Đề thi giữa học kì 2 Toán 8 - Đề số 10

Phân thức đại số là biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$, trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức 0.

Ta có:

$2{y^2} - 3 = \frac{{2{y^2} - 3}}{1}$, $x + 1 = \frac{{x + 1}}{1}$ nên $2{y^2} - 3,x + 1$ là phân thức đại số. A, B đúng.

$\frac{{5 - x}}{{x + 1}}$ (với $x \ne  - 1$) là phân thức đại số vì $5 - x,x + 1$ là đa thức và $x \ne  - 1 \Rightarrow x - 1 \ne 0$. C đúng.

$\frac{{x - 3}}{0}$ không phải phân thức đại số vì mẫu thức phải là một đa thức khác 0. D sai.

Để phân thức xác định thì mẫu thức khác 0.

Phân thức $\frac{{x + 2}}{{3 - x}}$ xác định khi $3 - x \ne 0$ hay $x \ne 3$.

Thực hiện rút gọn phân thức theo 2 bước:

+ Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần).

+ Bước 2: Tìm nhân tử chung của tử và mẫu rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

Ta có: $\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{{x - y}}{{x + y}}$.

Đưa hai phân thức về cùng mẫu để cộng hai phân thức.

Ta có: $\frac{{x - 1}}{{x - y}} + \frac{{1 - y}}{{y - x}}$ $= \frac{{x - 1}}{{x - y}} + \frac{{y - 1}}{{x - y}}$ $= \frac{{x - 1 + y - 1}}{{x - y}}$ $= \frac{{x + y - 2}}{{x - y}}$.

Sử dụng quy tắc chia hai phân thức.

Ta có: $\frac{{5x + 2}}{{3x{y^2}}}:\frac{{10x + 4}}{{{x^2}y}}$ $= \frac{{5x + 2}}{{3x{y^2}}}.\frac{{{x^2}y}}{{10x + 4}}$ $= \frac{{\left( {5x + 2} \right).{x^2}y}}{{3x{y^2}.\left( {10x + 4} \right)}}$ $= \frac{{\left( {5x + 2} \right){x^2}y}}{{3x{y^2}.2\left( {5x + 2} \right)}}$ $= \frac{x}{{6y}}$.

Dựa vào các trường hợp đồng dạng của hai tam giác.

Xét tam giác ABC và tam giác NPM có:

$\widehat A = \widehat N\left( { = {{60}^0}} \right)$

$\frac{{AB}}{{NP}} = \frac{{AC}}{{NM}}\left( {\frac{4}{2} = \frac{6}{3} = 2} \right)$

$\Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta NPM\left( c.g.c \right)$.

Các góc tương ứng bằng nhau là: $\widehat A = \widehat N;\widehat B = \widehat P;\widehat C = \widehat M$.

$\Rightarrow$ Cách viết đúng là: $\Delta BAC\backsim \Delta PNM$.

Chứng minh, tính tỉ số của cặp cạnh tương ứng trong hai tam giác.

Xét $\Delta AIB$ và $\Delta CID$ có:

$\widehat {BAI} = \widehat {ICD}$ (hai góc so le trong)

$\widehat {AIB} = \widehat {CID}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta AIB\backsim \Delta CID\left( g.g \right)$

$\Rightarrow$ Tỉ số k của $\Delta AIB$ và $\Delta CID$ là: $k = \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{16}}{{40}} = \frac{2}{5}$.

Áp dụng định lí Pythagore để tính chiều cao của thang.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông, ta có chiều cao của thang là:

$\sqrt {{4^2} - {1^2}}  = \sqrt {15}$ (m)

a) Tìm điều kiện để các phân thức xác định. Sử dụng các quy tắc tính với phân thức đại số để rút gọn A.

b) Tìm x thỏa mãn ${x^2} + 3x = 0$. Thay x vừa tìm được để tính giá trị của A.

c) Thay $A = \frac{1}{2}$ để tìm x.

d) Để A nguyên dương thì tử thức phải chia hết cho mẫu thức, tử thức và mẫu thức phải cùng dấu.

a) ĐKXĐ: $\{\begin{array}{l}x-2\mathrm{\ne }0\\ 4-x^2\mathrm{\ne }0\\ 2+x\mathrm{\ne }0\\ x\mathrm{\ne }0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\4 - {x^2} \ne 0\\2 + x \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.$ suy ra $\{\begin{array}{l}x\mathrm{\ne }2\\ x\mathrm{\ne }-2\\ x\mathrm{\ne }0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne - 2\\x \ne 0\end{array} \right.$

Ta có: $A = \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \frac{1}{{2 + x}}} \right).\left( {\frac{2}{x} - 1} \right)$

$\begin{array}{l}=\left(\frac{1}{x-2}+\frac{2x}{x^2-4}+\frac{1}{x+2}\right)\mathrm{.}\left(\frac{2-x}{x}\right)\\ =\left(\frac{x+2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{2x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\right)\mathrm{.}\left(\frac{2-x}{x}\right)\\ =\frac{x+2+2x+x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\mathrm{.}\frac{2-x}{x}\\ =\frac{4x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\mathrm{.}\frac{2-x}{x}\\ =\frac{-4}{x+2}\end{array}$$\begin{array}{l} = \left( {\frac{1}{{x - 2}} + \frac{{2x}}{{{x^2} - 4}} + \frac{1}{{x + 2}}} \right).\left( {\frac{{2 - x}}{x}} \right)\\ = \left( {\frac{{x + 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right).\left( {\frac{{2 - x}}{x}} \right)\\ = \frac{{x + 2 + 2x + x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.\frac{{2 - x}}{x}\\ = \frac{{4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.\frac{{2 - x}}{x}\\ = \frac{{ - 4}}{{x + 2}}\end{array}$

Vậy $A = \frac{{ - 4}}{{x + 2}}$.

b) Ta có: ${x^2} + 3x = 0$

$\begin{array}{l}x\left( {x + 3} \right) = 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\,\left( L \right)\\x =  - 3\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Thay $x =  - 3$ vào A, ta được:

$A = \frac{{ - 4}}{{ - 3 + 2}} = \frac{{ - 4}}{{ - 1}} = 4$

Vậy $A = 4$ tại x thỏa mãn: ${x^2} + 3x = 0$.

c) Để $A = \frac{1}{2}$ thì $\frac{{ - 4}}{{x + 2}} = \frac{1}{2}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow -4.2=x+2\\ x+2=-8\\ x=-10\end{array}$$\begin{array}{l} \Rightarrow  - 4.2 = x + 2\\x + 2 =  - 8\\x =  - 10\end{array}$

Vậy $x =  - 10$ thì $A = \frac{1}{2}$.

d) Để A nguyên dương thì $\frac{{ - 4}}{{x + 2}}$ nguyên dương suy ra $- 4 \vdots \left( {x + 2} \right)$ và $x + 2 < 0$ hay $\left( {x + 2} \right) \in$ Ước nguyên âm của -4.

Mà ước âm của -4 là: $\left\{ { - 1; - 2; - 4} \right\}$

Ta có bảng giá trị sau:

Vậy các giá trị của x để A nguyên dương là: $x \in \left\{ { - 6; - 4; - 3} \right\}$.

a) Viết biểu thức biểu thị thời gian hoàn thành theo kế hoạch, biểu thức biểu thị thời gian hoàn thành thực tế:

Thời gian = tổng số sản phẩm : số sản phẩm làm được trong một ngày.

Biểu thức biểu thị thời gian tổ hoàn thành công việc trước kế hoạch = thời gian theo kế hoạch – thời gian thực tế.

b) Thay x = 40 vào biểu thức biểu thị thời gian tổ hoàn thành công việc trước kế hoạch.

a) Biểu thức biểu thị theo x thời gian tổ sản xuất hoàn thành công việc theo kế hoạch là:

$\frac{{600}}{x}$ (ngày)

Biểu thức biểu thị theo x thời gian tổ sản xuất hoàn thành công việc thực tế là:

$\frac{{600}}{{x + 10}}$ (ngày)

Vậy biểu thức biểu thị theo x thời gian tổ sản xuất hoàn thành công việc trước kế hoạch là:

$\frac{{600}}{x} - \frac{{600}}{{x + 10}}$ (ngày)

b) Vì mỗi ngày họ dự định làm 40 sản phẩm nên $x = 40$ (sản phẩm).

Thay $x = 40$ vào biểu thức biểu thị theo x thời gian tổ hoàn thành công việc trước kế hoạch, ta được:

$\frac{{600}}{{40}} - \frac{{600}}{{40 + 10}} = 15 - 12 = 3$ (ngày).

Vậy tổ hoàn thành công việc trước kế hoạch 3 ngày.

Áp dụng định lí của tam giác bằng nhau, chứng minh $\Delta ABC\backsim \Delta AB'C'$.

Từ đó suy ra tỉ số bằng nhau giữa các cặp cạnh tương ứng.

Ta có: $\widehat B = \widehat {B'} = {90^0}$ suy ra BC // B’C’.

Áp dụng định lí hai tam giác đồng dạng, ta có $\Delta ABC\backsim \Delta AB'C'$.

Do đó $\frac{{AB}}{{AB'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}}$

$\frac{x}{{x + 20}} = \frac{{30}}{{40}} = \frac{3}{4}$

Suy ra $4x = 3\left( {x + 20} \right)$

$4x = 3x + 60\\x = 60\left( m \right)$

Vậy độ rộng x của khúc sông là 60m.

a) Sử dụng định lí Pythagore đảo để chứng minh $\Delta ABC$ vuông.

Chứng minh $\Delta ABC\backsim \Delta MDC\left( g.g \right)$

b) Vì M là trung điểm của BC nên tính được MC.

Từ phần a có $\Delta ABC\backsim \Delta MDC$ suy ra tỉ số của các cặp cạnh tương ứng trong hai tam giác để tính MD và CD.

c) Chứng minh $\Delta BME\backsim \Delta BAC\left( g.g \right)$, tính được BE.

Chứng minh $\Delta BME = \Delta CME\left( {c.g.c} \right)$ suy ra CE.

a) Xét $\Delta ABC$ có: $A{B^2} + A{C^2} = {18^2} + {24^2} = 900 = {30^2} = B{C^2}$

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại A (định lí Pythagore đảo)

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta MDC$, ta có:

$\widehat A = \widehat M\left( { = {{90}^0}} \right)$

$\widehat C$ chung

$\Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta MDC\left( g.g \right)$ (đpcm)

b) Ta có: M là trung điểm của BC nên $BM = CM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.30 = 15\left( {cm} \right)$

Vì $\Delta ABC\backsim \Delta MDC$ nên ta có:

$\frac{{AB}}{{MD}} = \frac{{BC}}{{CD}} = \frac{{AC}}{{MC}}$

$\frac{{18}}{{MD}} = \frac{{30}}{{CD}} = \frac{{24}}{{15}} = \frac{8}{5}$

$\Rightarrow MD = 18:\frac{8}{5} = 11,25$

$CD = 30:\frac{8}{5} = 18,75$

c) Xét $\Delta BME$ và $\Delta BAC$ có:

$\widehat M = \widehat A\left( { = {{90}^o}} \right)$

$\widehat B$ chung

$\Rightarrow \Delta BME\backsim \Delta BAC\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \frac{{BE}}{{BC}} = \frac{{BM}}{{AB}}$

$\frac{{BE}}{{30}} = \frac{{15}}{{18}} = \frac{5}{6} \Rightarrow BE = \frac{5}{6}.30 = 25\left( {cm} \right)$

Xét $\Delta BME$ và $\Delta CME$ có:

BM = CM (M là trung điểm của BC)

$\widehat {BME} = \widehat {CME}\left( { = {{90}^0}} \right)$

ME chung

$\Rightarrow \Delta BME = \Delta CME\left( {c.g.c} \right)$

$\Rightarrow BE = CE = 25cm$.