Đề thi giữa học kì 2 Toán 8 - Đề số 5

Sử dụng khái niệm về phân thức đại số.

Nhớ lại định nghĩa về đa thức, đơn thức.

$\frac{{x + y}}{{\sqrt {7z} }}$ không là phân thức vì mẫu số không là đa thức

$\frac{{{x^3} - 3{x^2} + 2}}{{xz - y}}$ là phân thức vì cả tử và mẫu số là đa thức với mẫu thức khác 0.

$\frac{{5{x^2}}}{{\frac{1}{z}}}$ không là phân thức vì mẫu số không là đa thức.

$\frac{{{x^2} + 2\sqrt x  - 9}}{{0.yz}}$ không là đa thức vì mẫu số bằng 0.

Đáp án B.

Dựa vào khái niệm phân thức, hai phân thức bằng nhau và tính chất cơ bản của phân thức.

Phân thức đại số là biểu thức có dạng $\frac{P}{Q}$ với $Q$ và $P$ là những đa thức, $Q \ne 0$

Nếu hai phân thức bằng nhau $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$ thì $A \cdot D = B \cdot C$

Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

Đáp án B.

Hai tam giác đồng dạng thì hai tam giác có tất cả các cặp góc tương ứng bằng nhau và các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác bằng ${180^0}$

Vì $\Delta ABC\backsim \Delta {A}'{B}'{C}'$ nên

$\left\{ \begin{array}{lllllllllllllllllllllllllllllllllll}  \widehat{A}=\widehat{A'}={{60}^{0}}  \\  \widehat{B}=\widehat{B'}={{60}^{0}}  \\  \widehat{C}=\widehat{C'}  \\ \end{array} \right.$

Suy ra $\widehat C = \widehat {C'} = {180^0} - \widehat {A'} - \widehat {B'} = {180^0} - {60^0} - {50^0} = {70^0}$

Đáp án C.

TH đồng dạng g-g: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Suy ra các cạnh tương ứng tỉ lệ.

Vì $AB\parallel CD$ nên: $\widehat {ABD} = \widehat {BDC}$ (cặp góc so le trong)

Xét $\Delta ADB$ và $\Delta BCD$ ta có:

$\begin{array}{l}\widehat{ABD}=\widehat{BDC}(cmt)\\ \widehat{ADB}=\widehat{BCD}(\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{t})\end{array}$$\begin{array}{l}\widehat {ABD} = \widehat {BDC}{\rm{(}}cmt{\rm{)}}\\\widehat {ADB} = \widehat {BCD}{\rm{\;(theo\;gt)}}\end{array}$

Suy ra $\Delta ADB\backsim \Delta BCD\left( g-g \right)$

Do đó $\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{DB}}{{CD}}$

$\begin{array}{l}\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{CD}\\ CD=\frac{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}{2}=\frac{5}{2}=2,5\mathrm{c}\mathrm{m}\end{array}$$\begin{array}{l}\frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{{CD}}\\CD = \frac{{\sqrt 5  \cdot \sqrt 5 }}{2} = \frac{5}{2} = 2,5{\rm{\;cm}}\end{array}$

Đáp án D.

Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $ax + b = 0\left( {a \ne 0} \right)$

$7{\rm{x}} - 9 = 0$ là phương trình bậc nhất một ẩn

Đáp án B.

Từ cặp tam giác đồng dạng tìm ra tỉ lệ thức phù hợp, từ đó tìm ra độ dài của $YZ$.

Theo bài ta có: $\Delta ABC\backsim \Delta XYZ$ suy ra

$\begin{array}{l}\frac{AB}{XY}=\frac{BC}{YZ}\\ \frac{3}{5}=\frac{4}{YZ}\end{array}$$\begin{array}{l}\frac{{AB}}{{XY}} = \frac{{BC}}{{YZ}}\\\frac{3}{5} = \frac{4}{{YZ}}\end{array}$

Suy ra $YZ = \frac{{5.4}}{3} = \frac{{20}}{3} = 6\frac{2}{3}$

Đáp án D.

Bước 1. Lập phương trình.

• Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
• Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và theo các đại lượng đã biết.
• Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 3. Trả lời.

Đổi: 4 giờ 45 phút $= \frac{{19}}{4}$ giờ; 30 phút $= \frac{1}{2}$ giờ.

Gọi quãng đường ${\rm{AB}}$ là ${\rm{x}}\left( {{\rm{km}}} \right)$. Điều kiện: ${\rm{x}} > 0$.

Thời gian ô tô đi từ $A$ đến $B$ là: $\frac{x}{{45}}$ (giờ).

Thời gian ô tô đi từ ${\rm{B}}$ về ${\rm{A}}$ là: $\frac{{\rm{x}}}{{40}}$ (giờ).

Vi tổng thời gian đi, thời gian về và thời gian nghỉ là 4 giờ 45 phút nên ta có ${\rm{PT}}$:

$\begin{array}{l}\frac{x}{45}+\frac{x}{40}+\frac{1}{2}=\frac{19}{4}\\ \frac{8x}{360}+\frac{9x}{360}=\frac{19}{4}-\frac{1}{2}\\ \frac{17x}{360}=\frac{17}{4}\\ x=90\left(TM\right)\end{array}$$\begin{array}{l}\frac{x}{{45}} + \frac{x}{{40}} + \frac{1}{2} = \frac{{19}}{4}\\\frac{{8x}}{{360}} + \frac{{9x}}{{360}} = \frac{{19}}{4} - \frac{1}{2}\\\frac{{17x}}{{360}} = \frac{{17}}{4}\\x = 90\left( {TM} \right)\end{array}$

Vậy quãng đường ${\rm{AB}}$ dài $90{\rm{\;km}}$.

Đáp án B.

- Chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó (Quy tắc chuyển vế);

- Nhân cả hai vế với cùng một số khác 0 (Quy tắc nhân với một số);

- Chia hai vế cho cùng một số khác 0 (Quy tắc chia cho một số).

$\frac{1}{3}x + \frac{1}{2} = x + 2$

$\frac{1}{3}x - x = 2 - \frac{1}{2}$

$\frac{{ - 2}}{3}x = \frac{3}{2}$

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{{ - 3}}{2}$

$x = \frac{{ - 9}}{4}$

Đáp án B.

Muốn chia phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ khác 0 , ta nhân $\frac{A}{B}$ với phân thức nghịch đảo của $\frac{C}{D}$

$\frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$

Phân thức đối của phân thức $\frac{A}{B}$ kí hiệu là $- \frac{A}{B}$

$\frac{{3x + 15}}{{{x^2} - 4}}:\frac{{x + 5}}{{x - 2}} = \frac{{3x + 15}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{x - 2}}{{x + 5}} = \frac{{3\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \cdot \frac{{x - 2}}{{x + 5}} = \frac{3}{{x + 2}}$

Phân thức đối của $\frac{3}{{x + 2}}$ là $- \frac{3}{{x + 2}}$

Đáp án B.

Nếu $\Delta ABC\backsim \Delta {A}'{B}'{C}'$, ta có tỉ số các cạnh tương ứng $\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{C'A'}}{{CA}} = k$ gọi là tỉ số đồng dạng.

Vì $\Delta ABC\backsim \Delta DEC$ suy ra

$\begin{array}{l}\frac{2}{3}=\frac{DE}{15}\\ DE=\frac{2}{3}\cdot 15=10\mathrm{m}\end{array}$$\begin{array}{l}\frac{2}{3} = \frac{{DE}}{{15}}\\DE = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10{\rm{\;m}}\end{array}$

Vậy $DE = 10{\rm{\;m}}$

Đáp án A

- Chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó (Quy tắc chuyển vế);

- Nhân cả hai vế với cùng một số khác 0 (Quy tắc nhân với một số);

- Chia hai vế cho cùng một số khác 0 (Quy tắc chia cho một số).

a) $7x - 21 = 0$
$7x = 21$

$x = 3$

Vậy $x = 3$

b) $5x - x + 20 = 0$

$4x =  - 20$

$x =  - 5$

Vậy $x =  - 5$

c) $\frac{2}{3}x + 2 = \frac{1}{3}$

$\frac{2}{3}x = \frac{1}{3} - 2$

$\begin{array}{l}\frac{2}{3}x=\frac{-5}{3}\\ x=\frac{-5}{3}\cdot \frac{3}{2}\end{array}$$\begin{array}{l}\frac{2}{3}x = \frac{{ - 5}}{3}\\x = \frac{{ - 5}}{3} \cdot \frac{3}{2}\end{array}$

$x = \frac{{ - 5}}{2}$

Vậy $x = \frac{{ - 5}}{2}$

d) $\frac{3}{2}\left( {x - \frac{5}{4}} \right) - \frac{5}{8} = x$.

$\frac{3}{2}x - \frac{{15}}{8} - \frac{5}{8} = x$

$\frac{3}{2}x - x = \frac{5}{8} + \frac{{15}}{8}$

$\frac{1}{2}x = \frac{5}{2}$

$x = 5$

Vậy $x = 5$

Thu gọn biểu thức bằng cách thực hiện phép cộng các phân thức đại số: Muốn cộng hai hay nhiều phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu vừa tìm được.

Thay giá trị của biến vào biểu thức ta được giá trị của phân thức.

a) $P = \frac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} + 6x + 9}} + \frac{3}{{x - 3}} + \frac{6x}{{9 - {x^2}}}$

$= \frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{{{(x + 3)}^2}}} + \frac{3}{{x - 3}} + \frac{{ - 6x}}{{{x^2} - 9}}$

$= \frac{x}{{x + 3}} + \frac{3}{{x - 3}} + \frac{{ - 6x}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}$

$= \frac{{x\left( {x - 3} \right) + 3\left( {x + 3} \right) - 6x}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}$

$= \frac{{{x^2} - 3x + 3x + 9 - 6x}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}$

$= \frac{{{{(x - 3)}^2}}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}$

$= \frac{{x - 3}}{{x + 3}}$

b) Tại $x = - 2$ ta có $P = \frac{{ - 2 - 3}}{{ - 2 + 3}} = \frac{{ - 5}}{1} = - 5$

Bước 1. Lập phương trình.

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và theo các đại lượng đã biết.

- Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải phương trình.

Bước 3. Trả lời.

- Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không.

- Kết luận.

Gọi số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là ${\rm{x}}$ (sản phẩm). Điều kiện: ${\rm{x}} \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}},x > 50$.

Số sản phẩm thực tế sản xuất được là: $x + 13$ (sản phẩm).

Thời gian hoàn thành công việc theo kế hoạch là: $\frac{x}{{50}}$ (ngày).

Thời gian hoàn thành công việc thực tế là: $\frac{{x + 13}}{{57}}$ (ngày).

Vì thực tế tổ đã hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày nên ta có PT:

$\begin{array}{l}\frac{x}{50}-\frac{x+13}{57}=1\\ \frac{57x-50\left(x+13\right)}{50.57}=1\\ 57x-50x-650=50.57\\ 7x=2850+650\\ 7x=3500\\ x=500\left(TM\right)\end{array}$$\begin{array}{l}\frac{x}{{50}} - \frac{{x + 13}}{{57}} = 1\\\frac{{57x - 50\left( {x + 13} \right)}}{{50.57}} = 1\\57x - 50x - 650 = 50.57\\7x = 2850 + 650\\7x = 3500\\x = 500\left( {TM} \right)\end{array}$

Vậy theo kế hoạch tổ phải sản xuất 500 sản phẩm.

a) Áp dụng định lí Thales đảo chứng minh ${\rm{MN}}/$ /BC

Áp dụng định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

b) Chứng minh $\Delta APB = \Delta AMN\left( {c - g - c} \right)$. Suy ra đpcm.

a) Xét $\Delta {\rm{ABC}}$ có: $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\left( {\frac{4}{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}} \right)$

nên MN//BC (định lí Thales đảo)

Suy ra $\Delta AMN\backsim \Delta ABC$ (định lí) với tỉ số đồng dạng $\frac{2}{3}$

b) Xét $\Delta APB$ và $\Delta AMN$ có: $AP = AM\left( { = 4{\rm{\;cm}}} \right),\widehat A$ chung, $AB = AN\left( { = 6{\rm{\;cm}}} \right)$
Suy ra $\Delta APB = \Delta AMN\left( {c - g - c} \right)\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $\Delta APB\backsim \Delta ABC$

Biến đổi phân thức đại số.

Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

$A=\frac{yz}{\left( x-y \right)\left( x-z \right)}+\frac{zx}{\left( y-z \right)\left( y-x \right)}+\frac{xy}{\left( z-x \right)\left( z-y \right)}$

$=\frac{-yz\left( y-z \right)-zx\left( z-x \right)-xy\left( x-y \right)}{\left( x-y \right)\left( y-z \right)\left( z-x \right)}$

$=\frac{-{{y}^{2}}z+y{{z}^{2}}-{{z}^{2}}x+{{x}^{2}}z-{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}}{\left( x-y \right)\left( y-z \right)\left( z-x \right)}$

$=\frac{\left( -{{y}^{2}}z+x{{y}^{2}} \right)+\left( y{{z}^{2}}-{{x}^{2}}y \right)+\left( {{x}^{2}}z-{{z}^{2}}x \right)}{\left( x-y \right)\left( y-z \right)\left( z-x \right)}$

$=\frac{-{{y}^{2}}\left( z-x \right)+y\left( {{z}^{2}}-{{x}^{2}} \right)-zx\left( z-x \right)}{\left( x-y \right)\left( y-z \right)\left( z-x \right)}$

$=\frac{\left( z-x \right)\left( -{{y}^{2}}+yz+yx-zx \right)}{\left( x-y \right)\left( y-z \right)\left( z-x \right)}$

$=\frac{\left( z-x \right)\left[ -y\left( y-z \right)+x\left( y-z \right) \right]}{\left( x-y \right)\left( y-z \right)\left( z-x \right)}$

$=\frac{\left( z-x \right)\left( y-z \right)\left( x-y \right)}{\left( x-y \right)\left( y-z \right)\left( z-x \right)}=1$

Vậy A = 1