Đề thi giữa học kì 2 Toán 8 - Đề số 3

Sử dụng công thức bài toán chuyển động dòng nước sau đó thiết lập biểu thức theo yêu cầu.

Vận tốc ngược dòng của tàu đi từ Quảng Ninh đến Hải Phòng là: $x - 3\left( {{\rm{\;km}}/{\rm{h}}} \right)$

Thời gian tàu đi ngược dòng từ Quảng Ninh đến Hải Phòng là: $\frac{{50}}{{x - 3}}$ (giờ)

Đáp án A.

TH đồng dạng thứ hai (c-g-c): Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng.

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta EDF$ có: $\{\begin{array}{l}\widehat{ABC}=\widehat{EDF}={60}^0\\ \frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}=\frac{1}{2}\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\widehat {ABC} = \widehat {EDF} = {{60}^0}}\\{\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{DE}}{{EF}} = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.$ suy ra $\Delta ABC\backsim \Delta EDF$ (c.g.c)

Đáp án D.

Phương trình dạng ${\rm{ax}} + {\rm{b}} = 0$, với ${\rm{a}}$ và ${\rm{b}}$ là hai số đã cho và ${\rm{a}} \ne 0$, được gọi là phương trình bậc nhất một ân.

Các phương trình $3x + \frac{3}{5} = 0,\frac{2}{3}y - 7 = 0,7 = 2t$ có dạng nên là phương trình bậc nhất một ẩn.

Phương trình ${z^2} - 9 = 0$ có bậc hai nên không là phương trình bậc nhất một ẩn

Đáp án D.

Điều kiện xác định của phân thức là mẫu thức khác 0 .

Điều kiện xác định của phân thức $\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{{x^2} - 1}}$ là: ${x^2} - 1 \ne 0$ hay $x \ne 1,x \ne  - 1$

Đáp án C.

Nhận biết hai tam giác đồng dạng.

Hai tam giác bằng nhau có các cặp góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng bằng nhau nên chúng đồng dạng theo tỉ số 1

Hai tam giác đều có các góc đều bằng ${60^0}$ và các cạnh tương ứng tỉ lệ nên chúng đồng dạng.

Hai tam giác cân chưa chắc đồng dạng nên ${\rm{B}}$ sai.

Đáp án B.

Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Ta thấy:

$\frac{4}{{12}} = \frac{5}{{15}} = \frac{6}{{18}} = \frac{1}{3}$ nên $A$ đúng.

$\frac{3}{9} = \frac{4}{{12}} \ne \frac{6}{{16}}$ nên $B$ sai.

$\frac{2}{1} = \frac{2}{1} = \frac{2}{1}$ nên $C$ đúng.

$\frac{{14}}{7} = \frac{{15}}{{7,5}} = \frac{{16}}{8} = 2$ nên $D$ đúng

Đáp án B.

Muốn chia phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ khác 0 , ta nhân $\frac{A}{B}$ với phân thức nghịch đảo của $\frac{C}{D}$

$\frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$

$\frac{{a - 2b}}{{16}}:\frac{{2a - 4b}}{{12}} = \frac{{a - 2b}}{{16}} \cdot \frac{{12}}{{2a - 4b}} = \frac{{\left( {a - 2b} \right) \cdot 12}}{{16 \cdot \left( {2a - 4b} \right)}} = \frac{{\left( {a - 2b} \right) \cdot 12}}{{32 \cdot \left( {a - 2b} \right)}} = \frac{3}{8}$

Đáp án A.

TH đồng dạng g-g: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ có: $\widehat A = \widehat D\left( {{\rm{gt}}} \right);\widehat C = \widehat F\left( {{\rm{gt}}} \right)$

Suy ra $\Delta ABC\backsim \Delta DEF\left( g-g \right)$

Đáp án A.

Giải lần lượt từng phương trình:

• Chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó (Quy tắc chuyển vế);
• Nhân cả hai vế với cùng một số khác 0 (Quy tắc nhân với một số);
• Chia hai vế cho cùng một số khác 0 (Quy tắc chia cho một số).

PT1: $- 6\left( {1,5 - 2x} \right) = 3\left( { - 15 + 2x} \right)$

$- 2\left( {1,5 - 2x} \right) =  - 15 + 2x$

$- 3 + 4x =  - 15 + 2x$

$4x - 2x =  - 15 + 3$

$2x =  - 12$

$x =  - 6$

PT2: $5x + 10 = 0$

$5x =  - 10$

$x =  - 2$

Ta có tổng các nghiệm của hai phương trình trên là $- 6 + \left( { - 2} \right) =  - 8$

Đáp án A.

Bước 1. Lập phương trình.

• Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
• Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và theo các đại lượng đã biết.
• Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 3. Trả lời.

Gọi số bò có trong đàn là ${\rm{x}}$ (con). Điều kiện: ${\rm{x}} \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}$.

Vì một nửa đàn bò đang gặm cỏ trên cánh đồng, $\frac{1}{3}$ đàn bò đang nằm nghỉ gần đó, còn lại 4 con đang uống nước ở ao nên ta có ${\rm{PT}}$:

$\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x + 4 = x$

$x - \frac{1}{2}x - \frac{1}{3}x = 4$

$\frac{1}{6}x = 4$

$x = 24\left( {TM} \right)$

Vậy đàn bò có 24 con.

Đáp án C.

Rút gọn biểu thức bằng cách thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân thức.

Tính giá trị của biểu thức tại giá trị của biến cho trước.

Tìm giá trị của biến tại giá trị của biểu thức cho trước.

a) $B = \frac{1}{{x + 1}} - \frac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} \cdot \frac{{\left( {x - 1} \right) - \left( {x + 1} \right)}}{{{{(x + 1)}^2}\left( {x - 1} \right)}}($ ĐКXĐ: $x \ne \pm 1)$

$B = \frac{1}{{x + 1}} - \frac{{ - 2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$B = \frac{{{x^2} + 1 + 2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$B = \frac{{{{(x + 1)}^2}}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$B = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}$

Vậy $B = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}$ với $x \ne  \pm 1$

b) Thay $x = - 2$ (TM) ta có: $B = \frac{{ - 2 + 1}}{{{{( - 2)}^2} + 1}} = \frac{{ - 1}}{5}$
c) $B = 1 \Rightarrow \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}} = 1 \Leftrightarrow x + 1 = {x^2} + 1 \Leftrightarrow x - {x^2} = 0 \Leftrightarrow x\left( {1 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0\left( {TM} \right)}\\{x = 1\left( {{\rm{\;KTM\;}}} \right)}\end{array}$} \right.

Vậy khi $x = 0$ thì $B = 1$

- Chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó (Quy tấc chuyển vế);

- Nhân cả hai vế với cùng một số khác 0 (Quy tắc nhân với một số);

- Chia hai vế cho cùng một số khác 0 (Quy tắc chia cho một số).

a) $\frac{{9x + 5}}{6} = 1 - \frac{{6 + 3x}}{8}$

$\frac{{4\left( {9x + 5} \right)}}{{24}} = \frac{{24}}{{24}} - \frac{{3\left( {6 + 3x} \right)}}{{24}}$

$36x + 20 = 24 - 18 - 9x$

$36x + 9x = 6 - 20$

$45x = - 14$
$x = \frac{{ - 14}}{{45}}$

Vậy $x = \frac{{ - 14}}{{45}}$
b) $\frac{{x + 1}}{4} = \frac{1}{2} + \frac{{2x + 1}}{5}$

$\frac{{5(x + 1)}}{20} = \frac{10}{20} + \frac{{4(2x + 1)}}{5}$

$5x + 5 = 10 + 8x + 4$
$5x - 8x = 14 - 5$

$- 3x = 9$

$x = - 3$

Vậy $x = - 3$
c) $\frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{3} = \frac{3}{2} - \frac{{1 - 2x}}{4}$
$\frac{{8\left( {x + 1} \right)}}{{12}} = \frac{{18}}{{12}} - \frac{{3\left( {1 - 2x} \right)}}{{12}}$
$8x + 8 = 18 - 3 + 6x$
$8x - 6x = 15 - 8$
$2x = 7$
$x = \frac{7}{2}$
Vậy $x = \frac{7}{2}$

Bước 1. Lập phương trình.

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và theo các đại lượng đã biết.

- Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải phương trình.

Bước 3. Trả lời.

- Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không.

- Kết luận.

Gọi số học sinh khối 8 là $x$.  (học sinh). Điều kiện: $x \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}};x < 580$.

Số học sinh khối 9 là: $580 - x$ (học sinh).

 học sinh giỏi khối 8 là: $40{\rm{\% }}x = 0,4x$ (học sinh)

Số học sinh giỏi khối 9 là: $48$ (học sinh)

Vì cả hai khối có tổng cả 256 học sinh giỏi nên ta có phương trình:

$0,4x + 0,48\left( {580 - x} \right) = 256$

$0,4x + 278,4 - 0,48x = 256$

$0,4x - 0,48x = 256 - 278,4$

$- 0,08x =  - 22,4$

$x = \left( { - 22,4} \right):\left( { - 0,08} \right)$

$x = 280\left( {{\rm{tm}}} \right)$

Khi đó, số học sinh khối 9 là: $580 - 280 = 300$ (học sinh)

Vậy khối 8 có 280 học sinh và khối 9 có 300 học sinh.

Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng, từ đó rút ra dữ kiện cần thiết để chứng minh yêu cầu của bài toán.

a) Xét $\Delta HBE$ và $\Delta HCD$ có:

$\widehat {BDC} = \widehat {CEB} = {90^0}$

$\widehat {EHB} = \widehat {DHC}$ (2 góc đối đỉnh)

Suy ra $\Delta HBE\backsim \Delta HCD\left( g-g \right)$ (điều phải chứng minh)

b) Theo câu a) ta có: $\Delta HBE\backsim \Delta HCD$ suy ra $\frac{{HE}}{{HD}} = \frac{{HB}}{{HC}}$ hay $\frac{{HE}}{{HB}} = \frac{{HD}}{{HC}}$

Xét $\Delta HED$ và $\Delta HBC$ ta có:

$\frac{{HE}}{{HB}} = \frac{{HD}}{{HC}}$ (cmt)

$\widehat {EHD} = \widehat {BHC}$ (hai góc đối đỉnh)

$\widehat {HDE} = \widehat {HAE}$

Suy ra $\Delta HED\backsim \Delta HBC\left( c-g-c \right).$

Mà đường cao ${\rm{BD}}$ và ${\rm{CE}}$ cắt nhau tại ${\rm{H}}$ (theo giả thiết)

Suy ra H là trực tâm của $\Delta ABC$ hay $AH \bot BC$ tại M suy ra $\widehat {AMB} = {90^ \circ }$.

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta CEB$ có:

$\widehat {CEB} = \widehat {AMB} = {90^0}$

$\widehat B$ chung

Suy ra $\Delta AMB\backsim \Delta CEB\left( g-g \right)$

Suy ra $\widehat {MAB} = \widehat {ECB}$ hay $\widehat {HAE} = \widehat {HCB}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\widehat {HDE} = \widehat {HAE}$ (điều phải chứng minh)

Nhân cả 2 vế của $\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} = 1$ với $a + b + c$ rồi thu gọn được điều phải chứng minh

Nhân cả 2 vế của $\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{a}{{a + b}} = 1$ với $a + b + c$ ta được

$\frac{{{\rm{a}}\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}}} \right)}}{{{\rm{b}} + {\rm{c}}}} + \frac{{{\rm{b}}\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}}} \right)}}{{{\rm{c}} + {\rm{a}}}} + \frac{{{\rm{c}}\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}}} \right)}}{{{\rm{a}} + {\rm{b}}}} = {\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}}$

$\frac{{{a^2} + a\left( {b + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{{b^2} + b\left( {c + a} \right)}}{{c + a}} + \frac{{{c^2} + c\left( {a + b} \right)}}{{a + b}} = a + b + c$

$\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + a + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + b + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} + c = a + b + c$

$\frac{{{{\rm{a}}^2}}}{{{\rm{\;b}} + {\rm{c}}}} + \frac{{{{\rm{b}}^2}}}{{{\rm{c}} + {\rm{a}}}} + \frac{{{{\rm{c}}^2}}}{{{\rm{a}} + {\rm{b}}}} = 0\left( {{\rm{dpcm}}} \right)$