Đề thi giữa học kì 1 Toán 8 - Đề số 2

Dựa vào khái niệm của đơn thức: Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc một biến, hoặc có dạng tích của những số và biến.

Các biểu thức $\frac{3}{4}$; $2{x^5}{y^3}$; $3xy$ là các đơn thức.

Biểu thức $x - 2$ là đa thức.

Đáp án A.

Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm một số, hoặc có dạng tích của một số với những biến, mỗi biến chỉ xuất hiện một lần và đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương.

$xyz + xz$ và $2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$ là các đa thức nên loại đáp án A, C.

$- 5x{y^2}$ là đơn thức thu gọn nên đáp án B đúng.

Đáp án D, $- 3x4yxz$ là đơn thức nhưng biến $x$ xuất hiện 2 lần nên không phải đơn thức thu gọn.

Đáp án B.

Xác định bậc của từng hạng tử trong đa thức. Bậc lớn nhất chính là bậc của đa thức.

Ta có:

${x^2}{y^5}$ có bậc là 2 + 5 = 7.

$- {x^2}{y^4}$ có bậc là 2 + 4 = 6.

${y^6}$ có bậc là 6.

$- 1$ có bậc là 0.

Vậy bậc của đa thức là 7.

Đáp án D.

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức với hệ số khác 0 và có phần biến giống nhau.

Đơn thức $7{x^3}y$ và $\frac{1}{{15}}{x^3}y$ là hai đơn thức đồng dạng vì có cùng phần biến ${x^3}y$.

Đơn thức $- \frac{1}{4}{\left( {xy} \right)^2}y = - \frac{1}{4}{x^2}{y^3}$ và $16{x^2}{y^3}$ là hai đơn thức đồng dạng vì có cùng phần biến ${x^2}{y^3}$.

Đơn thức $a{x^2}y$ và $2b{x^2}y$ (a, b là các hằng số khác 0) là hai đơn thức đồng dạng vì có cùng phần biến ${x^2}y$.

Đơn thức $5{x^2}{y^3}$ và $- 2{x^3}{y^2}$ không đồng dạng vì phần biến ${x^2}{y^3} \ne {x^3}{y^2}$.

Đáp án B.

Ta có thể thu gọn chúng bằng cách áp dụng các tính chất của phép nhân và phép nâng lên lũy thừa.

Ta có:

$\left( {3{x^2}y} \right)\left( {x{y^2}} \right){y^3} = 3{x^2}y.x{y^2}.{y^3} = 3{x^3}{y^6}$.

Đáp án C.

Dựa vào hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: ${A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)$

Khẳng định C đúng, vì $\left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right) = {A^2} - {B^2}$.

Đáp án C.

Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng: ${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$.

$\begin{array}{l}{\left(3x+4y\right)}^2\\ ={\left(3x\right)}^2+2.3x.4y+{\left(4y\right)}^2\\ =9x^2+24xy+16y^2\mathrm{.}\end{array}$$\begin{array}{l}{\left( {3x + 4y} \right)^2}\\ = {\left( {3x} \right)^2} + 2.3x.4y + {\left( {4y} \right)^2}\\ = 9{x^2} + 24xy + 16{y^2}.\end{array}$

Đáp án A.

Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: ${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$.

$\begin{array}{l}25x^2-20xy+4y^2\\ ={\left(5x\right)}^2-2.5x.2y+{\left(2y\right)}^2\\ ={\left(5x-2y\right)}^2\mathrm{.}\end{array}$$\begin{array}{l}25{x^2} - 20xy + 4{y^2}\\ = {\left( {5x} \right)^2} - 2.5x.2y + {\left( {2y} \right)^2}\\ = {\left( {5x - 2y} \right)^2}.\end{array}$

Đáp án D.

Tứ giác là hình gồm bốn đoạn thẳng, trong đó không có hai đoạn thẳng nào cùng nằm trên một đường thẳng.

Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không nằm trên cùng nằm trên một đường thẳng.

Đáp án B.

Dựa vào định lí tổng các góc của một tứ giác bằng $360^\circ$.

Số đo góc C là:

$\widehat C = 360^\circ - \widehat A - \widehat B - \widehat D = 360^\circ - 60^\circ - 135^\circ - 29^\circ = 136^\circ .$

Đáp án B.

Khái niệm hình thang: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

Theo khái niệm hình thang thì hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

Đáp án A.

Dựa vào khái niệm và tính chất của hình bình hành.

Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

Trong hình bình hành:

- Các cạnh đối bằng nhau;

- Các góc đối bằng nhau;

- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Hình bình hành không có tính chất hai đường chéo vuông góc với nhau nên C sai.

Đáp án C.

a) Đưa biểu thức về hằng đẳng thức bình phương của một tổng rồi thay giá trị của x, y để tính.

b) Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để tính nhanh.

a) Ta có: ${x^2} + 4xy + 4{y^2} = {\left( {x + 2y} \right)^2}$

Thay $x = 4;y = 3$ vào biểu thức, ta được:

${\left( {4 + 2.3} \right)^2} = {10^2} = 100$.

b) Ta có:

$198.202 = \left( {200 - 2} \right)\left( {200 + 2} \right) = {200^2} - {2^2} = 40\,000 - 4 = 3\,996$

a) Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức.

b) Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: $\left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right) = {A^2} - {B^2}$.

a) $- 2{x^3}{y^4}.\left( {3xy - 5x{y^2}} \right)$

$\begin{array}{l}=-2x^3{y}^4.3xy-2x^3{y}^4\left(-5x{y}^2\right)\\ =-6x^4{y}^5+10x^4{y}^6\end{array}$$\begin{array}{l} = - 2{x^3}{y^4}.3xy - 2{x^3}{y^4}\left( { - 5x{y^2}} \right)\\ = - 6{x^4}{y^5} + 10{x^4}{y^6}\end{array}$

b) $\left( {3x - 5y} \right)\left( {3x + 5y} \right)$

$\begin{array}{l}={\left(3x\right)}^2-{\left(5y\right)}^2\\ =9x^2-25y^2\end{array}$$\begin{array}{l} = {\left( {3x} \right)^2} - {\left( {5y} \right)^2}\\ = 9{x^2} - 25{y^2}\end{array}$

a) Sử dụng quy tắc cộng hai đa thức.

b) Sử dụng quy tắc chuyển về và trừ hai đa thức.

a) $M = A + B$

$\begin{array}{l}=2x^5-x^2{y}^3-3x^{2}y+x^5+3x^2{y}^3-3x^{2}y+3\\ =\left(2x^5+x^5\right)+\left(-x^2{y}^3+3x^2{y}^3\right)-\left(3x^{2}y+3x^{2}y\right)+3\\ =3x^5+2x^2{y}^3-6x^{2}y+3\end{array}$$\begin{array}{l} = 2{x^5} - {x^2}{y^3} - 3{x^2}y + {x^5} + 3{x^2}{y^3} - 3{x^2}y + 3\\ = \left( {2{x^5} + {x^5}} \right) + \left( { - {x^2}{y^3} + 3{x^2}{y^3}} \right) - \left( {3{x^2}y + 3{x^2}y} \right) + 3\\ = 3{x^5} + 2{x^2}{y^3} - 6{x^2}y + 3\end{array}$

b) Vì $A + N = B$ nên $N = B - A$

$\begin{array}{l}N=\left(x^5+3x^2{y}^3-3x^{2}y+3\right)-\left(2x^5-x^2{y}^3-3x^{2}y\right)\\ =x^5+3x^2{y}^3-3x^{2}y+3-2x^5+x^2{y}^3+3x^{2}y\\ =\left(x^5-2x^5\right)+\left(3x^2{y}^3+x^2{y}^3\right)-\left(3x^{2}y-3x^{2}y\right)+3\\ =-x^5+4x^2{y}^3+3\end{array}$$\begin{array}{l}N = \left( {{x^5} + 3{x^2}{y^3} - 3{x^2}y + 3} \right) - \left( {2{x^5} - {x^2}{y^3} - 3{x^2}y} \right)\\ = {x^5} + 3{x^2}{y^3} - 3{x^2}y + 3 - 2{x^5} + {x^2}{y^3} + 3{x^2}y\\ = \left( {{x^5} - 2{x^5}} \right) + \left( {3{x^2}{y^3} + {x^2}{y^3}} \right) - \left( {3{x^2}y - 3{x^2}y} \right) + 3\\ = - {x^5} + 4{x^2}{y^3} + 3\end{array}$

a) Chứng minh tam giác OAB có $\widehat {OAB} = \widehat {OBA}$ nên là tam giác cân.

b) Chứng minh OP và OQ cùng vuông góc với CD, dựa vào tiên đề Euclid suy ra O, P, Q thẳng hàng.

c) Chứng minh MNAB có hai cạnh đối song song nên là hình thang.

Mà hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Chứng minh MNDC có hai cạnh đối song song nên là hình thang.

Mà hình thang có hai góc ở đáy bằng nhau nên là hình thang cân.

a) Vì ABCD là hình thang cân nên $\widehat C = \widehat D$ (hai góc kề một đáy)

Suy ra $\Delta OCD$ cân tại O.

Mà AB // CD (gt) nên $\widehat {OAB} = \widehat D = \widehat C = \widehat {OBA}$ (các cặp góc đồng vị)

Suy ra $\Delta OAB$ cân tại O.

b) Vì P là trung điểm của AB nên OP là đường trung tuyến của tam giác cân OAB, suy ra OP cũng là đường cao của tam giác cân OAB.

Do đó $OP \bot AB$.

Mà $AB//CD$ nên $OP \bot CD$ (1)

Vì Q là trung điểm của CD nên OQ là đường trung tuyến của tam giác cân OCD, suy ra OQ cũng là đường cao của tam giác cân OCD.

Do đó $OQ \bot CD$. (2)

Theo tiên đề Euclid, ta có O, P, Q thẳng hàng.

c) Xét $\Delta ACD$ và $\Delta BDC$ có:

$AC = CD$ (hai đường chéo của hình thang cân)

$AD = BC$ (hai cạnh bên của hình thang cân)

$CD$ chung

Suy ra $\Delta ACD = \Delta BDC$ (c.c.c)

Suy ra $\widehat {ACD} = \widehat {BDC}$ hay $\widehat {MCD} = \widehat {NDC}$.

Hình thang MNDC có $\widehat {MCD} = \widehat {NDC}$ nên MNDC là hình thang cân.

Suy ra $MC = ND$

Mà $AC = BD$ suy ra $AC - MC = BD - ND$ hay $AM = BN$.

Hình thang MNAB có hai đường chéo AM và BN bằng nhau nên MNAB là hình thang cân.

Đặt $A = 4\left( {{3^2} + 1} \right)\left( {{3^4} + 1} \right)\left( {{3^8} + 1} \right)\left( {{3^{16}} + 1} \right)$.

Nhân cả hai vế với 2, ta được $2A = 8\left( {{3^2} + 1} \right)\left( {{3^4} + 1} \right)\left( {{3^8} + 1} \right)\left( {{3^{16}} + 1} \right)$.

Biến đổi $8 = {3^2} - 1$

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để rút gọn $2A$, từ đó suy ra A.

Đặt $A = 4\left( {{3^2} + 1} \right)\left( {{3^4} + 1} \right)\left( {{3^8} + 1} \right)\left( {{3^{16}} + 1} \right)$.

Nhân cả hai vế với 2, ta được $2A = 8\left( {{3^2} + 1} \right)\left( {{3^4} + 1} \right)\left( {{3^8} + 1} \right)\left( {{3^{16}} + 1} \right)$.

Ta có:

$\begin{array}{l}2A=8\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)\\ 2A=\left(3^2-1\right)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)\\ 2A=\left(3^4-1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)\\ 2A=\left(3^8-1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)\\ 2A=\left(3^{16}-1\right)\left(3^{16}+1\right)\\ 2A=3^{32}-1\\ A=\frac{3^{32}-1}{2}\end{array}$$\begin{array}{l}2A = 8\left( {{3^2} + 1} \right)\left( {{3^4} + 1} \right)\left( {{3^8} + 1} \right)\left( {{3^{16}} + 1} \right)\\2A = \left( {{3^2} - 1} \right)\left( {{3^2} + 1} \right)\left( {{3^4} + 1} \right)\left( {{3^8} + 1} \right)\left( {{3^{16}} + 1} \right)\\2A = \left( {{3^4} - 1} \right)\left( {{3^4} + 1} \right)\left( {{3^8} + 1} \right)\left( {{3^{16}} + 1} \right)\\2A = \left( {{3^8} - 1} \right)\left( {{3^8} + 1} \right)\left( {{3^{16}} + 1} \right)\\2A = \left( {{3^{16}} - 1} \right)\left( {{3^{16}} + 1} \right)\\2A = {3^{32}} - 1\\A = \frac{{{3^{32}} - 1}}{2}\end{array}$

Vậy $4\left( {{3^2} + 1} \right)\left( {{3^4} + 1} \right)\left( {{3^8} + 1} \right)\left( {{3^{16}} + 1} \right) = \frac{{{3^{32}} - 1}}{2}$.