Đề giữa học kì 1 Toán 8 năm 2025 – 2026 trường THCS Chu Văn An – Quảng Ngãi

Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến (không chứa phép cộng, phép trừ giữa các biến và không chứa biến ở mẫu thức).

$12x^{2}y$ là tích giữa số $12$ và các biến $x^{2},y$ nên là đơn thức.

$x(y + 1) = xy + x$ và $1 - 2x$ chứa phép cộng, phép trừ nên không phải đơn thức.

$\dfrac{5}{2x}$ chứa biến $x$ ở mẫu thức nên không phải đơn thức.

Thu gọn đơn thức bằng cách nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau. Hệ số của đơn thức thu được sau khi thu gọn chính là hệ số cần tìm.

Ta có: $2x^{2}y3xy^{2} = 6x^{3}y^{3}$

Hệ số của đơn thức trên là $6$.

Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.

Xác định bậc của từng hạng tử:

+ Hạng tử $xy$ có bậc là $1 + 1 = 2$.

+ Hạng tử $xy^{5}$ có bậc là $1 + 5 = 6$.

+ Hạng tử $x^{5}yz$ có bậc là $5 + 1 + 1 = 7$.

Bậc cao nhất là $7$. Do đó, bậc của đa thức là $7$.

Trong một đơn thức thu gọn, phần biến là phần chứa các chữ (biến số) cùng số mũ của chúng.

Đơn thức $- 7xyz$ có hệ số là $- 7$ và phần biến là $xyz$.

Đa thức là một tổng của những đơn thức. Biểu thức chứa biến ở mẫu hoặc nằm dưới dấu căn bậc hai không phải là đa thức.

Các biểu thức ở phương án A và C chứa biến ở mẫu số, biểu thức ở phương án B chứa biến dưới dấu căn nên không phải đa thức.

Biểu thức $2xy^{2} - 5xy$ là tổng (hiệu) của hai đơn thức $2xy^{2}$ và $- 5xy$ nên là đa thức.

Hằng đẳng thức là đẳng thức luôn đúng với mọi giá trị của các biến.

Ta có: $a(a - 2) = a.a - a.2 = a^{2} - 2a.$

Đẳng thức này luôn đúng với mọi giá trị của $a$.

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: $A^{2} - B^{2} = (A - B)(A + B)$.

Ta có: $4x^{2} - 25y^{2} = {(2x)}^{2} - {(5y)}^{2} = (2x - 5y)(2x + 5y)$

Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác: Tổng các góc của một tứ giác bằng $360^{{^\circ}}$.

Tổng số đo các góc trong một tứ giác bằng $360^{{^\circ}}$.

Áp dụng các dấu hiệu nhận biết hình thoi

Tứ giác có hai đường chéo vuông góc chưa chắc đã là hình thoi. Muốn là hình thoi thì tứ giác đó phải là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc. Do đó, khẳng định B sai.

Dựa vào định nghĩa hình thang cân: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Theo định nghĩa, hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình bình hành liên quan đến đường chéo: Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

“Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì tứ giác đó là hình bình hành”.

Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.

Để hình thang cân $ABCD$ là hình chữ nhật thì cần có thêm một góc vuông

Vậy $\widehat{BCD} = 90^{{^\circ}}$ thì $ABCD$ là hình chữ nhật.

Dựa vào các định nghĩa, tính chất và dấu hiệu nhận biết của hình thang, hình thang cân, hình chữ nhật và hình vuông.

Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau chưa chắc đã là hình thang cân

Ví dụ: Hình bình hành là hình thang có hai cạnh bên song song

Do đó, khẳng định A sai.

Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

Theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành, tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình vuông: Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

Hình chữ nhật MNPQ có $MP; NQ$ là hai đường chéo.

Nếu hình chữ nhật MNPQ có MP$\bot$NQ thì MNPQ là hình vuông.

Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành và hình thoi: Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.

Xét tứ giác ABCD ta có:

$AC, BD$ là hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mõi đường

Suy ra ABCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Lại có $AC\bot BD$

Suy ra ABCD là hình thoi (dấu hiệu nhận biết)

a) Thu gọn đa thức bằng cách nhóm các hạng tử đồng dạng, thực hiện phép cộng trừ hệ số giữ nguyên phần biến. Sau đó thay giá trị $x = 1,y = - 1$ vào đa thức đã thu gọn để tính toán.

b) Viết phép tính tổng $M + N$, thực hiện bỏ ngoặc, nhóm các hạng tử đồng dạng với nhau và thu gọn.

a) Ta có: $A = - 2x^{2}y + 5xy + 3x^{2}y - 7xy + 10$

$\begin{array}{l}=(-2x^{2}y+3x^{2}y)+(5xy-7xy)+10\\ =x^{2}y-2xy+10\end{array}$$\begin{array}{l} {= ( - 2x^{2}y + 3x^{2}y) + (5xy - 7xy) + 10} \\ {= x^{2}y - 2xy + 10} \end{array}$

Thay $x = 1$; $y = - 1$ vào biểu thức A, ta được:

$A = 1^{2}.( - 1) - 2.1.( - 1) + 10 = - 1 + 2 + 10 = 11$

Vậy giá trị của A bằng 11 khi $x = 1$; $y = - 1$.

b) Ta có: $M + N = (4x^{2} + x^{2}y - 5y^{2}) + (x^{2} - 6y^{2} - x^{2}y)$

$\begin{array}{l}=4x^2+x^{2}y-5y^2+x^2-6y^2-x^{2}y\\ =(4x^2+x^2)+(x^{2}y-x^{2}y)+(-5y^2-6y^2)\\ =5x^2-11y^2\end{array}$$\begin{array}{l} {= 4x^{2} + x^{2}y - 5y^{2} + x^{2} - 6y^{2} - x^{2}y} \\ {= (4x^{2} + x^{2}) + (x^{2}y - x^{2}y) + ( - 5y^{2} - 6y^{2})} \\ {= 5x^{2} - 11y^{2}} \end{array}$

a) Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức: $A(B + C) = AB + AC.$

b) Áp dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức: $(A + B - C):D = A:D + B:D - C:D$.

c) Thực hiện phép chia đa thức cho đơn thức, đồng thời thực hiện phép nhân hai đa thức. Sau đó phá ngoặc rồi thu gọn các hạng tử đồng dạng.

a) $2xy^{2}.(3x^{2}y - 7) = 2xy^{2}.3x^{2}y - 2xy^{2}.7 = 6x^{3}y^{3} - 12xy^{2}$

b) $(12x^{5}y^{3} + 8x^{4}y - 4x^{3}y):4x^{3}y$

$\begin{array}{l}=(12x^5{y}^3):(4x^{3}y)+(8x^{4}y):(4x^{3}y)-(4x^{3}y):(4x^{3}y)\\ =3x^2{y}^2+2x-1\end{array}$$\begin{array}{l} {= (12x^{5}y^{3}):(4x^{3}y) + (8x^{4}y):(4x^{3}y) - (4x^{3}y):(4x^{3}y)} \\ {= 3x^{2}y^{2} + 2x - 1} \end{array}$

c) $(4x^{4}y - 2x^{2}y - 12x^{2}y^{3}):2x^{2}y - (x + 3y)(2x - 2y)$

$\begin{array}{l}=(4x^{4}y):(2x^{2}y)-(2x^{2}y):(2x^{2}y)-(12x^2{y}^3):(2x^{2}y)-x.2x+x.2y-3y.2x+3y.2y\\ =2x^2-1-6y^2-2x^2+2xy-6xy+6y^2\\ =(2x^2-2x^2)+(2xy-6xy)+(6y^2-6y^2)-1\\ =-4xy-1\end{array}$$\begin{array}{l} {= (4x^{4}y):(2x^{2}y) - (2x^{2}y):(2x^{2}y) - (12x^{2}y^{3}):(2x^{2}y) - x.2x + x.2y - 3y.2x + 3y.2y} \\ {= 2x^{2} - 1 - 6y^{2} - 2x^{2} + 2xy - 6xy + 6y^{2}} \\ {= (2x^{2} - 2x^{2}) + (2xy - 6xy) + (6y^{2} - 6y^{2}) - 1} \\ {= - 4xy - 1} \end{array}$

Áp dụng định lí tổng bốn góc trong một tứ giác bằng $360^{{^\circ}}$

Trong tứ giác ABCD có:

$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360{^\circ}$ (Tổng các góc trong tứ giác)

Hay $50{^\circ} + 127{^\circ} + 102{^\circ} + \widehat{D} = 360{^\circ}$

Suy ra $\widehat{D} = 360{^\circ} - 50{^\circ} - 127{^\circ} - 102{^\circ} = 81{^\circ}$

a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

b) Hình bình hành là hình chữ nhật khi có một góc vuông. Từ điều kiện góc $\widehat{AMC} = 90^{{^\circ}}$, ta suy ra mối quan hệ giữa đường trung tuyến và đường cao trong tam giác ABC.

a) Xét tứ giác AMCP ta có:

N là trung điểm của AC (gt)

N là trung điểm của MP (gt)

AC, MP là hai đường chéo

Suy ra, tứ giác AMCP là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

b) Để hình bình hành AMCP trở thành hình chữ nhật thì $\widehat{AMC} = 90^{0}$.

Hay CM $\bot$ AB (1)

Mà CM là đường trung tuyến ứng với cạnh AB của $\Delta$ ABC (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\Delta$ ABC là tam giác cân tại C.

a) Biến đổi biểu thức $A$ về dạng bình phương một hiệu cộng (hoặc trừ) một hằng số. Sau đó tìm giá trị nhỏ nhất

b) Từ giả thiết $a + b + c + d = 0$, rút ra mối liên hệ $b + c = - (a + d)$. Sử dụng hằng đẳng thức lập phương của một tổng ${(x + y)}^{3} = x^{3} + y^{3} + 3xy(x + y)$ biến đổi hai vế để đi đến đẳng thức cần chứng minh.

a) $A = 2x^{2} - 6x$

$A = 2.\left( {x - \dfrac{3}{2}} \right)^{2} - \dfrac{9}{2}$

Vì $2\left( {x - \dfrac{3}{2}} \right)^{2} \geq 0$ với mọi $x$ nên $2.\left( {x - \dfrac{3}{2}} \right)^{2} - \dfrac{9}{2} \geq - \dfrac{9}{2}$.

Dấu “=” xảy ra khi $\left( {x - \dfrac{3}{2}} \right)^{2} = 0$ hay $x = \dfrac{3}{2}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là  $- \dfrac{9}{2}$ khi $x = \dfrac{3}{2}$

b) Ta có: $a + b + c + d = 0$

Suy ra $b + c = - (a + d)$

Suy ra ${(b + c)}^{3} = - {(a + d)}^{3}$

Suy ra $b^{3} + c^{3} + 3bc(b + c) = - \lbrack a^{3} + d^{3} + 3ad(a + d)\rbrack$

Suy ra $a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3} = - 3ad(a + d) - 3bc(b + c) = 3ad(b + c) - 3bc(b + c) = 3(b + c)(ad - bc)$