Đề thi giữa học kì 2 Toán 8 - Đề số 7

Sử dụng tính chất của phân thức.

Ta có: $\frac{x}{{x - 1}} = \frac{{2x}}{{2\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{2x}}{{2x - 2}}$ nên phân thức $\frac{{2x}}{{2x - 2}} = \frac{x}{{x - 1}}$.

Phân thức nghịch đạo của phân thức $\frac{A}{B}$ là $\frac{B}{A}$.

Phân thức nghịch đảo của phân thức $\frac{{x - y}}{{x + y}}$ là $\frac{{x + y}}{{x - y}}$.

Kiểm tra điều kiện của phân thức, nếu thỏa mãn thì thay x = -2 vào phân thức để tính giá trị.

Để phân thức $\frac{{{x^2} + 4x + 4}}{{{x^2} + 2x}}$ xác định thì ${x^2} + 2x \ne 0 \Rightarrow \left[$$\begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne  - 2\end{array}$ \right.

Vì $x =  - 2$ không thỏa mãn điều kiện của phân thức nên tại $x =  - 2$ phân thức không xác định.

Sử dụng quy tắc trừ hai phân thức cùng mẫu.

Ta có: $\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 4}}{{x - 1}} = \frac{{x + 1 - \left( {x - 4} \right)}}{{x - 1}} = \frac{{x + 1 - x + 4}}{{x - 1}} = \frac{5}{{x - 1}}$.

Dựa vào định lí hai tam giác đồng dạng.

Ta có: AB // DE nên $\Delta ABC\backsim \Delta DEC$ (định lí hai tam giác đồng dạng)

$\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{AC}{CD}=\frac{AB}{DE}\\ \frac{x-2}{20}=\frac{6}{10}\\ \Rightarrow x-2=20.\frac{6}{10}=12\\ \Rightarrow x=12+2=14\end{array}$$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{AC}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{DE}}\\\frac{{x - 2}}{{20}} = \frac{6}{{10}}\\ \Rightarrow x - 2 = 20.\frac{6}{{10}} = 12\\ \Rightarrow x = 12 + 2 = 14\end{array}$.

Áp dụng định lí Pythagore để tính AC.

Áp dụng tính chất đường trung bình trong tam giác để tính MN.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC, ta có:

$\begin{array}{l}A{C}^2=B{C}^2-A{B}^2=5^2-3^2=16=4^2\\ \Rightarrow AC=4\left(cm\right)\end{array}$$\begin{array}{l}A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {5^2} - {3^2} = 16 = {4^2}\\ \Rightarrow AC = 4\left( {cm} \right)\end{array}$

Vì M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC

$\Rightarrow MN = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}.4 = 2\left( {cm} \right)$

Sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng để tìm được tỉ số các cạnh của con đường. Tính tổng 3 cạnh để có chiều dài của con đường đó.

Theo đề bài ta có: $\Delta ABC\backsim \Delta 'B'C'$. Do đó:

$\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{300}}{{450}} = \frac{2}{3}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{AB + AC + BC}}{{A'B' + A'C' + B'C'}}\\ = \frac{{300 + 350 + 550}}{{A'B' + A'C' + B'C'}} = \frac{{1200}}{{A'B' + A'C' + B'C'}} = \frac{2}{3}\\ \Rightarrow A'B' + A'C' + B'C' = 1200:\frac{2}{3} = 1800\end{array}$

Vậy chiều dài của con đường là 1800m.

Sử dụng kiến thức về tỉ số hai đường trung tuyến trong hai tam giác đồng dạng.

Vì H, K lần lượt là trung điểm của AC, MP nên BH và NK là hai đường trung tuyến của $\Delta ABC$ và $\Delta MNP$.

Do B và N là hai đỉnh tương ứng trong hai tam giác đồng dạng nên BH và NK cũng là hai đường trung tuyến tương ứng $\Rightarrow \frac{{BH}}{{NK}} = 3$.

Sử dụng các quy tắc tính với phân thức để thực hiện phép tính.

a) $\frac{1}{{x + 1}} + \frac{2}{{1 - x}} + \frac{{5x - 1}}{{{x^2} - 1}}$ (ĐK: $x \ne \pm 1$)

$= \frac{1}{{x + 1}} - \frac{2}{{x - 1}} + \frac{{5x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}$

$\begin{array}{l}=\frac{x-1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}-\frac{2\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}+\frac{5x-1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\\ =\frac{x-1-2\left(x+1\right)+5x-1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\\ =\frac{x-1-2x-2+5x-1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\\ =\frac{4x-4}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\\ =\frac{4\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\\ =\frac{4}{x+1}\end{array}$$\begin{array}{l} = \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} + \frac{{5x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = \frac{{x - 1 - 2\left( {x + 1} \right) + 5x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = \frac{{x - 1 - 2x - 2 + 5x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = \frac{{4x - 4}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = \frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = \frac{4}{{x + 1}}\end{array}$

b) $\frac{{2x + 6}}{{{x^3} - 8}}:\frac{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}}{{2x - 4}}$ (ĐK: $x \ne 2$)

$\begin{array}{l}=\frac{2\left(x+3\right)}{\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)}:\frac{{\left(x+3\right)}^3}{2\left(x-2\right)}\\ =\frac{2\left(x+3\right)}{\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)}\mathrm{.}\frac{2\left(x-2\right)}{{\left(x+3\right)}^3}\\ =\frac{4}{\left(x^2+2x+4\right){\left(x+3\right)}^2}\end{array}$$\begin{array}{l} = \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}:\frac{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}}{{2\left( {x - 2} \right)}}\\ = \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}.\frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}}\\ = \frac{4}{{\left( {{x^2} + 2x + 4} \right){{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\end{array}$

a) Kiểm tra xem x = -3 có thỏa mãn điều kiện không. Nếu có thì thay x = -3 vào để tính Q.

b) Sử dụng các quy tắc tính với phân thức để rút gọn P.

c) Rút gọn $P:Q$. Thay $P:Q = \frac{5}{2}$ để tìm x.

d) Để P nguyên thì tử thức phải chia hết cho mẫu thức.

a) Ta có x = -3 thỏa mãn điều kiện của biểu thức Q nên thay x = -3 vào Q, ta được:

$Q = \frac{{ - 3 + 1}}{{ - 3}} = \frac{2}{3}$.

Vậy $Q = \frac{2}{3}$ khi $x =  - 3$.

b) Ta có: $P = \frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} + 2x}} + \frac{1}{{x + 2}}$

$\begin{array}{l}P=\frac{x^2-2}{x\left(x+2\right)}+\frac{x}{x\left(x+2\right)}\\ P=\frac{x^2-2+x}{x\left(x+2\right)}\\ P=\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{x\left(x+2\right)}\\ P=\frac{x-1}{x}\end{array}$$\begin{array}{l}P = \frac{{{x^2} - 2}}{{x\left( {x + 2} \right)}} + \frac{x}{{x\left( {x + 2} \right)}}\\P = \frac{{{x^2} - 2 + x}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\\P = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\\P = \frac{{x - 1}}{x}\end{array}$

Vậy $P = \frac{{x - 1}}{x}$.

c) Ta có: $P:Q = \frac{{x - 1}}{x}:\frac{{x + 1}}{x} = \frac{{x - 1}}{x}.\frac{x}{{x + 1}} = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}$.

$\begin{array}{l}\frac{x-1}{x+1}=\frac{5}{2}\\ \Rightarrow 2\left(x-1\right)=5\left(x+1\right)\\ 2x-2=5x+5\\ 3x=-7\\ x=-\frac{7}{3}(TM)\end{array}$$\begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{5}{2}\\ \Rightarrow 2\left( {x - 1} \right) = 5\left( {x + 1} \right)\\2x - 2 = 5x + 5\\3x =  - 7\\x =  - \frac{7}{3}(TM)\end{array}$

Vậy $x =  - \frac{7}{3}$ khi $P:Q = \frac{5}{2}$.

d) Ta có: $P = \frac{{x - 1}}{x} = 1 - \frac{1}{x}$. Để P nguyên thì $\frac{1}{x}$ nguyên $\Rightarrow 1 \vdots x$ hay $x \in U\left( 1 \right) = \left\{ { - 1;1} \right\}$.

Mà $x \ne  - 1$ nên chỉ có $x = 1$ thỏa mãn.

Vậy $x = 1$ thì P nguyên.

Áp dụng Định lí hai tam giác đồng dạng để chứng minh $\Delta ABC\backsim \Delta DEC$.

Từ đó suy ra tỉ số các cặp cạnh tương ứng để tính chiều cao của tháp.

Vì tháp và cây cột đều vuông góc với mặt đất nên ta có $\widehat B = \widehat E = {90^0}$

$\Rightarrow$ AB // DE

$\Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta DEC$ (Định lí hai tam giác đồng dạng)

$\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{CE}\\ \frac{AB}{2}=\frac{63}{3}=21\\ \Rightarrow AB=21.2=42\left(m\right)\end{array}$$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{CE}}\\\frac{{AB}}{2} = \frac{{63}}{3} = 21\\ \Rightarrow AB = 21.2 = 42\left( m \right)\end{array}$

Vậy chiều cao của tháp là 42m.

a) Chứng minh tứ giác ABKC có hai cạnh đối song song nên là hình thang và có một góc vuông nên là hình thang vuông.

b) Chứng minh $\Delta ABK\backsim \Delta CHA\left( g.g \right)$ suy ra tỉ số giữa các cạnh trong hai tam giác để chứng minh $AB.AC=AK.CH$.

c) Chứng minh $\Delta AHB\backsim \Delta CHA\left( g.g \right)$ để chứng minh $A{{H}^{2}}=HB.HC$.

d) Áp dụng $A{{H}^{2}}=HB.HC$ để tính AH, định lí Pythagore để tính AB.

a) Ta có: $AC \bot AB\left( {gt} \right),BK \bot AB\left( {gt} \right)$ suy ra $AC//BK$ nên tứ giác ABKC là hình thang.

Mà $\widehat A = \widehat B = {90^0}$ nên ABKC là hình thang vuông.

b) Vì AC // BK nên $\widehat {CAH} = \widehat {AKB}$ (hai góc so le trong)

Xét $\Delta ABK$ và $\Delta CHA$ có:

$\widehat B = \widehat H\left( { = {{90}^0}} \right)$

$\widehat {CAH} = \widehat {AKB}$ (cmt)

suy ra $\Delta ABK\backsim \Delta CHA\left( g.g \right)$ (đpcm)

Do đó $\frac{{AB}}{{AK}} = \frac{{CH}}{{CA}}$

hay $AB.CA = AK.CH$ (đpcm)

c) Ta có:

$\left.$$\begin{array}{l}\widehat {HAC} + \widehat {ACH} = {90^0}\\\widehat {ABC} + \widehat {ACH} = {90^0}\end{array}$ \right\} nên $\widehat {HAC} = \widehat {ABC}$

Xét $\Delta AHB$ và $\Delta CHA$ có:

$\widehat {AHB} = \widehat {CHA}\left( { = {{90}^0}} \right)$

$\widehat {HAC} = \widehat {ABC}$

suy ra $\Delta AHB\backsim \Delta CHA\left( g.g \right)$

Do đó $\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{CH}}{{AH}}$

hay $A{H^2} = BH.CH$ (đpcm)

d) Ta có: $A{H^2} = BH.CH = 9.16 = 144 = {12^2}$

suy ra $AH = 12\left( {cm} \right)$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông AHB, ta có:

$\begin{array}{l}A{B}^2=A{H}^2+H{B}^2={12}^2+9^2=225\\ AB=15\left(cm\right)\end{array}$$\begin{array}{l}A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} = {12^2} + {9^2} = 225\\ AB = 15\left( {cm} \right)\end{array}$

Vậy AH = 12cm, AB = 15cm.

Nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{1}{{1 + a}}$ với x; $\frac{1}{{1 + b}}$ với y; $\frac{1}{{1 + c}}$ với z sau đó thay $x = by + cz$; $y = ax + cz$; $z = ax + by$ để biến đổi vế trái thành vế phải.

Ta có: $VT = \frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}}$

$= \frac{x}{{x\left( {1 + a} \right)}} + \frac{y}{{y\left( {1 + b} \right)}} + \frac{z}{{z\left( {1 + c} \right)}}$

$\begin{array}{l}=\frac{x}{x+ax}+\frac{y}{y+by}+\frac{z}{z+cz}\\ =\frac{by+cz}{by+cz+ax}+\frac{ax+cz}{ax+cz+by}+\frac{ax+by}{ax+by+cz}\\ =\frac{by+cz+ax+cz+ax+by}{ax+by+cz}\\ =\frac{2ax+2by+2cz}{ax+by+cz}\\ =\frac{2\left(ax+by+cz\right)}{ax+by+cz}\\ =2=VP\end{array}$$\begin{array}{l} = \frac{x}{{x + ax}} + \frac{y}{{y + by}} + \frac{z}{{z + cz}}\\ = \frac{{by + cz}}{{by + cz + ax}} + \frac{{ax + cz}}{{ax + cz + by}} + \frac{{ax + by}}{{ax + by + cz}}\\ = \frac{{by + cz + ax + cz + ax + by}}{{ax + by + cz}}\\ = \frac{{2ax + 2by + 2cz}}{{ax + by + cz}}\\ = \frac{{2\left( {ax + by + cz} \right)}}{{ax + by + cz}}\\ = 2 = VP\end{array}$

Vậy $\frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}} = 2$ (đpcm).