Đề thi học kì 1 Toán 8 - Đề số 1

Bậc của đơn thức là tổng số mũ của các biến trong một đơn thức thu gọn với hệ số khác 0.

Đơn thức $2024x{y^3}{z^4}$ có bậc là: 1 + 3 + 4 = 8.

Đáp án C

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến.

Đơn thức đồng dạng với đơn thức $4{x^3}{y^2}$ phải có phần biến là ${x^3}{y^2}$ nên ta chọn đáp án A. $- 5{x^3}{y^2}$.

Đáp án A

Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: ${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$.

Ta có: ${\left( {2x - 1} \right)^2} = 4{x^2} - 4x + 1$.

Đáp án D

Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức: ta nhân lần lượt các hạng tử của đa thức này với các hạng tử của đa thức kia.

Ta có:

$\begin{array}{c}\left(x-2y\right)\left(2x+y\right)=2x^2-4xy+xy-2y^2\\ =2x^2-3xy-2y^2\end{array}$$\begin{array}{c}\left( {x - 2y} \right)\left( {2x + y} \right) = 2{x^2} - 4xy + xy - 2{y^2}\\ = 2{x^2} - 3xy - 2{y^2}\end{array}$

Đáp án B

Áp dụng các hằng đẳng thức bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu để rút gọn biểu thức.

${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$; ${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$.

Ta có:

$\begin{array}{c}2{\left(x+y\right)}^2-{\left(x-y\right)}^2=2\left(x^2+2xy+y^2\right)-\left(x^2-2xy+y^2\right)\\ =2x^2+4xy+2y^2-x^2+2xy-y^2\\ =\left(2x^2-x^2\right)+\left(4xy+2xy\right)+\left(2y^2-y^2\right)\\ =x^2+6xy+y^2\end{array}$$\begin{array}{c}2{\left( {x + y} \right)^2} - {\left( {x - y} \right)^2} = 2\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) - \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right)\\ = 2{x^2} + 4xy + 2{y^2} - {x^2} + 2xy - {y^2}\\ = \left( {2{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {4xy + 2xy} \right) + \left( {2{y^2} - {y^2}} \right)\\ = {x^2} + 6xy + {y^2}\end{array}$

Đáp án A

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương ${A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)$ để thực hiện phép chia được dễ dàng.

Ta có:

$\begin{array}{l}\left(x-1\right)P=x^3-1\\ \left(x-1\right)P=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\\ P=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right):\left(x-1\right)\\ P=x^2+x+1\end{array}$$\begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)P = {x^3} - 1\\\left( {x - 1} \right)P = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\\P = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right):\left( {x - 1} \right)\\P = {x^2} + x + 1\end{array}$

Đáp án C

Dựa vào các dấu hiệu nhận biết hình vuông đã học.

Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật nên A sai.

Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật nên B sai.

Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật nên C sai.

Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông nên D đúng.

Đáp án D

Sử dụng tính chất đường phân giác trong tam giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

Ta có AD là tia phân giác của góc A nên $\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}}$ hay $\frac{{1,6}}{{CD}} = \frac{2}{3}$.

Suy ra $CD = 1,6:\frac{2}{3} = 1,6.\frac{3}{2} = 2,4\left( {cm} \right)$

Đáp án D

Áp dụng Định lí Thalès trong tam giác: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Vì EF // BC nên $\frac{{AE}}{{BE}} = \frac{{AF}}{{CF}}$ hay $\frac{6}{4} = \frac{{AF}}{6}$, suy ra $AF = 6.\frac{6}{4} = 9\left( {cm} \right)$

Đáp án B

Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.

Chu vi của tam giác bằng tổng độ dài ba cạnh của tam giác.

Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC nên MN, NP, PM là ba đường trung bình của tam giác ABC, do đó $MN = \frac{1}{2}BC,NP = \frac{1}{2}AB,PM = \frac{1}{2}AC$.

Chu vi tam giác MNP là:

$\begin{array}{c}{C}_{\mathrm{\Delta }MNP}=MN+NP+PM\\ =\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AC\\ =\frac{1}{2}\left(BC+AB+AC\right)\\ =\frac{1}{2}{C}_{\mathrm{\Delta }ABC}=\frac{1}{2}.22=11\left(cm\right)\end{array}$$\begin{array}{c}{C_{\Delta MNP}} = MN + NP + PM\\ = \frac{1}{2}BC + \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}AC\\ = \frac{1}{2}\left( {BC + AB + AC} \right)\\ = \frac{1}{2}{C_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.22 = 11\left( {cm} \right)\end{array}$

Đáp án C

Xác định số học sinh học lực trung bình và số học sinh học lực khá để thực hiện phép tính.

Số học sinh học lực khá là: 124 học sinh.

Số học sinh học lực trung bình là: 60 học sinh.

Số học sinh học lực trung bình ít hơn số học sinh học lực khá là:

124 – 60 = 64 (học sinh)

Đáp án A

Dựa vào mục đích biểu diễn của các loại biểu đồ để lựa chọn biểu đồ thích hợp.

Biểu đồ tranh: Tạo sự lôi cuốn, thu hút bằng hình ảnh.

Biểu đồ cột: Sử dụng các chiều cao của các hình chữ nhật để biểu diễn số liệu. Thuận tiện trong việc so sánh.

Biểu đồ đoạn thẳng: Biểu diễn sự thay đổi số liệu của đối tượng theo thời gian.

Biểu đồ cột kép: So sánh một cách trực quan từng cặp số liệu của hai bộ dữ liệu cùng loại.

Biểu đồ hình quạt tròn: Biểu thị tỉ lệ phần trăm từng loại số liệu so với toàn thể.

Để biểu diễn số ngày trời không mưa, mưa nhỏ, mưa vừa, mưa to trong một tháng, ta nên sử dụng biểu đồ cột.

Đáp án D

a) Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích đa thức thành nhân tử.

b) Sử dụng phương pháp sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng, sau đó sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để phân tích đa thức thành nhân tử.

a) $5{x^2} + 20x$ $= 5x\left( {x + 4} \right)$

b) ${x^2} + 4x + 4 - {y^2}$ $= {\left( {x + 2} \right)^2} - {y^2}$ $= \left( {x + 2 - y} \right)\left( {x + 2 + y} \right)$

1.

a) Nhân đơn thức với đa thức để rút gọn vế trái.

b) Đặt nhân tử chung, đưa về dạng $A\left( x \right).B\left( x \right) = 0$ thì $A\left( x \right) = 0$ hoặc $B\left( x \right) = 0$.

2.

a) Đưa P về hằng đẳng thức bình phương của một hiệu sau đó thay $x = 304$ vào để tính giá trị của P.

b) Phân tích Q thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, sau đó thay $x = 55$ và $y = 44$ vào để tính giá trị của Q.

1.

a) $x\left( {x + 3} \right) - {x^2} = 45$

$\begin{array}{l}{x}^2+3x-x^2=45\\ 3x=45\\ x=15\end{array}$$\begin{array}{l}{x^2} + 3x - {x^2} = 45\\3x = 45\\x = 15\end{array}$

Vậy $x = 15$.

b) $x\left( {x - 1} \right) + 2x - 2 = 0$

$\begin{array}{l}x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)=0\\ \left(x+2\right)\left(x-1\right)=0\end{array}$$\begin{array}{l}x\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right) = 0\\\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\end{array}$

$x + 2 = 0$ hoặc $x - 1 = 0$

$x = - 2$ hoặc $x = 1$

Vậy $x = - 2$ hoặc $x = 1$.

2.

a) Ta có: $P = {x^2} - 8x + 16 = {\left( {x - 4} \right)^2}$

Thay $x = 304$ vào P, ta được: $P = {\left( {304 - 4} \right)^2} = {300^2} = 90\,000$

Vậy với $x = 304$ thì $P = 90\,000$.

b) Ta có: $Q = {\left( {x + 1} \right)^2} - {y^2} = \left( {x + 1 - y} \right)\left( {x + 1 + y} \right)$

Thay $x = 55$ và $y = 44$ vào Q, ta được:

$\begin{array}{l}Q=\left(55+1-44\right)\left(55+1+44\right)\\ =12.100=1200\end{array}$$\begin{array}{l}Q = \left( {55 + 1 - 44} \right)\left( {55 + 1 + 44} \right)\\ = 12.100 = 1200\end{array}$

Vậy với $x = 55$ và $y = 44$ thì $Q = 1200$.

a) Dựa vào mục đích biểu diễn của các loại biểu đồ để lựa chọn biểu đồ thích hợp.

Biểu đồ tranh: Tạo sự lôi cuốn, thu hút bằng hình ảnh.

Biểu đồ cột: Sử dụng các chiều cao của các hình chữ nhật để biểu diễn số liệu. Thuận tiện trong việc so sánh.

Biểu đồ đoạn thẳng: Biểu diễn sự thay đổi số liệu của đối tượng theo thời gian.

Biểu đồ cột kép: So sánh một cách trực quan từng cặp số liệu của hai bộ dữ liệu cùng loại.

Biểu đồ hình quạt tròn: Biểu thị tỉ lệ phần trăm từng loại số liệu so với toàn thể.

b) Doanh thu của cả hai chi nhánh bằng tổng doanh thu của hai chi nhanh trong hai năm.

a) Để biểu diễn doanh thu của hai chi nhánh một công ty trong bảng thống kê, ta có thể chọn biểu đồ cột kép để biểu diễn.

b) Trong giai đoạn 2022 – 2023, doanh thu của cả hai chi nhánh là:

$6 + 10 + 8 + 12 = 36$ (tỉ đồng).

a) Chứng minh tứ giác AEHF có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.

b) Chứng minh BD // AC suy ra $\widehat {CBD} = \widehat {BCF}$.

Chứng minh $\Delta FMC = \Delta DMB$ (g.c.g) suy ra MF = MD.

Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

c) Áp dụng định lí Thalès với HE // AC, HF // AB để suy ra các tỉ lệ bằng nhau.

Biến đổi để được điều phải chứng minh.

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat A = 90^\circ$

Vì E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC nên $HE \bot AB,HF \bot AC$, suy ra $\widehat {AEH} = \widehat {HFA} = 90^\circ$.

Xét tứ giác AEHF có $\widehat A = \widehat {AEH} = \widehat {HFA} = 90^\circ$ nên AEHF là hình chữ nhật.

b) Do tam giác ABC vuông ở A nên $AB \bot AC$. Mà $BD \bot AB$ nên $AC//BD$, do đó $\widehat {FCB} = \widehat {CBD}$ (hai góc so le trong)

Xét $\Delta FMC$ và $\Delta DMB$ có:

$\widehat {FCB} = \widehat {CBD}$ (cmt)

CM = BM (vì M là trung điểm của BC)

$\widehat {FMC} = \widehat {DMB}$ (hai góc so le trong)

Suy ra $\Delta FMC = \Delta DMB\left( {g.c.g} \right)$, do đó MF = MD (hai cạnh tương ứng).

Tứ giác BDCF có hai đường chéo BC và DF cắt nhau tại M và BM = MC, MF = MD nên BDCF là hình bình hành.

c) Vì AEHF là hình chữ nhật nên HE // AF, HF // AE nên HE // AC, HF // AB.

Áp dụng định lí Thalès trong tam giác, ta có:

$\frac{{BE}}{{AB}} = \frac{{BH}}{{BC}}$; $\frac{{CF}}{{AC}} = \frac{{CH}}{{BC}}$.

Do đó $\frac{{BE}}{{AB}} + \frac{{CF}}{{AC}} = \frac{{BH}}{{BC}} + \frac{{CH}}{{BC}} = \frac{{BC}}{{BC}} = 1$

Suy ra $\frac{{BE.AC}}{{AB.AC}} + \frac{{CF.AB}}{{AB.AC}} = \frac{{AB.AC}}{{AB.AC}}$, do đó $BE.AC + CF.AB = AB.AC$.

Áp dụng định lí Thales để tính khoảng cách BA. Biết BD = 3m, DC = 25m, BN = 6m.

Vì hai lề đường song song với nhau nên DN // AC. Áp dụng định lí Thalès trong tam giác, ta có:

$\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{BN}}{{AN}}$ hay $\frac{3}{{25}} = \frac{6}{{AN}}$, suy ra $AN = 6:\frac{3}{{25}} = 50\left( m \right)$.

Do đó $BA = BN + AN = 6 + 50 = 56\left( m \right)$

Vậy khoảng cách BA giữa An và trạm xe buýt là 56m.