Đề cuối học kì 1 Toán 8 năm 2025 – 2026 trường THCS Nậm Mòn – Lào Cai

Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.

Biểu thức chứa phép cộng, phép trừ giữa các biến không phải là đơn thức. Biểu thức chứa căn thức của biến (như $\sqrt{y}$) cũng không phải là đơn thức.

Xét các biểu thức đã cho:

$- 6x^{2}y$: Đơn thức.

$x^{3} - \dfrac{1}{2}xy$: Đa thức (có phép trừ).

$5z^{3}$: Đơn thức.

$- \dfrac{4}{7}yz^{2} \cdot 5$: Đơn thức.

$- 3x + 7y$: Đa thức (có phép cộng).

$(\sqrt{2} - 1)x$: Đơn thức (hệ số là $\sqrt{2} - 1$).

$x\sqrt{y}$: Không là đơn thức do chứa biến $y$ trong căn.

Vậy có 4 đơn thức là: $- 6x^{2}y$; $5z^{3}$; $- \dfrac{4}{7}yz^{2} \cdot 5$; $(\sqrt{2} - 1)x$.

Bậc của đơn thức thu gọn là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức đó.

Ta có: $2x^{2}y{(2y^{3})}^{2} = 2x^{2}y \cdot (4y^{6}) = (2 \cdot 4) \cdot x^{2} \cdot (y \cdot y^{6}) = 8x^{2}y^{7}$

Tổng số mũ của các biến $x$ và $y$ là: $2 + 7 = 9$.

Vậy bậc của đơn thức bằng $9$.

Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng:

${(A + B)}^{2} = A^{2} + 2AB + B^{2}$

Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng: ${(A + B)}^{2} = A^{2} + 2AB + B^{2}$

Đặt nhân tử chung $3$ ra ngoài.

Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: $x^{2} + 2xy + y^{2} = {(x + y)}^{2}$.

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: $A^{2} - B^{2} = (A - B)(A + B)$.

Ta có: $3x^{2} + 6xy + 3y^{2} - 12z^{2}$

$= 3\left\lbrack {(x^{2} + 2xy + y^{2}) - 4z^{2}} \right\rbrack$

$= 3\left\lbrack {{(x + y)}^{2} - {(2z)}^{2}} \right\rbrack$

$= 3(x + y - 2z)(x + y + 2z)$

Sử dụng các tính chất cơ bản của hình chữ nhật:

+ Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

+ Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật.

+ Tứ giác có hai cạnh kề bằng nhau là đặc điểm nhận biết hình vuông/hình thoi, không phải của mọi hình chữ nhật.

Khẳng định "Trong hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau" là sai (vì hình chữ nhật chỉ có hai cạnh kề bằng nhau khi nó là hình vuông).

Sử dụng các dấu hiệu nhận biết hình vuông từ hình thoi:

- Hình thoi có 1 góc vuông là hình vuông.

- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Hình thoi cần thêm yếu tố "Hai đường chéo bằng nhau" để trở thành hình vuông.

Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

Đường trung bình của tam giác đi qua trung điểm của hai cạnh của một tam giác

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác.

Vì $AD$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$, ta có:

$\dfrac{CD}{BD} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{9}{4}$

Số liệu rời rạc: Là số liệu đếm được, thường là các số tự nhiên (ví dụ: số học sinh, tuổi thọ tính theo năm).

Số liệu liên tục: Là số liệu có thể nhận mọi giá trị trong một khoảng thực (ví dụ: nhiệt độ, chiều cao, cân nặng).

Nhiệt độ trung bình (độ C) có thể nhận các giá trị thập phân bất kỳ trong một khoảng, nên đây là số liệu liên tục.

Để biểu diễn sự thay đổi của một đại lượng theo thời gian (các tháng trong năm), biểu đồ đoạn thẳng là phù hợp nhất.

Nhiệt độ thay đổi theo 12 tháng liên tiếp trong năm dùng biểu đồ đoạn thẳng.

Kiểm tra tổng số học sinh (Nam + Nữ) của từng câu lạc bộ từ biểu đồ sao cho bằng đúng 15 học sinh theo dữ kiện đề bài.

+ Cầu lông: 10 nam + 5 nữ = 15 (Đúng).

+ Bóng bàn: 7 nam + 9 nữ $= 16 \neq 15$ (Sai).

+ Cờ vua: 6 nam + 9 nữ =15 (Đúng).

Công thức tính tỉ lệ phần trăm giảm của giá trị $A$ so với giá trị $B$:

% giảm $= \dfrac{B - A}{B} \cdot 100\%$

Số lượt hành khách năm 2019: $58,8$ triệu lượt.

Số lượt hành khách năm 2020: $19,1$ triệu lượt.

Phần trăm giảm của năm 2020 so với năm 2019 là:

$\dfrac{58,8 - 19,1}{58,8} \cdot 100\% = \dfrac{39,7}{58,8} \cdot 100\% \approx 67,5\%$

Rút gọn $G$ bằng cách chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức $x^{2}yz$.

Tìm $A = G - 14x^{3}y^{3}z^{2} + 6x^{2}z$.

Kiểm tra tính đúng/sai của từng khẳng định a, b, c, d.

Ta có:

$G = (7x^{5}y^{4}z^{3} - 3x^{4}yz^{2} + 2x^{2}y^{2}z):(x^{2}yz)$

$G = 7x^{3}y^{3}z^{2} - 3x^{2}z + 2y$

a) Đúng, do bậc của đa thức G là 3+3+2=8

b) Sai

Thay $x = 1\,;\,\, y = - 1\,;\,\, z = 1$ vào biểu thức G ta được:

$G = 7{(1)}^{3}{( - 1)}^{3}{(1)}^{2} - 3{(1)}^{2}(1) + 2( - 1) = - 7 - 3 - 2 = - 12 \neq 12.$

c) Sai

Ta có:

$A = G - 14x^{3}y^{3}z^{2} + 6x^{2}z$

$A = (7x^{3}y^{3}z^{2} - 3x^{2}z + 2y) - 14x^{3}y^{3}z^{2} + 6x^{2}z = - 7x^{3}y^{3}z^{2} + 3x^{2}z + 2y$

Đa thức A không có hạng tử tự do (các hạng tử đều chứa biến)

d) Đúng

Ta có: $A + G = ( - 7x^{3}y^{3}z^{2} + 3x^{2}z + 2y) + (7x^{3}y^{3}z^{2} - 3x^{2}z + 2y) = 4y$

Đây là một đơn thức.

Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác và tỉ số diện tích tam giác có cùng chiều cao.

Xét $\bigtriangleup BDC$ có $M$ là trung điểm $BC$, $ME//BD$

Suy ra $E$ là trung điểm $DC$

Hay $DE = EC = \dfrac{1}{2}DC$.

Mà $AD = \dfrac{1}{2}DC$.

Suy ra $AD = DE$

Do đó $D$ là trung điểm $AE$.

Xét $\bigtriangleup AME$ có $D$ là trung điểm $AE$, $DI//ME$

Suy ra $I$ là trung điểm $AM$.

a) Sai, do $AD = DE$.

b) Đúng

c) Đúng, Vì $I$ là trung điểm $AM$ nên $AI = IM$. Suy ra $S_{AIB} = S_{IMB}$

d) Sai, do $S_{IBC} = \dfrac{1}{2}S_{ABC}$ (do $I$ là trung điểm trung tuyến $AM$$)$

Suy ra $S_{ABC} = 2S_{IBC} \neq 3S_{IBC}$

Khai triển hằng đẳng thức, nhân đa thức với đa thức rồi thu gọn biểu thức.

Ta có:

$M = {(x + 3)}^{3} - (x + 9)(x^{2} + 27)$

$M = (x^{3} + 9x^{2} + 27x + 27) - (x^{3} + 27x + 9x^{2} + 243)$

$M = x^{3} + 9x^{2} + 27x + 27 - x^{3} - 9x^{2} - 27x - 243$

$M = 27 - 243 = - 216$

- Đổi dấu biểu thức $(3 - x)$ thành $- (x - 3)$ để xuất hiện nhân tử chung $(x - 3)$.

- Đặt nhân tử chung $(x - 3)$ đưa phương trình về dạng phương trình tích $A \cdot B = 0$

- Giải các phương trình bậc nhất để tìm các giá trị của $x$.

Ta có: $2x(x - 3) - 5(3 - x) = 0$

$2x(x - 3) + 5(x - 3) = 0$

$(x - 3)(2x + 5) = 0$

TH1: $x - 3 = 0$

Suy ra $x = 3$

TH2: $2x + 5 = 0$

Suy ra $x = - \dfrac{5}{2}$

Vậy $x \in \left\{ {3; - \dfrac{5}{2}} \right\}$, có 2 giá trị $x$ thỏa mãn.

- Sử dụng định lý tổng các góc trong tứ giác $MNPQ$: $\widehat{QMN} + \widehat{N} + \widehat{NPQ} + \widehat{Q} = 360^{{^\circ}}$.

- Tính tổng góc $\widehat{NPQ}$.

- Do $PM$ là tia phân giác của góc $\widehat{NPQ}$, suy ra $\widehat{MPQ} = \dfrac{1}{2}\widehat{NPQ}$.

Xét tứ giác $MNPQ$, ta có:

$\widehat{QMN} + \widehat{N} + \widehat{NPQ} + \widehat{Q} = 360^{{^\circ}}$ (Tổng các góc trong tứ giác)

Hay $110^{{^\circ}} + 120^{{^\circ}} + \widehat{NPQ} + 60^{{^\circ}} = 360^{{^\circ}}$

$290^{{^\circ}} + \widehat{NPQ} = 360^{{^\circ}}$

Suy ra $\widehat{NPQ} = 360^{{^\circ}} - 290^{{^\circ}} = 70^{{^\circ}}$

Vì $PM$ là tia phân giác của $\widehat{NPQ}$ nên:

$\widehat{MPQ} = \dfrac{\widehat{NPQ}}{2} = \dfrac{70^{{^\circ}}}{2} = 35^{{^\circ}}$

- Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác $ABC$: $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$

- Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức và đẳng thức $DB + DC = BC = 6\text{~cm}$ để tìm độ dài $DB$.

Vì $AD$ là đường phân giác trong $\Delta ABC$, theo tính chất đường phân giác ta có:

$\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$. Suy ra $DC = 2DB$.

Lại có, điểm $D$ thuộc cạnh $BC$ nên:

$DB + DC = BC$

$DB + 2DB = 6$

$3DB = 6$

$DB = 2\text{~cm}$

a) Nhận biết biểu đồ đoạn thẳng qua các đường nối điểm dữ liệu.

Dữ liệu trích từ "Niên giám thống kê 2021" là thu thập gián tiếp.

b) Tính tỉ số % tăng = (Giá trị năm 2020- Giá trị năm 2015) : Giá trị năm 2015 x 100%.

c) Tính tổng vốn các năm 2015, 2017, 2018, 2019.

Tỉ số % = (Vốn năm 2020 : Tổng vốn các năm còn lại) x 100%

a) Biểu đồ đã cho là biểu đồ đoạn thẳng.

Để thu được dữ liệu được biểu diễn ở biểu đồ trên, ta sử dụng phương pháp thu thập gián tiếp bằng cách truy cập website của Niên giám thống kê 2021.

b) Tỉ số phần trăm vốn sản xuất kinh doanh bình quân của doanh nghiệp nhà nước năm 2020 so với năm 2015 là: $\dfrac{10\,\, 284,2}{6\,\, 944,9} \cdot 100\% \approx 148,1\%$.

Vậy năm 2020 vốn sản xuất kinh doanh bình quân của doanh nghiệp nhà nước tăng khoảng $148,1\% - 100\% = 48,1\%$ so năm 2015.

c) Tổng tổng số vốn sản xuất kinh doanh bình quân của doanh nghiệp nhà nước trong các năm 2015; 1017; 2018; 2019 là:

$6\,\, 944,9 + 9\,\, 087,3 + 9\,\, 465,6 + 9\,\, 357,8 = 3\,\, 4855,6$ (nghìn tỉ đồng).

Tỉ số phần trăm vốn sản xuất kinh doanh bình quân của doanh nghiệp nhà nước trong năm 2020 và tổng số vốn sản xuất kinh doanh bình quân của doanh nghiệp nhà nước trong các năm còn lại (các năm 2015; 1017; 2018; 2019) là:

$\dfrac{1\,\, 0284,2}{3\,\, 4855,6} \cdot 100\% \approx 0,3\%$.

Vậy tỉ số phần trăm vốn sản xuất kinh doanh bình quân của doanh nghiệp nhà nước trong năm 2020 và tổng số vốn sản xuất kinh doanh bình quân của doanh nghiệp nhà nước trong các năm còn lại khoảng $0,3\%$.

a) Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác và áp dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành.

b) Chứng minh AGCI là hình thoi, sau đó tìm điều kiện để hình thoi là hình vuông: Hình thoi AGCI trở thành hình vuông khi có thêm $1$ góc vuông

a) Vì $G$, $F$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $AC$ nên $GF$ là đường trung bình của tam giác $ABC.$

Suy ra $GF\,\text{//}\, AB$ nên $BE\,\text{//}\, IF$.

Tứ giác $BEIF$ có $BE\,\text{//}\, IF$ (cmt) và $BF\,\text{//}\, IE$ (gt).

Do đó, tứ giác $BEIF$ là hình bình hành.

b) Ta có $GF\,\text{//}\, AB$ và $AC\bot AB$ nên $AC\bot GF$.

Ta thấy $IF = BE$ (vì tứ giác $BEIF$ là hình bình hành).

Mà $GF$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $GF = \dfrac{1}{2}AB = BE$.

Do đó, $GF = IF = BE$ nên $F$ là trung điểm của $IG.$

Tứ giác $AGCI$ có hai đường chéo $AC$ và $IG$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Suy ra, tứ giác $AGCI$ là hình bình hành.

Hình bình hành $AGCI$ có hai đường chéo $AC$ và $IG$ vuông góc với nhau nên tứ giác $AGCI$ là hình thoi.

Để tứ giác $AGCI$ là hình vuông thì $\widehat{AGC} = 90{^\circ}$.

Khi đó, tam giác $ABC$ có $\widehat{AGC} = 90{^\circ}$ nên tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$.

Vậy để tứ giác $AGCI$ là hình vuông thì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$.