Đề thi học kì 1 Toán 8 - Đề số 3

+ Đa thức nhiều biến (hay đa thức) là một tổng của những đơn thức.

+ Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

Đa thức $A = 2{x^2} + 3{y^3} - 2xy + 7x - 2$ có 5 hạng tử là $2{x^2};3{y^3}; - 2xy;7x; - 2$.

Đáp án C

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp chia hết), ta chia từng hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.

Ta có:

$\begin{array}{l}\left(3x^5-2x^3+8x^2\right):2x^2\\ =3x^5:2x^2-2x^3:2x^2+8x^2:2x^2\\ =\frac{3}{2}{x}^3-x+4\end{array}$$\begin{array}{l}\left( {3{x^5} - 2{x^3} + 8{x^2}} \right):2{x^2}\\ = 3{x^5}:2{x^2} - 2{x^3}:2{x^2} + 8{x^2}:2{x^2}\\ = \frac{3}{2}{x^3} - x + 4\end{array}$

Đáp án B

Thay $x = 4;y = 4$ vào biểu thức B để tính giá trị.

Thay $x = 4;y = 4$ vào B, ta được:

$\begin{array}{c}B=2.4-2.4+4^2-4^2\\ =\left(2.4-2.4\right)+\left(4^2-4^2\right)\\ =0\end{array}$$\begin{array}{c}B = 2.4 - 2.4 + {4^2} - {4^2}\\ = \left( {2.4 - 2.4} \right) + \left( {{4^2} - {4^2}} \right)\\ = 0\end{array}$

Đáp án D

Sử dụng kiến thức về hằng đẳng thức bình phương của một hiệu:

${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$.

Khai triển hằng đẳng thức ${\left( {2x - 3} \right)^2}$, ta được:

$\begin{array}{c}{\left(2x-3\right)}^2={\left(2x\right)}^2-2.2x.3+3^2\\ =4x^2-12x+9\end{array}$$\begin{array}{c}{\left( {2x - 3} \right)^2} = {\left( {2x} \right)^2} - 2.2x.3 + {3^2}\\ = 4{x^2} - 12x + 9\end{array}$

Đáp án A

Sử dụng kiến thức về hằng đẳng thức lập phương của một tổng:

${\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}$.

$\begin{array}{l}{A}^3+3A^{2}B+3A{B}^2+B^3=x^3+6x^2+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+8\\ =x^3+3.x^2.2+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+2^3={\left(x+2\right)}^3={\left(A+B\right)}^3\end{array}$$\begin{array}{l}{A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3} = {x^3} + 6{x^2} + ... + 8\\ = {x^3} + 3.{x^2}.2 + ... + {2^3} = {\left( {x + 2} \right)^3} = {\left( {A + B} \right)^3}\end{array}$

nên ta có $A = x,B = 2$.

Suy ra $... = 3.x{.2^2} = 12x$.

Đáp án C

Sử dụng các dấu hiệu nhận biết của hình vuông.

Hình 2 là tứ giác có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau nên là hình vuông.

Đáp án B

Dựa vào tính chất đường trung bình: Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.

Tam giác cân có hai góc kề đáy bằng nhau.

Áp dụng dấu hiệu nhận biết các hình đã học (kiểm tra xem đây là dấu hiệu nhận biết của hình nào).

Vì D và E theo thứ tự là trung điểm cạnh bên AB, AC nên DE là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó DE // BC nên tứ giác BDEC là hình thang.

Mà tam giác ABC cân tại A nên $\widehat B = \widehat C$, do đó hình thang BDEC là hình thang cân (do có hai góc kề đáy BC bằng nhau).

Đáp án A

Sử dụng định lí về bốn góc trong một tứ giác.

Tổng các góc của một tứ giác bằng $360^\circ$.

Đáp án D

Sử dụng tính chất đường phân giác trong tam giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

Tam giác ABC có BD là tia phân giác trong của góc B ($D \in AC$) nên $\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{DC}}$. Do đó đáp án C đúng,

Đáp án C

Dựa vào tính chất đường trung bình: Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.

Vì AD = DB và AE = EC nên DE là đường trung bình của tam giác ABC, do đó $DE = \frac{1}{2}BC$

hay $5 = \frac{1}{2}.\left( {2x - 1} \right)$

$\begin{array}{l}2x-1=5:\frac{1}{2}\\ 2x-1=10\\ 2x=11\\ x=\frac{11}{2}=5,5\end{array}$$\begin{array}{l}2x - 1 = 5:\frac{1}{2}\\2x - 1 = 10\\2x = 11\\x = \frac{{11}}{2} = 5,5\end{array}$

Đáp án A

- Dữ liệu định lượng là những dữ liệu thống kê là số (số liệu) được biểu diễn bằng số thực.

- Dữ liệu định tính là những dữ liệu thống kê không phải là số đươc biểu diễn bằng từ, chữ cái, kí hiệu,…

Dữ liệu định lượng trong bảng là “số bạn ưu thích: 12; 10; 5; 8”.

“Bữa sáng ưa thích: Bánh mỳ, Bánh bao, Xúc xích, Bánh kem” là dữ liệu định tính.

Vậy đáp án B đúng.

Đáp án B

Sử dụng kiến thức về hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:

${A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)$.

Ta có:

$\left( {x + 2y} \right)\left( {x - 2y} \right) = {x^2} - {\left( {2y} \right)^2} = {x^2} - 4{y^2}$

Đáp án C

Vận dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia đa thức.

a) $2x\left( {3x - 1} \right) - 6x\left( {x - 2} \right) + 5$

$\begin{array}{l}=6x^2-2x-6x^2+12x+5\\ =\left(6x^2-6x^2\right)+\left(-2x+12x\right)+5\\ =10x+5\end{array}$$\begin{array}{l} = 6{x^2} - 2x - 6{x^2} + 12x + 5\\ = \left( {6{x^2} - 6{x^2}} \right) + \left( { - 2x + 12x} \right) + 5\\ = 10x + 5\end{array}$

b) $\left( {2x - y} \right)\left( {4x - 3y} \right) - 20{x^3}{y^2}:\left( { - 2{x^2}y} \right)$

$\begin{array}{l}=8x^2-4xy-6xy+3y^2+10xy\\ =8x^2+\left(-4xy-6xy+10xy\right)+3y^2\\ =8x^2+3y^2\end{array}$$\begin{array}{l} = 8{x^2} - 4xy - 6xy + 3{y^2} + 10xy\\ = 8{x^2} + \left( { - 4xy - 6xy + 10xy} \right) + 3{y^2}\\ = 8{x^2} + 3{y^2}\end{array}$

a) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

b) Sử dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương để phân tích ${x^3} + {y^3}$, sau đó nhóm hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử.

c) Đặt nhân tử chung ra ngoài, sau đó biến đổi đa thức trong ngoặc thành hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để phân tích đa thức thành nhân tử.

a) $4{x^3} - 8{x^2} + 12x$

$= 4x\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)$

b) ${x^3} + {y^3} - 3x - 3y$

$\begin{array}{l}=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-3\left(x+y\right)\\ =\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2-3\right)\end{array}$$\begin{array}{l} = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) - 3\left( {x + y} \right)\\ = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2} - 3} \right)\end{array}$

c) ${x^3} + 2{x^2}y + x{y^2} - 4x$

$\begin{array}{l}=x\left(x^2+2xy+y^2-4\right)\\ =x\left[\left(x^2+2xy+y^2\right)-4\right]\\ =x\left[{\left(x+y\right)}^2-2^2\right]\\ =x\left(x+y-2\right)\left(x+y+2\right)\end{array}$$\begin{array}{l} = x\left( {{x^2} + 2xy + {y^2} - 4} \right)\\ = x\left[ {\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) - 4} \right]\\ = x\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - {2^2}} \right]\\ = x\left( {x + y - 2} \right)\left( {x + y + 2} \right)\end{array}$

a) Thu thập dữ liệu có thể là trực tiếp hoặc gián tiếp.

- Thu thập dữ liệu trực tiếp là việc thu thập dữ liệu thông qua quan sát, làm thí nghiệm, lập bảng hỏi, phỏng vấn,…

- Thu thập dữ liệu gián tiếp là việc thu thập dữ liệu từ những nguồn sẵn như sách, báo, mạng Internet,…

b) - Quan sát biểu đồ, xác định sản lượng khoai tây của xã năm 2018 và 2020 để so sánh.

Tỉ số phần trăm năm 2020 so với năm 2018 = sản lượng năm 2020 : sản lượng năm 2018 . 100% = a.

+ Nếu kết quả a > 100%, sản lượng năm 2020 tăng a – 100% so với năm 2018.

+ Nếu kết quả a < 100%, sản lượng năm 2020 giảm 100% - a so với năm 2018.

- So sánh sản lượng khoai tây qua các năm để đưa ra nhận xét.

a) Để thu thập được dữ liệu biểu diễn ở biểu đồ trên, người ta sử dụng phương pháp thu thập gián tiếp (có thể thu thập qua văn phòng thống kê của huyện).

b) - Ta thấy sản lượng khoai tây năm 2020 nhỏ hơn sản lượng khoai tây năm 2018 vì 10,4 < 14,5. Do đó sản lượng giảm.

Tỉ số phần trăm sản lượng khoai tây năm 2020 so với năm 2018 là: $\frac{{10,4}}{{14,5}}.100\% \approx 71,7\%$

Vậy sản lượng năm 2020 giảm so với năm 2018 là: $100\% - 71,7\% = 28,3\%$.

- Nhận xét: Dựa theo số liệu trên biểu đồ, ta thấy sản lượng khoai tây của xã giảm dần qua các năm 2018, 2020, 2021, 2022 (vì 14,5 > 10,4 > 10,2 > 8,4).

a) Dựa vào I là trung điểm của AC, I là trung điểm của M và tam giác ABC cân tại A có AM là trung tuyến để xác định AMCN là hình gì.

b) Chứng minh ABMN là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

c) Xác định xem AKMI là hình gì. Tìm thêm điều kiện để AKMI là hình vuông.

a) Xét tứ giác AMCN có:

IA = IC (I là trung điểm của AC)

IM = IN (I là trung điểm của MN)

Suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.

Xét tam giác ABC cân tại A, AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên $AM \bot BC$ hay $\widehat {AMC} = 90^\circ$.

Hình bình hành AMCN có $\widehat {AMC} = 90^\circ$ nên AMCN là hình chữ nhật.

b) Vì tứ giác AMCN là hình chữ nhật nên AN // MC hay AN // BM và AN = CM.

Do đó AN = BM (cùng bằng CM)

Xét tứ giác ABMN có:

AN = BM (cmt)

AN // BM (cmt)

suy ra ABMN là hình bình hành.

Nên hai đường chéo AM và BN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà E là trung điểm của AM nên E cũng là trung điểm của BN.

c) Xét tam giác ABC có:

M là trung điểm của BC (AM là đường trung tuyến)

I là trung điểm của AC

nên MI là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra MI // AB và MI = $\frac{1}{2}$ AB.

Mà K là trung điểm của AB nên AK = $\frac{1}{2}$ AB.

Do đó MI // AK và MI = AK (= $\frac{1}{2}$ AB)

Xét tứ giác AKMI có MI // AK và MI = AK nên AKMI là hình bình hành.

Mà AI = MI (vì AMCN là hình chữ nhật)

Do đó AKMI là hình thoi.

Để AKMI là hình vuông thì hình thoi AKMI cần có thêm góc vuông ở đỉnh.

Khi đó $\widehat {KAI} = 90^\circ$ hay tam giác ABC vuông tại A.

Mà tam giác ABC cân tại A.

Vậy để AKMI là hình vuông thì ta cần thêm điều kiện tam giác ABC vuông cân tại A.

Tìm $x,y$ thỏa mãn ${x^2} + 5{y^2} - 4x - 4xy + 6y + 5 = 0$ bằng cách đưa vế trái thành tổng của hai biểu thức bậc hai.

Thay giá trị $x,y$ tìm được vào P để tính giá trị.

Ta có:

$\begin{array}{l}{x}^2+5y^2-4x-4xy+6y+5=0\\ x^2-\left(4x+4xy\right)+5y^2+6y+5=0\\ \left[x^2-2x\left(2+2y\right)+\left(4+8y+4y^2\right)\right]+\left(y^2-2y+1\right)=0\\ \left[x^2-2x\left(2+2y\right)+{\left(2+2y\right)}^2\right]+{\left(y-1\right)}^2=0\\ {\left[x-\left(2+2y\right)\right]}^2+{\left(y-1\right)}^2=0\\ {\left(x-2y-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=0\end{array}$$\begin{array}{l}{x^2} + 5{y^2} - 4x - 4xy + 6y + 5 = 0\\{x^2} - \left( {4x + 4xy} \right) + 5{y^2} + 6y + 5 = 0\\\left[ {{x^2} - 2x\left( {2 + 2y} \right) + \left( {4 + 8y + 4{y^2}} \right)} \right] + \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) = 0\\\left[ {{x^2} - 2x\left( {2 + 2y} \right) + {{\left( {2 + 2y} \right)}^2}} \right] + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\\{\left[ {x - \left( {2 + 2y} \right)} \right]^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\\{\left( {x - 2y - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\end{array}$

Mà ${\left( {x - 2y - 2} \right)^2} \ge 0;{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x,y$.

Để ${\left( {x - 2y - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0$ thì ${\left( {x - 2y - 2} \right)^2} = 0$ và ${\left( {y - 1} \right)^2} = 0$.

+) ${\left( {y - 1} \right)^2} = 0$ khi $y - 1 = 0$, suy ra $y = 1$

+) Thay $y = 1$ vào ${\left( {x - 2y - 2} \right)^2} = 0$, ta được:

$\begin{array}{l}{\left(x-2.1-2\right)}^2=0\\ {\left(x-4\right)}^2=0\\ x-4=0\\ x=4\end{array}$$\begin{array}{l}{\left( {x - 2.1 - 2} \right)^2} = 0\\{\left( {x - 4} \right)^2} = 0\\x - 4 = 0\\x = 4\end{array}$

Thay $x = 4;y = 1$ vào P, ta được:

$\begin{array}{l}P={\left(4-3\right)}^{2023}+{\left(1-2\right)}^{2024}+{\left(4+1-5\right)}^{2025}\\ =1^{2023}+{\left(-1\right)}^{2024}+0^{2025}\\ =1+1+0\\ =2\end{array}$$\begin{array}{l}P = {\left( {4 - 3} \right)^{2023}} + {\left( {1 - 2} \right)^{2024}} + {\left( {4 + 1 - 5} \right)^{2025}}\\ = {1^{2023}} + {\left( { - 1} \right)^{2024}} + {0^{2025}}\\ = 1 + 1 + 0\\ = 2\end{array}$

Vậy P = 2.