Đề thi giữa học kì 2 Toán 8 - Đề số 1

Chia cả tử và mẫu thức của biểu thức cho nhân tử chung.

Ta có: $\frac{{5{x^2} - 10xy}}{{2{{\left( {x - 2y} \right)}^3}}} = \frac{{5x\left( {x - 2y} \right)}}{{2{{\left( {x - 2y} \right)}^3}}} = \frac{{5x}}{{2{{\left( {x - 2y} \right)}^2}}}$

Đáp án A

Phân thức đối của phân thức $\frac{A}{B}$ là $- \frac{A}{B}$.

Phân thức đối của phân thức $\frac{{ - 2y}}{{5{x^3}}}$ là $- \left( {\frac{{ - 2y}}{{5{x^3}}}} \right) = \frac{{2y}}{{5{x^3}}}$.

Đáp án B

+ Phân tích mẫu thức của mỗi phân thức đã cho thành nhân tử

+ Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:

* Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích các nhân tử bằng số của các mẫu dương ở Bước 1 (nếu các nhân tử bằng số của các mẫu thức là các số nguyên dương thì nhân tử bằng số của mẫu thức chung là BCNN của chúng);

* Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa có số mũ cao nhất.

Mẫu thức chung của hai phân thức $\frac{3}{{2{x^3}{y^4}}}$ và $\frac{4}{{5{x^4}{y^3}}}$ là: $10{x^4}{y^4}$.

Đáp án A

Phân tích tử thức, mẫu thức thành nhân tử sử dụng hằng đẳng thức sau đó chia cà tử và mẫu cho nhân tử chung.

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{x^2+4x+4}{9-{\left(x+5\right)}^2}=\frac{{\left(x+2\right)}^2}{\left(3-x-5\right)\left(3+x+5\right)}\\ =\frac{{\left(x+2\right)}^2}{\left(-x-2\right)\left(x+8\right)}=\frac{{\left(x+2\right)}^2}{-\left(x+2\right)\left(x+8\right)}=\frac{-x-2}{x+8}\end{array}$$\begin{array}{l}\frac{{{x^2} + 4x + 4}}{{9 - {{\left( {x + 5} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {3 - x - 5} \right)\left( {3 + x + 5} \right)}}\\ = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{\left( { - x - 2} \right)\left( {x + 8} \right)}} = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{ - \left( {x + 2} \right)\left( {x + 8} \right)}} = \frac{{ - x - 2}}{{x + 8}}\end{array}$

Đáp án B

Sử dụng quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu: $\frac{A}{B} + \frac{C}{B} = \frac{{A + C}}{B}$.

Ta có:

$\frac{{x{y^2}}}{{xy}} + \frac{{{x^2}y}}{{xy}} = \frac{{x{y^2} + {x^2}y}}{{xy}} = \frac{{xy\left( {y + x} \right)}}{{xy}} = x + y$.

Đáp án D

Chuyển vế để tìm K(x).

Ta có:

$\begin{array}{l}K\left(x\right):\frac{x}{4-x}=\frac{4-x}{2}\\ K\left(x\right)=\frac{4-x}{2}\mathrm{.}\frac{x}{4-x}\\ K\left(x\right)=\frac{\left(4-x\right)\mathrm{.}x}{2\left(4-x\right)}\\ K\left(x\right)=\frac{x}{2}\end{array}$$\begin{array}{l}K\left( x \right):\frac{x}{{4 - x}} = \frac{{4 - x}}{2}\\K\left( x \right) = \frac{{4 - x}}{2}.\frac{x}{{4 - x}}\\K\left( x \right) = \frac{{\left( {4 - x} \right).x}}{{2\left( {4 - x} \right)}}\\K\left( x \right) = \frac{x}{2}\end{array}$

Đáp án C

Dựa vào hai tam giác đồng dạng suy ra tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác đó.

$\Delta GHI\backsim \Delta FEI$ nên $\frac{{HI}}{{IE}} = \frac{{GH}}{{EF}}$

Thay số: $\frac{x}{y} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}$.

Đáp án D

Chứng minh $\Delta ABD\backsim \Delta BDC$ suy ra tỉ lệ giữa các cặp cạnh tương ứng, biến đổi để tính BD.

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta BDC$ có:

$\widehat {BAD} = \widehat {DBC}\left( { = 90^\circ } \right)$

$\widehat {ABD} = \widehat {BDC}$ (hai góc so le trong)

nên $\Delta ABD\backsim \Delta BDC$ (g.g)

suy ra $\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{CD}}$, do đó $B{D^2} = AB.CD = 4.9 = 36$

suy ra $BD = \sqrt {36} = 6\left( {cm} \right)$.

Đáp án A

Sử dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A.

Khoảng cách từ tàu đến đỉnh ngọn hải đăng là độ dài đoạn BC trong hình vẽ.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {45^2} + {60^2}$

Suy ra $BC = \sqrt {{{45}^2} + {{60}^2}} = 75\left( m \right)$

Đáp án A

Sử dụng định lí hai tam giác đồng dạng để chứng minh $\Delta BDM\backsim \Delta BAC,\Delta CEM\backsim \Delta CAB$, suy ra $\Delta BDM\backsim \Delta MEC$.

Tỉ số chu vi của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng đó.

Vì DM // AC nên $\Delta BDM\backsim \Delta BAC$ (định lí hai tam giác đồng dạng)

Vì ME // AC nên $\Delta CEM\backsim \Delta CAB$ (định lí hai tam giác đồng dạng)

Suy ra $\Delta BDM\backsim \Delta MEC$.

Do đó $\frac{{BD}}{{ME}} = \frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{DM}}{{EC}} = \frac{1}{2}$.

Do đó $\frac{{{C_{\Delta BDM}}}}{{{C_{\Delta MEC}}}} = \frac{1}{2}$.

Đáp án B

Trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Để $\Delta ABC\backsim \Delta MNP\left( \widehat{A}=\widehat{M}=90{}^\circ  \right)$ theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông thì ta cần thêm điều kiện  $\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{BC}}{{NP}}$ hoặc $\frac{{AC}}{{MP}} = \frac{{BC}}{{NP}}$.

Vậy đáp án C đúng.

Đáp án C

Sử dụng kiến thức về hai hình đồng dạng:

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H1 đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’.

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H.

Cặp hình trong hình 1 là hai hình đồng dạng.

Đáp án A

a) Sử dụng các quy tắc tính toán với phân thức.

b) Kiểm tra xem $x = - 1$ có thoả mãn điều kiện không, nếu có, thay $x = - 1$ vào A.

c) Từ $A = 1$ giải để tìm x.

d) Để A nguyên thì $\frac{k}{{g\left( x \right)}}$ nguyên, hay $k \vdots g\left( x \right)$.

Lập bảng để tìm các giá trị của x.

a) Sai

Ta có:

$A = \left( {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + x}} + \frac{2}{{x + 1}}} \right):\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{2x}}$ với $x \ne 0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne - 1$

$\begin{array}{l}=\left[\frac{x^2+1}{x\left(x+1\right)}+\frac{2x}{x\left(x+1\right)}\right]\mathrm{.}\frac{2x}{{\left(x+1\right)}^2}\\ =\frac{x^2+2x+1}{x\left(x+1\right)}\mathrm{.}\frac{2x}{{\left(x+1\right)}^2}\\ =\frac{{\left(x+1\right)}^2.2x}{x{\left(x+1\right)}^3}\\ =\frac{2}{x+1}\end{array}$$\begin{array}{l} = \left[ {\frac{{{x^2} + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2x}}{{x\left( {x + 1} \right)}}} \right].\frac{{2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}.2x}}{{x{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\\ = \frac{2}{{x + 1}}\end{array}$

b) Sai

Vì $x = - 1$ không thoả mãn điều kiện xác định nên ta không tính được giá trị của A.

c) Đúng

Ta có:

$\begin{array}{l}A=1\\ \frac{2}{x+1}=1\\ x+1=2\\ x=2-1\\ x=1\end{array}$$\begin{array}{l}A = 1\\\frac{2}{{x + 1}} = 1\\x + 1 = 2\\x = 2 - 1\\x = 1\end{array}$

Vậy $x = 1$ thì $A = 1$.

d) Sai

Để $A \in \mathbb{Z}$ thì $\frac{2}{{x + 1}}$ nguyên, hay $\left( {x + 1} \right) \in$ Ư $\left( 2 \right) = \left\{ { - 2; - 1;1;2} \right\}$.

Ta có bảng giá trị sau:

Vậy $x = \left\{ { - 3; - 2;1} \right\}$ thì A có giá trị nguyên.

Đáp án: SSĐS

a) Sử dụng trường hợp đồng dạng góc – góc.

b) Từ hai tam giác đồng dạng suy ra các góc tương ứng bằng nhau.

c) Từ hai tam giác đồng dạng tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng.

d) Chứng minh $\Delta ABH\backsim \Delta ADE$ suy ra tỉ số đồng dạng k của hai tam giác.

Tỉ số đồng dạng của diện tích hai tam giác bằng ${k^2}$.

a) Đúng

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACB$ có:

$\widehat {ABD} = \widehat {ACB}$ (chung)

$\widehat A$ chung

suy ra $\Delta ABD\backsim \Delta ACB$ (g.g)

b) Đúng

Vì $\Delta ABD\backsim \Delta ACB$ (ý a) nên $\widehat {ADB} = \widehat {ABC}$ (2 góc tương ứng)

c) Sai

Vì $\Delta ABD\backsim \Delta ACB$ nên $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}}$

Thay số $\frac{2}{4} = \frac{{AD}}{2}$, suy ra $AD = \frac{{2.2}}{4} = 1\left( {cm} \right)$.

Do đó $DC = AC - AD = 4 - 1 = 3\left( {cm} \right)$.

d) Đúng

Ta có: $\widehat {ADB} = \widehat {ABC}$ (ý b), hay $\widehat {ADE} = \widehat {ABH}$.

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta ADE$ có:

$\widehat {AHB} = \widehat {AED}\left( { = 90^\circ } \right)$

$\widehat {ADE} = \widehat {ABH}$ (cmt)

suy ra $\Delta ABH\backsim \Delta ADE$ (g.g)

Suy ra $\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{DE}}{{BH}} = \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{2}{1} = 2 = k$.

Do đó $\frac{{{S_{\Delta ABH}}}}{{{S_{\Delta ADE}}}} = {k^2} = {2^2} = 4$. Suy ra ${S_{\Delta ABH}} = 4{S_{\Delta ADE}}$.

Đáp án: ĐĐSĐ

Sử dụng quy tắc chuyển vế và trừ hai phân thức cùng mẫu để tính $H\left( x \right)$.

Sau đó thay $x = 2$ (kiểm tra điều kiện của $H\left( x \right)$) vào phân thức $H\left( x \right)$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{x}{3-x}-H\left(x\right)=\frac{2}{3-x}\\ H\left(x\right)=\frac{x}{3-x}-\frac{2}{3-x}\\ H\left(x\right)=\frac{x-2}{3-x}\end{array}$$\begin{array}{l}\frac{x}{{3 - x}} - H\left( x \right) = \frac{2}{{3 - x}}\\H\left( x \right) = \frac{x}{{3 - x}} - \frac{2}{{3 - x}}\\H\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{3 - x}}\end{array}$

ĐKXĐ của $H\left( x \right)$ là $x \ne 3$.

Thay $x = 2$ (TM) vào $H\left( x \right)$, ta được:

$H\left( 2 \right) = \frac{{2 - 2}}{{3 - 2}} = 0$.

Đáp án: 0

Từ đề bài xác định được độ dài các đoạn thẳng tương ứng.

Sử dụng định lí hai tam giác đồng dạng để chứng minh $\Delta CDE\backsim \Delta ABE$.

Từ đó biểu diễn tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng để tính AB.

Vì cái cây và ngôi nhà cùng vuông góc với mặt đất nên chúng song song với nhau nên CD // AB.

Do đó $\Delta CDE\backsim \Delta ABE$ (định lí hai tam giác bằng nhau)

Suy ra $\frac{{CE}}{{AE}} = \frac{{CD}}{{AB}}$ hay $\frac{{CE}}{{AC + CE}} = \frac{{CD}}{{AB}}$

Thay số: $\frac{8}{{32 + 8}} = \frac{5}{{AB}}$, suy ra $AB = 5:\frac{8}{{32 + 8}} = 25\left( m \right)$

Vậy chiều cao $AB$ của ngôi nhà là 25m.

Đáp án: 25

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông để tính được đường chéo của tam giác vuông.

Giả sử ta có tam giác ABC với chiều rộng AB = 11,8 inch, chiều dài AC = 14,8 inch.

Khi đó đường chéo của tam giác ABC là:

$BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {11,{8^2} + 14,{8^2}} \approx 19\left( {inch} \right)$

Vậy tivi đó thuộc loại 19 inch.

Đáp án: 19

Viết biểu thức bằng 1 rồi giải để tìm các giá trị y thoả mãn.

$\frac{{1 + {y^2} + \frac{1}{y}}}{{2 + \frac{1}{y}}}$ (ĐKXĐ:$y \ne 0$, $y \ne - \frac{1}{2}$)

Ta có: $\frac{{1 + {y^2} + \frac{1}{y}}}{{2 + \frac{1}{y}}} = 1$

$\begin{array}{l}1+y^2+\frac{1}{y}=2+\frac{1}{y}\\ 1+y^2+\frac{1}{y}-2-\frac{1}{y}=0\\ y^2-1=0\\ y^2=1\\ y=\pm 1\end{array}$$\begin{array}{l}1 + {y^2} + \frac{1}{y} = 2 + \frac{1}{y}\\1 + {y^2} + \frac{1}{y} - 2 - \frac{1}{y} = 0\\{y^2} - 1 = 0\\{y^2} = 1\\y = \pm 1\end{array}$

Vậy tổng các giá trị của y để biểu thức $\frac{{1 + {y^2} + \frac{1}{y}}}{{2 + \frac{1}{y}}}$ bằng 1 là: $- 1 + 1 = 0$

Đáp án: 0

a) Sử dụng quy tắc cộng hai phân thức khác mẫu:

- Quy đồng mẫu thức

- Cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức

- Rút gọn phân thức (nếu cần).

b) Rút gọn biểu thức ở vế trái, khi đó ta sẽ tìm được đa thức A.

a) Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{1}{2\left(x+3\right)}+\frac{3}{2x\left(x+3\right)}\\ =\frac{x}{2x\left(x+3\right)}+\frac{3}{2x\left(x+3\right)}\\ =\frac{x+3}{2x\left(x+3\right)}\\ =\frac{1}{2x}\end{array}$$\begin{array}{l}\frac{1}{{2\left( {x + 3} \right)}} + \frac{3}{{2x\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{x}{{2x\left( {x + 3} \right)}} + \frac{3}{{2x\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{x + 3}}{{2x\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{1}{{2x}}\end{array}$

b) Ta có:

$\frac{A}{{x - 2}} = \frac{{2{x^3} + 4{x^2}}}{{{x^2} - 4}}$

$\begin{array}{l}\frac{A}{x-2}=\frac{2x^2\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\\ \frac{A}{x-2}=\frac{2x^2}{x-2}\end{array}$$\begin{array}{l}\frac{A}{{x - 2}} = \frac{{2{x^2}\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\\frac{A}{{x - 2}} = \frac{{2{x^2}}}{{x - 2}}\end{array}$

suy ra $A = 2{x^2}$.

a) Chứng minh $\Delta ABC\backsim \Delta HBA$ theo trường hợp góc – góc.

b) Chứng minh $\Delta AHC\backsim \Delta BHA\left( g.g \right)$, suy ra tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng, từ đó ta có: $A{H^2} = HB.HC$

Nhân cả hai vế với HC và biểu diễn tỉ lệ thức tạo thành: $\frac{{HB}}{{HC}} = \frac{{A{H^2}}}{{H{C^2}}}$.

Sử dụng tính chất của đường phân giác trong tam giác, ta có: $\frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{AD}}{{DC}}$ (HD là đường phân giác của tam giác AHC)

Kết hợp ta được điều phải chứng minh.

a) Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HBA$, ta có:

$\begin{array}{l}\widehat{A}=\widehat{H}\left(={90}^{\circ }\right)\\ \widehat{B}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{g}\end{array}$$\begin{array}{l}\widehat A = \widehat H\left( { = 90^\circ } \right)\\\widehat B\,{\rm{chung}}\end{array}$

Suy ra $\Delta ABC\backsim \Delta HBA\left( g.g \right)$.

c) Xét $\Delta AHC$ và $\Delta BHA$ có:

$\widehat {AHC} = \widehat {BHA}\left( { = 90^\circ } \right)$

$\widehat {CAH} = \widehat {ABH}$ (cùng phụ với $\widehat C$)

Suy ra $\Delta AHC\backsim \Delta BHA\left( g.g \right)$

Do đó $\frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{HB}}{{AH}}$

suy ra $A{H^2} = HB.HC$

Nhân cả hai vế với HC, ta được:

$A{H^2}.HC = HB.H{C^2}$

Do đó $\frac{{HB}}{{HC}} = \frac{{A{H^2}}}{{H{C^2}}}$

Mà HD là đường phân giác của tam giác AHC nên $\frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{AD}}{{DC}}$

Do đó $\frac{{HB}}{{HC}} = \frac{{A{D^2}}}{{D{C^2}}}$ (đpcm).

Sử dụng định lí tổng 3 góc trong một tam giác bằng $180^\circ$ suy ra $\widehat B = 90^\circ$.

Chứng minh $\Delta ABC\backsim \Delta ADB\left( g.g \right)$, suy ra tỉ lệ đồng dạng giữa các cạnh tương ứng, từ đó tính AB.

Xét tam giác ABC có $\widehat B = 180^\circ  - \left( {\widehat C + \widehat D} \right) = 180^\circ  - \left( {50^\circ  + 40^\circ } \right) = 90^\circ$

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta ADB$ có:

$\widehat {CAB} = \widehat {BAD}\left( { = 90^\circ } \right)$

$\widehat C = \widehat {ABD}$ (cùng phụ với $\widehat D$)

nên $\Delta ABC\backsim \Delta ADB\left( g.g \right)$

suy ra $\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AB}}$

Do đó $A{B^2} = AD.AC$

Suy ra $AB = \sqrt {AD.AC}  = \sqrt {16.12,25}  = 14$

Vậy khoảng cách AB là 14m.