Đề thi giữa học kì 1 Toán 8 - Đề số 5

Sử dụng lý thuyết về đơn thức thu gọn:

Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến mà mỗi biến đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương. Số nói trên gọi là hệ số, phần còn lại gọi là phần biến của đơn thức thu gọn.

Đơn thức $- 36a^{2}b^{2}x^{2}y^{3}$ với a,b là hằng số có hệ số là $- 36a^{2}b^{2}.$

Thay $x = 2;y = \dfrac{1}{3}$ vào đa thức rồi tính toán.

Thay $x = 2;y = \dfrac{1}{3}$ vào đa thức $4x^{2}y - \dfrac{2}{3}xy^{2} + 5xy - x$ ta được $4.2^{2}.\dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{3}.2.\left( \dfrac{1}{3} \right)^{2} + 5.2.\dfrac{1}{3} - 2$$= \dfrac{176}{27}$.

Sử dụng các công thức $\left( {A + B} \right)^{2} = A^{2} + 2AB + B^{2}$, $\left( {A - B} \right)^{2} = A^{2} - 2AB + B^{2}$ , $A^{2} - B^{2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)$

Ta có $\left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right) = \left( {x + y} \right)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2} \neq y^{2} - x^{2}$ nên câu D sai.

Sử dụng công thức $A^{2} - B^{2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)$ để đưa về dạng tìm $x$ thường gặp

Ta có $\left( {2x - 1} \right)^{2} - \left( {5x - 5} \right)^{2} = 0$

$\left( {2x - 1 + 5x - 5} \right)\left( {2x - 1 - 5x + 5} \right) = 0$

$\left( {7x - 6} \right)\left( {4 - 3x} \right) = 0$

TH1: $7x - 6 = 0$

$x = \dfrac{6}{7}$

TH2: $4 - 3x = 0$

$x = \dfrac{4}{3}$

Vậy có hai giá trị của $x$ thỏa mãn yêu cầu.

Sử dụng công thức lập phương của một tổng $\left( {A + B} \right)^{3}$$= A^{3} + 3A^{2}B + 3AB^{2} + B^{3}$ và lập phương của một hiệu

$\left( {A - B} \right)^{3}$$= A^{3} - 3A^{2}B + 3AB^{2} - B^{3}$

Ta có $8 + 12y + 6y^{2} + y^{3} = 2 3 + 3.2 2 y + 3.2. y 2 + y 3 = 2^{3} + 3.2^{2}y + 3.2.y^{2} + y^{3} = 2 3 + 3. 2 2 y + 3.2. y 2 + y 3 = \left( {2 + y} \right)^{3} \neq \left( {8 + y^{3}} \right)$ nên A sai.

+ Xét  $\left( {2x - y} \right)^{3} = ( 2 x ) 3 - 3. ( 2 x ) 2 . y + 3.2 x . y 2 - y 3 = \left( {2x} \right)^{3} - 3.\left( {2x} \right)^{2}.y + 3.2x.y^{2} - y^{3} = ( 2 x ) 3 - 3. ( 2 x ) 2 . y + 3.2 x . y 2 - y 3 = 8x^{3} - 12x^{2}y + 6xy - y^{3}$$\neq 2x^{3} - 6x^{2}y + 6xy - y^{3}$ nên C sai.

+ Xét $\left( {3a + 1} \right)^{3} = ( 3 a ) 3 + 3. ( 3 a ) 2 .1 + 3.3 a .1 2 + 1 = \left( {3a} \right)^{3} + 3.\left( {3a} \right)^{2}.1 + 3.3a.1^{2} + 1 = ( 3 a ) 3 + 3. ( 3 a ) 2 .1 + 3.3 a . 1 2 + 1 = 27a^{3} + 27a^{2} + 9a + 1$$\neq 3a^{3} + 9a^{2} + 3a + 1$ nên D sai

Ta sử dụng tính chất tam giác vuông cân, tam giác cân và tổng ba góc trong tam giác bằng $180^{{^\circ}}$ .

Xét tam giác ABC có $\left. \widehat{B} = 90^{{^\circ}};AB = BC\Rightarrow\Delta ABC \right.$ vuông cân $\widehat{BAC} = \widehat{BCA} = \dfrac{90^{{^\circ}}}{2} = 45^{{^\circ}}$

Xét tam giác ADC có $CD = DA$ nên $\Delta ADC$ cân tại $D$

Lại có: $\widehat{ADC} = 120^{{^\circ}}$ nên $\widehat{DAC} = \widehat{DCA} = \dfrac{180^{{^\circ}} - 120^{{^\circ}}}{2} = 30^{{^\circ}}$

Từ đó ta có $\widehat{A} = \widehat{BAD} = \widehat{BAC} + \widehat{CAD} = 45^{{^\circ}} + 30^{{^\circ}} = 75^{{^\circ}}$

Và $\widehat{C} = \widehat{BCD} = \widehat{BCA} + \widehat{ACD} = 45^{{^\circ}} + 30^{{^\circ}} = 75^{{^\circ}}$

Nên $\widehat{A} = \widehat{C} = 75^{{^\circ}}$.

Ta sử dụng tính chất của hình thang: Ta thấy góc $A$ và $D$ là hai góc trong cùng phía nên $\widehat{A} + \widehat{D} = 180^{0}$ từ đó ta suy ra số đo góc A.

Xét hình thang ABCD ta có: $\widehat{A} + \widehat{D} = 180^{0}$ (Hai góc kề cạnh AD)

Suy ra $\widehat{A} = 180^{0} - \widehat{D} = 180^{0} - 70^{0} = 110^{0}$

Dựa vào tính chất của các hình đã học.

Hình thoi và hình vuông đều có hai đường chéo vuông góc với nhau.

a) Sử dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia đa thức và những hằng đẳng thức đáng nhớ để rút gọn.

b) Thay x, y vào A để tính giá trị.

a) $A = 3x(2x - y) + (x - y)(x + y) - 7x^{2} + y^{2}$

$\begin{array}{l}=6x^2-3xy+x^2-y^2-7x^2+y^2\\ =-3xy\end{array}$$\begin{array}{l} {= 6x^{2} - 3xy + x^{2} - y^{2} - 7x^{2} + y^{2}} \\ {= - 3xy} \end{array}$

b) Thay x = $\dfrac{- 2}{3}$ và y = 2 vào A, ta được:

$A = - 3.\left( \dfrac{- 2}{3} \right).2 = 4$.

Vậy A = -3xy, giá trị của A tại x = $\dfrac{- 2}{3}$ và y = 2 là 4.

Dựa vào các hằng đẳng thức đáng nhớ, phân tích đa thức thành nhân tử để tìm x.

a) $\left( {x - 3} \right)^{2} - x^{2} = 0$

$\begin{array}{l}(x-3-x)(x-3+x)=0\\ -3.(2x-3)=0\\ 2x-3=0\\ x={\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$\begin{array}{l} {(x - 3 - x)(x - 3 + x) = 0} \\ {- 3.(2x - 3) = 0} \\ {2x - 3 = 0} \\ {x = \dfrac{3}{2}} \end{array}$

Vậy $x = \dfrac{3}{2}$

b) $x^{3} - 5x^{2} - 9x + 45 = 0$

$\begin{array}{l} {x^{2}(x - 5) - 9(x - 5) = 0} \\ {(x^{2} - 9)(x - 5) = 0} \\ {(x - 3)(x + 3)(x - 5) = 0} \\ \left\lbrack \begin{array}{l} {x - 3 = 0} \\ {x + 3 = 0} \\ {x - 5 = 0} \end{array} \right. \\ \left\lbrack$$\begin{array}{l} {x = 3} \\ {x = - 3} \\ {x = 5} \end{array}$ \right. \end{array}

Vậy x =3, x = -3 hoặc x = 5.

c) $\left( {5x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right) - \left( {2x - 1} \right)^{2} + 4 = 0$

$\begin{array}{l} {\left( {5x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right) - \left( {2x - 1} \right)^{2} + 4 = 0} \\ {\left( {5x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right) - \left\lbrack {\left( {2x - 1} \right) - 4} \right\rbrack = 0} \\ {\left( {5x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right) - \left( {2x - 1 - 2} \right)\left( {2x - 1 + 2} \right) = 0} \\ {\left( {5x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right) - \left( {2x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0} \\ {\left( {5x - 3 - 2x + 3} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0} \\ {3x\left( {2x + 1} \right) = 0} \\ \left\lbrack \begin{array}{l} {x = 0} \\ {2x + 1 = 0} \end{array} \right. \\ \left\lbrack$$\begin{array}{l} {x = 0} \\ {x = - \dfrac{1}{2}} \end{array}$ \right. \end{array}

Vậy x = 0 hoặc x = $- \dfrac{1}{2}$.

a) Dựa vào dấu hiệu nhận biết các hình đã học.

b) Theo a) suy ra $HA \parallel BM$, $AK \parallel MC$ $\Rightarrow$ $H$, $A$, $K$ thẳng hàng.

Lại có $AH = AM = AK$ $\Rightarrow$ $H$, $K$ đối xứng với nhau qua $A$.

c) Để hình chữ nhật $AEMF$ là hình vuông thì cần thêm điều kiện $AE = EM$. $\Rightarrow$ $AB = AC$. Vậy tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$.

a) Xét tứ giác AEMF, ta có:

$\begin{array}{l}\widehat{MFA}={90}^0(doMF\mathrm{\perp }AC)\\ \widehat{FAE}={90}^0(gt)\\ \widehat{MEA}={90}^0(doME\mathrm{\perp }AB)\end{array}$$\begin{array}{l} {\widehat{MFA} = 90^{0}(do\, MF\bot AC)} \\ {\widehat{FAE} = 90^{0}(gt)} \\ {\widehat{MEA} = 90^{0}(do\, ME\bot AB)} \end{array}$

Do đó, AEMF là hình chữ nhật.

Vì tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên AM = MB = MC = $\dfrac{1}{2}BC$.

Suy ra, tam giác AMB cân tại M.

Vì ME $\bot$ AB nên ME đồng thời là đường trung tuyến hay E là trung điểm của AB.

Suy ra AE = EB.

Mà MH $\bot$ AB tại E.

Do đó, AMBH là hình thoi.

Chứng minh tương tự, ta cũng có AMCK là hình thoi.

b) Vì AMCK là hình thoi nên AK // CM, AK = CM.

Tương tự, ta cũng có AH // BM, AH = BM.

Suy ra K, A, H thẳng hàng và AK = AH = BM = CM.

hay H đối xứng với K qua A.

c) Để AEMF là hình vuông thì AE = MF, mà AE = $\dfrac{1}{2}$ AB.

ME = $\dfrac{1}{2}$ AC.

Nên AB = AC hay tam giác ABC vuông cân tại A thì AEMF là hình vuông.

Dựa vào hằng đẳng thức $\left( {a + b} \right)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$ để suy ra ${(a + b + c)}^{3}$. Thay a + b + c = 0 để chứng minh.

Vì $a + b + c = 0$ nên $\left( {a + b + c} \right)^{3} = 0$.

Phân tích $\left( {a + b + c} \right)^{3}$ ta được $\left( {a + b + c} \right)^{3} = a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + 3b^{2}c + 3bc^{2} + 3a^{2}c + 3ac^{2} + 6abc$

$a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + 3b^{2}c + 3bc^{2} + 3a^{2}c + 3ac^{2} + 6abc = 0$

$a^{3} + b^{3} + c^{3} + \left( {3a^{2}b + 3ab^{2} + 3abc} \right) + \left( {3b^{2}c + 3bc^{2} + 3abc} \right) + \left( {3a^{2}c + 3ac^{2} + 3abc} \right) - 3abc = 0$

$a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3ab\left( {a + b + c} \right) + 3bc\left( {a + b + c} \right) + 3ac\left( {a + b + c} \right) = 3abc$

$Do a + b + c = 0$

Suy ra $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc$ (đpcm).