Đề thi giữa học kì 1 Toán 8 - Đề số 4

Dựa vào khái niệm đơn thức: Đơn thức là một biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc một biến, hoặc có dạng tích của những số và biến.

Trong các biểu thức trên, chỉ có biểu thức $x^{2}y + 14xy^{2}$ không phải là đơn thức vì có chứa phép cộng.

Cộng, trừ các hạng tử đồng dạng để rút gọn.

$\begin{array}{l}M=x^{2}y-{\displaystyle \frac{1}{3}}y-{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^{2}y{z}^5+8x^{2}y+{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^{2}y{z}^5\\ =x^{2}y+8x^{2}y-{\displaystyle \frac{1}{3}}y-{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^{2}y{z}^5+{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^{2}y{z}^5\\ =(x^{2}y+8x^{2}y)-{\displaystyle \frac{1}{3}}y-\left({\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^{2}y{z}^5-{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^{2}y{z}^5\right)\\ =9x^{2}y-{\displaystyle \frac{1}{3}}y-0\\ =9x^{2}y-{\displaystyle \frac{1}{3}}y\end{array}$$\begin{array}{l} {M = x^{2}y - \dfrac{1}{3}y - \dfrac{2}{3}x^{2}yz^{5} + 8x^{2}y + \dfrac{2}{3}x^{2}yz^{5}} \\ {= x^{2}y + 8x^{2}y - \dfrac{1}{3}y - \dfrac{2}{3}x^{2}yz^{5} + \dfrac{2}{3}x^{2}yz^{5}} \\ {= (x^{2}y + 8x^{2}y) - \dfrac{1}{3}y - \left( {\dfrac{2}{3}x^{2}yz^{5} - \dfrac{2}{3}x^{2}yz^{5}} \right)} \\ {= 9x^{2}y - \dfrac{1}{3}y - 0} \\ {= 9x^{2}y - \dfrac{1}{3}y} \end{array}$

Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức.

$\begin{array}{l}5x^2\left(2x^4-1\right)=5x^2.2x^4-5x^2.1\\ =(5.2)\left(x^2\mathrm{.}{x}^4\right)-5x^2\\ =10x^6-5x^2\end{array}$$\begin{array}{l} {5x^{2}\left( {2x^{4} - 1} \right) = 5x^{2}.2x^{4} - 5x^{2}.1} \\ {= (5.2)\left( {x^{2}.x^{4}} \right) - 5x^{2}} \\ {= 10x^{6} - 5x^{2}} \end{array}$

Dựa vào kiến thức của những hằng đẳng thức đáng nhớ.

$x^{2} - 4y^{2} = \left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)$.

Dựa vào kiến thức của những hằng đẳng thức đáng nhớ.

$M = \left( {x - y} \right)\left( {x^{2} + y^{2} + xy} \right) = x^{3} - y^{3}$.

Thay $x = 1;y = - 2$ vào M, ta được $M = 1^{3} - \left( {- 2} \right)^{3} = 1 - \left( {- 8} \right) = 1 + 8 = 9$.

Dựa vào đặc điểm của bậc chẵn.

Ta có: $\left. {(x - 3)}^{2} \geq 0\Leftrightarrow - {(x - 3)}^{2} \leq 0 \right.$ với mọi $x \in {\mathbb{R}}$ nên $A = - \left( {x - 3} \right)^{2} + 2023 \leq 0 + 2023 = 2023$ với mọi $x \in {\mathbb{R}}$.

Dấu bằng xảy ra chính là giá trị lớn nhất của biểu thức A.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 2023.

Để đa thức A chia hết cho đơn thức B thì mọi biến của đa thức A phải có bậc lớn hơn hoặc bằng bậc của các biến trong đơn thức B.

Để đa thức A chia hết cho đơn thức B thì biến x, y trong A phải có bậc lớn hơn hoặc bằng bậc của biến x, y trong B.

Ta có:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {n \geq 3} \\ {3 \geq n} \end{array} \right. \\ {n = 3} \end{array}$

Suy ra n = 3.

Dựa vào công thức tính diện tích hình vuông để viết đa thức.

Tổng diện tích các mặt chính là diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật.

Chu vi đáy: $(3a + 2a).2 = 5a.2 = 10a$

Diện tích xung quanh: $10a \cdot h = 10ah.$

Tổng diện tích hai đáy: $3a \cdot 2a \cdot 2 = 12a^{2}.$

Suy ra tổng diện tích các mặt của hình hộp chữ nhật đó là $S = 12a^{2} + 10ah.$

Đa thức cần tìm là $S = 12a^{2} + 10ah.$

Dựa vào tính chất của hình bình hành và định lí tổng các góc của một tứ giác bằng 360⁰.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: $\widehat{A} = \widehat{C};\widehat{B} = \widehat{D}$.

Vì $\widehat{A} = 2\widehat{B}$ nên $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 2\widehat{A} + 2\widehat{B} = 2\widehat{A} + \widehat{A} = 3\widehat{A} = 360^{0}$

Suy ra $\widehat{A} = 120^{0}$.

Do đó $\widehat{B} = \widehat{D} = \dfrac{120^{0}}{2} = 60^{0}$.

Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình bình hành.

Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau không phải dấu hiệu nhận biết một hình bình hành.

Hai góc kề một cạnh bên của hình thang bù nhau.

Ta có góc A và góc D là hai góc kề một cạnh bên nên

$\begin{array}{l}\widehat{A}+\widehat{D}={180}^0\\ {110}^0+\widehat{D}={180}^0\\ \widehat{D}={180}^0-{110}^0={70}^0\end{array}$$\begin{array}{l} {\widehat{A} + \widehat{D} = 180^{0}} \\ {110^{0} + \widehat{D} = 180^{0}} \\ {\widehat{D} = 180^{0} - 110^{0} = 70^{0}} \end{array}$

Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình bình hành và hình chữ nhật.

Khẳng định B là khẳng định đúng, các khẳng định khác chưa đủ điều kiện để nhận biết hình.

Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức.

a) $8xy^{2} - 8xy + 2x$

$\begin{array}{l}=2x\left(4y^2-4y+1\right)\\ =2x{\left(2y-1\right)}^2\end{array}$$\begin{array}{l} {= 2x\left( {4y^{2} - 4y + 1} \right)} \\ {= 2x\left( {2y - 1} \right)^{2}} \end{array}$

b) $25\left( {x + 5} \right)^{2}- 9\left( {x + 7} \right)^{2}$

$\begin{array}{l}={\left[5\left(x+5\right)\right]}^2-{\left[3\left(x+7\right)\right]}^2\\ =\left[5\left(x+5\right)-3\left(x+7\right)\right]\left[5\left(x+5\right)+3\left(x+7\right)\right]\\ =\left(5x+25-3x-21\right)\left(5x+25+3x+21\right)\\ =\left(2x+4\right)\left(8x+46\right)\\ =2\left(x+2\right).2\left(4x+23\right)\\ =4\left(x+2\right)\left(4x+23\right)\end{array}$$\begin{array}{l} {= \left\lbrack {5\left( {x + 5} \right)} \right\rbrack^{2}-\ \left\lbrack {3\left( {x + 7} \right)} \right\rbrack^{2}} \\ {= \left\lbrack {5\left( {x + 5} \right) - 3\left( {x + 7} \right)} \right\rbrack\left\lbrack {5\left( {x + 5} \right) + 3\left( {x + 7} \right)} \right\rbrack} \\ {= \left( {5x + 25 - 3x - 21} \right)\left( {5x + 25 + 3x + 21} \right)} \\ {= \left( {2x + 4} \right)\left( {8x + 46} \right)} \\ {= 2\left( {x + 2} \right).2\left( {4x + 23} \right)} \\ {= 4\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 23} \right)} \end{array}$

c) 3x² + 4x – 4

$\begin{array}{l}3x^2+6x-2x-4\\ =2x\left(x+2\right)-2\left(x+2\right)\\ =\left(x+2\right)\left(2x-2\right)\\ =2\left(x+2\right)\left(x-1\right)\end{array}$$\begin{array}{l} {3x^{2} + 6x - 2x-4} \\ {= 2x\left( {x + 2} \right) - 2\left( {x + 2} \right)} \\ {= \left( {x + 2} \right)\left( {2x - 2} \right)} \\ {= 2\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \end{array}$

1) Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức để tìm x.

2) Rút gọn biểu thức để chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào x

a) $\left( {x - 3} \right)\left( {x^{2} + 3x + 9} \right) - x\left( {x^{2} - 4} \right) = 1$

$\begin{array}{l}{x}^3-3^3-x^3+4x-1=0\\ 4x-28=0\\ 4x=28\\ x=7\end{array}$$\begin{array}{l} {x^{3} - 3^{3} - x^{3} + 4x - 1 = 0} \\ {4x - 28 = 0} \\ {4x = 28} \\ {x = 7} \end{array}$

Vậy x = 7.

b) $3x^{2} + 7x = 10$

$\begin{array}{l} {3x^{2} + 7x - 10 = 0} \\ {\left( {3x^{2} - 3} \right) + \left( {7x - 7} \right) = 0} \\ {3\left( {x^{2} - 1} \right) + 7\left( {x - 1} \right) = 0} \\ {3\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 7\left( {x - 1} \right) = 0} \\ {\left( {x - 1} \right)\left( {3x + 3 + 7} \right) = 0} \\ {\left( {x - 1} \right)\left( {3x + 10} \right) = 0} \\ \left\lbrack \begin{array}{l} {x - 1 = 0} \\ {3x + 10 = 0} \end{array} \right. \\ \left\lbrack$$\begin{array}{l} {x = 1} \\ {x = - \dfrac{10}{3}} \end{array}$ \right. \end{array}

Vậy x = 1 hoặc x = $- \dfrac{10}{3}$.

2) A = (x – 3)(x + 2) + (x – 4)(x + 4) – (2x – 1)x

= x² – 3x + 2x – 6 + x² – 16 – 2x² + x

= (x² + x² – 2x²) + (-3x + 2x + x) + (-6 – 16)

= 0 + 0 – 22

= - 22.

Vậy A không phụ thuộc vào x.

a) Sử dụng công thức tính diện tích và chu vi của hình chữ nhật để viết biểu thức.

b) Biểu diễn chiều rộng của hình chữ nhật mới theo chiều rộng của hình chữ nhật cũ và tính chu vi hình chữ nhật mới.

a) Công thức biểu thị diện tích hình chữ nhật là: S = x.y (m²).

Công thức biểu thị chu vi của hình chữ nhật là: P = 2(x + y) (m).

b) Chiều rộng của hình chữ nhật mới là: 3x (m).

Chu vi của hình chữ nhật mới là 2(3x + y) = 6x + 2y (m).

Vậy P_m = 6x + 2y.

a) Chứng minh tam giác ADI bằng tam giác BHI nên AD = BH.

Chứng minh tứ giác AKHD có cặp cạnh AD và HK song song và bằng nhau nên là hình bình hành.

b) Chứng minh AHBD là hình bình hành có một góc vuông nên là hình chữ nhật.

c) Để tứ giác AHBD là hình vuông thì AH = BH => tam giác AHB vuông cân tại H nên B = 45⁰ hay tam giác ABC phải là tam giác vuông cân tại A.

a) Vì AD // BC nên ta có $\widehat{DAB} = \widehat{HBA}$ (hai góc so le trong).

Xét tam giác ADI và tam giác BHI có:

$\widehat{DAB} = \widehat{HBA}$ (cmt)

AI = BI (I là trung điểm của AB)

$\widehat{AID} = \widehat{BIH}$

nên $\Delta ADI = \Delta BHI$.

Suy ra DI = IH, AH = BH (đpcm).

Vì K đối xứng với B qua H nên BH = HK.

Xét tứ giác AKHD có:

AD // HK (vì AD // BC)

AD = HK (cùng = BH)

Nên AKHD là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

b) Xét tứ giác AHBD có

AI = BI = $\dfrac{1}{2}$ AB

DI = HI = $\dfrac{1}{2}$ DH

AB $\cap$ DH = I

nên tứ giác AHBD là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

Ta lại có $\widehat{AHB} = 90^{0}$ nên AHBD là hình chữ nhật (vì hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật).

c) Để AHBD là hình vuông thì AH = BH. Mà $\widehat{AHB} = 90^{0}$ nên tam giác AHB phải là tam giác vuông cân tại H.

Khi tam giác AHB vuông cân thì $\widehat{ABH} = \widehat{BAH} = 45^{0}$.

Mà tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{C} = 180^{0} - 90^{0} - 45^{0} = 45^{0}$ hay tam giác ABC vuông cân tại A.

Vậy để AHBD là hình vuông thì ABC phải là tam giác vuông cân tại A.

Phân tích biểu thức thành các tổng của các biểu thức bậc hai bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.

Ta có: $M = 5x^{2} + y^{2} + 2x\left( {y - 2} \right) + 8$

$\begin{array}{l}=5x^2+y^2+2xy-4x+8\\ =x^2+4x^2+y^2+2xy-4x+1+7\\ =\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(4x^2-4x+1\right)+7\\ ={\left(x+y\right)}^2+{\left(2x-1\right)}^2+7\end{array}$$\begin{array}{l} {= 5x^{2} + y^{2} + 2xy - 4x + 8} \\ {= x^{2} + 4x^{2} + y^{2} + 2xy - 4x + 1 + 7} \\ {= \left( {x^{2} + 2xy + y^{2}} \right) + \left( {4x^{2} - 4x + 1} \right) + 7} \\ {= \left( {x + y} \right)^{2} + \left( {2x - 1} \right)^{2} + 7} \end{array}$

Vì $\left\{ \begin{array}{l} {\left( {x + y} \right)^{2} \geq 0} \\ {\left( {2x - 1} \right)^{2} \geq 0} \end{array} \right.,\forall x \in {\mathbb{R}}$ nên $\left( {x + y} \right)^{2} + \left( {2x - 1} \right)^{2} + 7 \geq 7,\forall x \in {\mathbb{R}}$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left.$$\left\{ \begin{array}{l} {x + y = 0} \\ {2x - 1 = 0} \end{array} \right.$Rightarrow$\left\{ \begin{array}{l} {x + y = 0} \\ {x = \dfrac{1}{2}} \end{array} \right.$Rightarrow$\left\{ \begin{array}{l} {x = \dfrac{1}{2}} \\ {y = - \dfrac{1}{2}} \end{array} \right.$ \right..

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là 7 khi $x = \dfrac{1}{2}$ và $y = - \dfrac{1}{2}$.