IAD} + \widehat {IDA} = \widehat {HAD} + \widehat {EDA}$ (tính chất góc ngoài) (2)

Xét $\Delta DEB$ có $\widehat {AEI} = \widehat {EBD} + \widehat {BDE}$ (tính chất góc ngoài) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat {AIE} = \widehat {AEI}$.

Do đó $\Delta AIE$ cân tại A (đpcm)

Chứng minh $A{E^2} = IH.EB$

$\Delta AIE$ cân tại A suy ra AE = AI

Xét $\Delta ADH$ có DI là đường phân giác nên $\frac{{IH}}{{IA}} = \frac{{DH}}{{DA}}$, suy ra $\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{DH}}{{DA}}$ (4)

Vì $\Delta ABD\backsim \Delta HAD\left( cmt \right)$ nên $\frac{{DH}}{{AD}} = \frac{{AD}}{{BD}}$ (5)

Từ (4) và (5) suy ra $\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{AD}}{{BD}}$ (6)

Xét $\Delta ADB$ có DE là đường phân giác nên $\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AD}}{{BD}}$ (7)

Từ (6) và (7) suy ra $\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{AE}}{{EB}}$, do đó $A{E^2} = IH.EB$ (đpcm)

Phân tích mẫu thức của cách phân thức ở vế trái thành nhân tử.

Từ đó đưa về dạng $\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}$.

Ta có: $\frac{1}{{{x^2} + 9x + 20}} + \frac{1}{{{x^2} + 11x + 30}} + \frac{1}{{{x^2} + 13x + 42}} = \frac{1}{{18}}$

Phân tích thành nhân tử:

* ${x^2} + 9x + 20$ $= {x^2} + 4x + 5x + 20$ $= \left( {{x^2} + 4x} \right) + \left( {5x + 20} \right)$ $= x\left( {x + 4} \right) + 5\left( {x + 4} \right)$ $= \left( {x + 4} \right)\left( {x + 5} \right)$

* ${x^2} + 11x + 30$ $= {x^2} + 5x + 6x + 30$ $= \left( {{x^2} + 5x} \right) + \left( {6x + 30} \right)$ $= x\left( {x + 5} \right) + 6\left( {x + 5} \right)$ $= \left( {x + 5} \right)\left( {x + 6} \right)$

* ${x^2} + 13x + 42$ $= {x^2} + 6x + 7x + 42$ $= \left( {{x^2} + 6x} \right) + \left( {7x + 42} \right)$ $= x\left( {x + 6} \right) + 7\left( {x + 6} \right)$ $= \left( {x + 6} \right)\left( {x + 7} \right)$

suy ra phương trình trở thành $\frac{1}{{(x + 4)(x + 5)}} + \frac{1}{{(x + 5)(x + 6)}} + \frac{1}{{(x + 6)(x + 7)}} = \frac{1}{{18}}$

Điều kiện xác định: $x \ne 4;{\mkern 1mu} x \ne 5;{\mkern 1mu} x \ne 6;{\mkern 1mu} x \ne 7$

Ta có: $\frac{1}{{(x + 4)(x + 5)}} + \frac{1}{{(x + 5)(x + 6)}} + \frac{1}{{(x + 6)(x + 7)}} = \frac{1}{{18}}$

$\begin{array}{l}\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+6}+\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\\ \frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\\ \frac{x+7-\left(x+4\right)}{\left(x+4\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\\ \frac{3}{(x+4)(x+7)}=\frac{1}{18}\end{array}$$\begin{array}{l}\frac{1}{{x + 4}} - \frac{1}{{x + 5}} + \frac{1}{{x + 5}} - \frac{1}{{x + 6}} + \frac{1}{{x + 6}} - \frac{1}{{x + 7}} = \frac{1}{{18}}\\\frac{1}{{x + 4}} - \frac{1}{{x + 7}} = \frac{1}{{18}}\\\frac{{x + 7 - \left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 7} \right)}} = \frac{1}{{18}}\\\frac{3}{{(x + 4)(x + 7)}} = \frac{1}{{18}}\end{array}$

suy ra $(x + 4)(x + 7) = 54$

${x^2} + 7x + 4x + 28 = 54$

${x^2} + 11x - 26 = 0$

${x^2} + 13x - 2x - 26 = 0$

$x\left( {x + 13} \right) - 2\left( {x + 13} \right) = 0$

$\left( {x + 13} \right)\left( {x - 2} \right) = 0$

Do đó $x + 13 = 0$ hoặc $x - 2 = 0$

           $x = - 13$ (TM)   $x = 2$ (TM)

Vậy nghiệm của phương trình là $x = - 13;x = 2$.