Đề thi giữa học kì 2 Toán 8 - Đề số 2

Hai phân thức nghịch đảo nếu tích của chúng bằng 1.

Vì $\frac{{x + 1}}{{2x - y}}.\frac{{2x - y}}{{x + 1}} = 1$ nên phân thức nghịch đảo của phân thức $\frac{{x + 1}}{{2x - y}}$ là $\frac{{2x - y}}{{x + 1}}$.

Đáp án C

Phân thức $\frac{A}{B}$ xác định khi $B \ne 0$.

Điều kiện xác định của phân thức $\frac{{x - 3}}{{2 + x}}$ là $2 + x \ne 0$ hay $x \ne - 2$.

Đáp án C

Sử dụng tính chất của phân thức đại số:

$\frac{A}{B} = \frac{{A.M}}{{B.M}}$ (M là một đa thức khác 0)

$\frac{A}{B} = \frac{{A:N}}{{B:N}}$ (N là một nhân tử chung)

$\frac{A}{B} = \frac{{ - A}}{{ - B}}$

Ta có:

$\frac{{5{x^2}y}}{{x{y^2}}} = \frac{{5{x^2}y:xy}}{{x{y^2}:xy}} = \frac{{5x}}{y}$ nên A đúng.

$\frac{{{x^3} - 8}}{{x - 2}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{{x - 2}} = {x^2} + 2x + 4$ nên B đúng.

$\frac{{x - 5}}{{2 - x}} = \frac{{ - \left( {x - 5} \right)}}{{ - \left( {2 - x} \right)}} = \frac{{5 - x}}{{x - 2}}$ nên C đúng.

$\frac{{3 - x}}{{x + 2}} = \frac{{ - \left( {3 - x} \right)}}{{ - \left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x - 3}}{{ - x - 2}} \ne \frac{{x - 3}}{{x + 2}}$ nên D sai.

Đáp án D

Nhóm các phân thức cùng mẫu vào để cộng phân thức cùng mẫu: $\frac{A}{B} + \frac{C}{B} = \frac{{A + C}}{B}$

Sau đó cộng các phân thức khác mẫu vừa tính được: $\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{{AD + BC}}{{BD}}$

$\begin{array}{l}\frac{x-1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xy}+\frac{y-1}{yz}\\ =\left(\frac{x-1}{xy}+\frac{1}{xy}\right)+\left(\frac{1}{yz}+\frac{y-1}{yz}\right)\\ =\frac{x-1+1}{xy}+\frac{1+y-1}{yz}\\ =\frac{x}{xy}+\frac{y}{yz}\\ =\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\\ =\frac{y+z}{yz}\end{array}$$\begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xy}} + \frac{{y - 1}}{{yz}}\\ = \left( {\frac{{x - 1}}{{xy}} + \frac{1}{{xy}}} \right) + \left( {\frac{1}{{yz}} + \frac{{y - 1}}{{yz}}} \right)\\ = \frac{{x - 1 + 1}}{{xy}} + \frac{{1 + y - 1}}{{yz}}\\ = \frac{x}{{xy}} + \frac{y}{{yz}}\\ = \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\\ = \frac{{y + z}}{{yz}}\end{array}$

Đáp án D

Sử dụng quy tắc nhân phân thức: $\frac{A}{B}.\frac{C}{D} = \frac{{AC}}{{BD}}$

Ta có:

$\frac{{x(x + 3)}}{{5(x - 3)}}.\frac{{2(x - 3)}}{{{{(x + 3)}^2}}} = \frac{{2x\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{5\left( {x - 3} \right){{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{2x}}{{5\left( {x + 3} \right)}}$

Đáp án C

Sử dụng quy tắc chia phân thức để tính vế trái.

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{x^2+x}{4x^2-1}:\frac{x+1}{2x-1}\\ =\frac{x\left(x+1\right)}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}\mathrm{.}\frac{2x-1}{x+1}\\ =\frac{x\left(x+1\right)\left(2x-1\right)}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(x+1\right)}\\ =\frac{x}{2x+1}=\frac{x}{Q}\end{array}$$\begin{array}{l}\frac{{{x^2} + x}}{{4{x^2} - 1}}:\frac{{x + 1}}{{2x - 1}}\\ = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}.\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\\ = \frac{{x\left( {x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{x}{{2x + 1}} = \frac{x}{Q}\end{array}$

Suy ra $Q = 2x + 1$.

Đáp án D

$\Delta ABC\backsim \Delta A'B'C'$ theo hệ số tỉ lệ k thì $\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = k$.

$\Delta ABC\backsim \Delta XYZ$ theo tỉ số đồng dạng $k = 3$ nên $\frac{{AB}}{{XY}} = 3$.

Do đó $AB = 3XY$.

Đáp án A

Nếu $\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}}$ thì $\Delta ABC\backsim \Delta A'B'C'$ (c.c.c).

Vì $\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{AB}}{{DC}} = \frac{1}{2}$ nên $\Delta ADB\backsim \Delta DBC\left( c.c.c \right)$,

Đáp án B

Sử dụng định lí hai tam giác đồng dạng: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác là song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

Vì cây và cọc cùng vuông góc với mặt đất nên $DC//AB$.

Do đó $\Delta ABE\backsim \Delta CDE$ (định lí tam giác đồng dạng)

Suy ra $\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{AE}}{{CE}}$ nên $AB = \frac{{AE.CD}}{{CE}} = \frac{{\left( {AC + CE} \right).CD}}{{CE}} = \frac{{\left( {8 + 2} \right).1,5}}{2} = 7,5$

Vậy chiều cao AB của cây là 7,5m.

Đáp án B

Chứng minh tứ giác là hình thoi.

Từ chu vi hình thoi suy ra cạnh = chu vi : 4.

Sử dụng định lí Pythagore để tính đường chéo còn lại.

Vì tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường nên ABCD là hình thoi.

Độ dài cạnh của hình thoi ABCD là: $AB = 52:4 = 13\left( {cm} \right)$

Giả sử đường chéo $BD = 10cm$ và O là giao điểm của hai đường chéo thì $BO = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}.10 = 5\left( {cm} \right)$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABO vuông tại O, ta có:

$A{B^2} = A{O^2} + B{O^2}$ suy ra $AO = \sqrt {{{13}^2} - {5^2}} = 12\left( {cm} \right)$

Do O là trung điểm của AC nên $AC = 2AO = 2.12 = 24\left( {cm} \right)$

Đáp án D

Nếu $\Delta ABC\backsim \Delta A'B'C'$ theo tỉ số đồng dạng k thì $\Delta A'B'C'\backsim \Delta ABC$ theo tỉ số đồng dạng $\frac{1}{k}$.

Nếu $\Delta ABC\backsim \Delta MNP$ theo tỉ số đồng dạng là $k = \frac{2}{5}$ thì $\Delta MNP\backsim \Delta ABC$ theo tỉ số đồng dạng là $k' = \frac{5}{2}$.

Đáp án D

Quan sát xem hình nào giống với hình H.

Hình đồng dạng với hình H là hình 3.

Đáp án C

a) Xác định giá trị của x để mẫu thức khác 0, phân thức chia khác 0.

b) Sử dụng quy tắc chia hai phân thức để rút gọn biểu thức A.

c) Thay $x = 2$ vào biểu thức A để tính giá trị của A.

d) Để $A = \frac{k}{{g\left( x \right)}}\,$ nguyên thì $k \vdots g\left( x \right)$.

Lập bảng để tìm các giá trị của x.

a) Xác định giá trị của x để mẫu thức khác 0, phân thức chia khác 0.

b) Sử dụng quy tắc chia hai phân thức để rút gọn biểu thức A.

c) Thay $x = 2$ vào biểu thức A để tính giá trị của A.

d) Để $A = \frac{k}{{g\left( x \right)}}\,$ nguyên thì $k \vdots g\left( x \right)$.

Lập bảng để tìm các giá trị của x.

a) Sai

Biểu thức A xác định khi:

$4{x^2} - 1 \ne 0$ và $10x - 5 \ne 0$ và $4x \ne 0$ (do $\frac{{4x}}{{10x - {\rm{ }}5}}$ là phân thức chia)

+) $4{x^2} - 1 \ne 0$

$4{x^2} \ne 1$

${x^2} \ne \frac{1}{4}$

$x \ne \pm \frac{1}{2}$

+) $10x - 5 \ne 0$

$10x \ne 5$

$x \ne \frac{1}{2}$

+) $4x \ne 0$ nên $x \ne 0$

Vậy điều kiện xác định của phân thức A là $x \ne \pm \frac{1}{2}$; $x \ne 0$.

b) Đúng

Ta có: $A = \frac{{8x}}{{4{x^2} - 1}}:\frac{{4x}}{{10x - {\rm{ }}5}}$$\left( {x \ne \pm \frac{1}{2}} \right)$

$\begin{array}{l}A=\frac{8x}{4x^2-1}\mathrm{.}\frac{10x-5}{4x}\\ A=\frac{8x\left(10x-5\right)}{4x\left(4x^2-1\right)}\\ A=\frac{40x\left(2x-1\right)}{4x\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}\\ A=\frac{10}{2x+1}\end{array}$$\begin{array}{l}A = \frac{{8x}}{{4{x^2} - 1}}.\frac{{10x - {\rm{ }}5}}{{4x}}\\A = \frac{{8x\left( {10x - {\rm{ }}5} \right)}}{{4x\left( {4{x^2} - 1} \right)}}\\A = \frac{{40x\left( {2x - {\rm{ 1}}} \right)}}{{4x\left( {2x - {\rm{ 1}}} \right)\left( {2x + {\rm{ 1}}} \right)}}\\A = \frac{{10}}{{2x + 1}}\end{array}$

Vậy $A = \frac{{10}}{{2x + 1}}$.

c) Đúng

Thay $x = 2$ vào A, ta được:

$A = \frac{{10}}{{2.2 + 1}} = \frac{{10}}{5} = 2$

d) Sai

Để A nguyên thì $\frac{{10}}{{2x + 1}}$ nguyên, khi đó $10 \vdots \left( {2x + 1} \right)$ hay $\left( {2x + 1} \right) \in$ Ư(10) = $\left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 5; \pm 10} \right\}$.

Ta có bảng sau:

Vậy $x \in \left\{ { - 3; - 1;2} \right\}$ thì A nguyên.

Đáp án: SĐĐS

a) Chứng minh AD // CN.

Sử dụng định lí tam giác đồng dạng để chứng minh hai tam giác đồng dạng.

b) Chứng minh AM // CD.

Sử dụng định lí tam giác đồng dạng để chứng minh hai tam giác đồng dạng.

Từ đó suy ra tỉ lệ cạnh tương ứng bằng nhau.

c) Đưa các cạnh về tam giác đồng dạng để kiểm tra.

d) Dựa vào tỉ số đồng dạng của hai tam giác để tính NC.

a) Đúng

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AD // BC.

Vì AD // NC (AD // BC) nên $\Delta ADK\backsim \Delta CNK$ (định lí tam giác đồng dạng)

b) Đúng

Vì AM // CD (AB // CD) nên $\Delta AKM\backsim \Delta CKD$ (định lí tam giác đồng dạng)

Suy ra $\frac{{KM}}{{KD}} = \frac{{KA}}{{KC}}$ (tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng) (1)

c) Sai

Từ $\Delta ADK\backsim \Delta CNK$, ta có: $\frac{{AK}}{{KC}} = \frac{{KD}}{{KN}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{KM}}{{KD}} = \frac{{KD}}{{KN}}$ nên $K{D^2} = KM.KN \ne KM.MN$ nên c sai.

d) Sai

Xét $\Delta ADM$ và $\Delta CND$ có:

$\widehat {AMD} = \widehat {NDC}$ (2 góc so le trong)

$\widehat {ADM} = \widehat {DNC}$ (2 góc so le trong)

nên $\Delta ADM\backsim \Delta CND\left( g.g \right)$,

Suy ra $\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{CD}}{{CN}}$.

Vì ABCD là hình bình hành nên CD = AB = 10cm.

Do đó $CN = \frac{{CD.AD}}{{AM}} = \frac{{10.9}}{6} = 15\left( {cm} \right)$

Đáp án: ĐĐSS

Tính giá trị của x thoả mãn $\left| {x - 2} \right| = 1$, kiểm tra với điều kiện xác định của B.

Sau đó thay x tìm được vào B.

ĐKXĐ của B là: $x - 3 \ne 0$ hay $x \ne 3$.

Ta có: $\left| {x - 2} \right| = 1$ nên:

$x - 2 = 1$ hoặc $x - 2 = - 1$

$x = 3$ (L) hoặc $x = 1$ (TM)

Thay $x = 1$ vào $B = \frac{{x + 1}}{{x - 3}}$, ta được:

$B = \frac{{1 + 1}}{{1 - 3}} = - 1$

Đáp án: -1

Sử dụng định lí Pythagore để tính khoảng cách từ thuyền đến đỉnh tháp hải đăng.

Khoảng cách từ thuyền đến đỉnh tháp hải đăng là: $\sqrt {{{25}^2} + {{180}^2}} = 182\left( m \right)$

Đáp án: 182

Sử dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC để tính BC.

Chứng minh $\Delta HBA\backsim \Delta ABC$ $\left( g-g \right)$  suy ra tỉ số của các cạnh tương ứng để tính AH.

Áp dụng định lí Pythagore vào $\Delta ABC$ vuông tại A, ta có: $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$.

Do đó: $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}$

Hay $BC = \sqrt {{{12}^2} + {{16}^2}} = \sqrt {144 + 256} = \sqrt {400} = 20cm$.

Xét $\Delta HBA$ và $\Delta ABC$ có:

$\widehat {\rm H} = \widehat {\rm A} = 90^\circ$

$\widehat {\rm B}$ chung

nên $\Delta HBA\backsim \Delta ABC$ $\left( {g - g} \right)$

Suy ra $\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{BC}}$ nên $AH = \frac{{AC.AB}}{{BC}} = \frac{{16.12}}{{20}} = 9,6\left( {cm} \right)$

Đáp án: 9,6

Để biểu thức $D = \frac{k}{{f\left( x \right)}}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $f\left( x \right)$ phải đạt giá trị lớn nhất.

Tìm giá trị lớn nhất của $f\left( x \right)$ để tính giá trị nhỏ nhất của D.

Ta có: $- {x^2} + 2x - 3 =  - \left( {{x^2} - 2x + 3} \right) =  - {\left( {x - 1} \right)^2} - 2 \le  - 2$

Để $D = \frac{6}{{ - {x^2} + 2x - 3}}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $- {x^2} + 2x - 3$ đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: $- {x^2} + 2x - 3 =  - \left( {{x^2} - 2x + 3} \right) =  - {\left( {x - 1} \right)^2} - 2 \le  - 2$

Suy ra giá trị lớn nhất của $- {x^2} + 2x - 3$ là -2.

Khi đó $\frac{6}{{ - {x^2} + 2x - 3}} \ge \frac{6}{{ - 2}} =  - 3$.

Dấu “=” xảy ra là giá trị nhỏ nhất của $D = \frac{6}{{ - {x^2} + 2x - 3}}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của D là -3.

Đáp án: -3

a) Sử dụng quy tắc cộng phân thức khác mẫu để rút gọn P.

b) Kiểm tra xem $x = 6$ có thoả mãn điều kiện xác định không.

Nếu thoả mãn, thay $x = 6$ vào P.

a) Với $x \ne \pm 2$, ta có:

$\begin{array}{l}P=\frac{x^2+4x+4}{4-x^2}+\frac{6x+8}{x-2}\\ =\frac{{\left(x+2\right)}^2}{\left(2+x\right)\left(2-x\right)}+\frac{6x+8}{x-2}\\ =\frac{x+2}{2-x}+\frac{6x+8}{x-2}\\ =\frac{-\left(x+2\right)}{x-2}+\frac{6x+8}{x-2}\\ =\frac{-x-2+6x+8}{x-2}\\ =\frac{5x+6}{x-2}\end{array}$$\begin{array}{l}P = \frac{{{x^2} + 4x + 4}}{{4 - {x^2}}} + \frac{{6x + 8}}{{x - 2}}\\ = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {2 + x} \right)\left( {2 - x} \right)}} + \frac{{6x + 8}}{{x - 2}}\\ = \frac{{x + 2}}{{2 - x}} + \frac{{6x + 8}}{{x - 2}}\\ = \frac{{ - \left( {x + 2} \right)}}{{x - 2}} + \frac{{6x + 8}}{{x - 2}}\\ = \frac{{ - x - 2 + 6x + 8}}{{x - 2}}\\ = \frac{{5x + 6}}{{x - 2}}\end{array}$

Vậy $P = \frac{{5x + 6}}{{x - 2}}$

b) Với $x = 6$ (TMĐK), thay vào biểu thức $P = \frac{{5x + 6}}{{x - 2}}$, ta được:

$P = \frac{{5.6 + 6}}{{6 - 2}} = \frac{{30 + 6}}{4} = \frac{{36}}{4} = 9$

Vậy $P = 9$ khi $x = 6$.

a) Chứng minh $\frac{{CM}}{{CB}} = \frac{{CD}}{{CA}}$, ta được DM // AB (theo định lí Thalès đảo)

b) Áp dụng định lí tam giác đồng dạng: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác là song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

c) Áp dụng tỉ số diện tích tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng từ đó tính được $\frac{{{S_{\Delta MDC}}}}{{{S_{\Delta BAC}}}}$.

a) Vì M thuộc đoạn BC nên BM + CM = BC

suy ra CM = BC – BM = 15 – 10 = 5 (cm)

Ta có: $\frac{{CM}}{{CB}} = \frac{5}{{15}} = \frac{1}{3}$ và $\frac{{CD}}{{CA}} = \frac{4}{{12}} = \frac{1}{3}$ suy ra $\frac{{CM}}{{CB}} = \frac{{CD}}{{CA}}$ nên DM // AB (theo định lí Thalès đảo)

b) Vì DM // AB nên $\Delta BAC\backsim \Delta MDC$ (định lí tam giác đồng dạng)

c) Vì $\Delta BAC\backsim \Delta MDC$ nên $\frac{{{S_{\Delta MDC}}}}{{{S_{\Delta BAC}}}} = \frac{{C{D^2}}}{{A{C^2}}} = {\left( {\frac{{CD}}{{AC}}} \right)^2} = {\left( {\frac{4}{{12}}} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{1}{9}$.

Từ giả thiết $x + y + z = xyz$ suy ra $\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}} = 1$.

Biến đổi B thành biểu thức chứa $\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}}$ và $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$.

Khi đó thay số ta tính được B.

Do $x,y,z \ne 0$ và $x + y + z = xyz$ nên ta có:

$\begin{array}{l}x+y+z=xyz\\ \frac{x+y+z}{xyz}=1\\ \frac{x}{xyz}+\frac{y}{xyz}+\frac{z}{xyz}=1\\ \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\end{array}$$\begin{array}{l}x + y + z = xyz\\\frac{{x + y + z}}{{xyz}} = 1\\\frac{x}{{xyz}} + \frac{y}{{xyz}} + \frac{z}{{xyz}} = 1\\\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}} = 1\end{array}$.

Xét biểu thức:

$B = \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} = {\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^2} - 2\left( {\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}}} \right)$

Khi đó: $B = {3^2} - 2.1 = 9 - 2 = 7$.

Vậy $B = 7$.