Đề thi giữa học kì 1 Toán 8 - Đề số 1

Thu gọn đa thức để tìm hệ số.

Ta có: $5{x^2}y.\left( { - \frac{2}{5}} \right){y^2}z = \left( {5.\frac{{ - 2}}{5}} \right){x^2}.\left( {y.{y^2}} \right).z = - 2{x^2}{y^3}z$. Đơn thức này có hệ số là -2.

Đáp án B.

Thực hiện cộng các đơn thức đồng dạng.

Ta có:

$3{x^2}{y^3} + \left( { - 5{x^2}{y^3}} \right) + {x^2}{y^3} = \left( {3 - 5 + 1} \right){x^2}{y^3} = - {x^2}{y^3}$.

Đáp án B.

Thu gọn đa thức rồi tìm bậc của đa thức thu gọn đó.

Ta có: $5{x^2}y - {x^4} + 4xy + {x^4} = 5{x^2}y + 4xy$

Đa thức này có bậc là 3.

Đáp án A.

Thực hiện nhân đơn thức với đa thức sau đó thu gọn đa thức nhận được.

Ta có:

$\begin{array}{l}A=2x^2\left(y^3-x^3\right)-y^3\left(2x^2-y\right)\\ =2x^2{y}^3-2x^5-2x^2{y}^3+y^4\\ =-2x^5+y^4\end{array}$$\begin{array}{l}A = 2{x^2}\left( {{y^3} - {x^3}} \right) - {y^3}\left( {2{x^2} - y} \right)\\ = 2{x^2}{y^3} - 2{x^5} - 2{x^2}{y^3} + {y^4}\\ = - 2{x^5} + {y^4}\end{array}$

Đáp án A.

Để đa thức chia hết cho đơn thức thì mọi hạng tử của đa thức phải chia hết cho đơn thức.

Để $A = 4{x^2}{y^3} + 3{x^3}{y^2}$ chia hết cho $B = 2{x^2}{y^m}$ thì $4{x^2}{y^3} \vdots 2{x^2}{y^m}$ và $3{x^3}{y^2} \vdots 2{x^2}{y^m}$.

Do đó $3 \ge m$ và $2 \ge m$. Kết hợp với điều kiện m là số nguyên dương thì $0 < m \le 2$, hay m = 1; m = 2.

Vậy có 2 giá trị nguyên dương của m.

Đáp án C.

Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương ${a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)$.

Ta có: $\left( {3x + y} \right)\left( {y - 3x} \right) = \left( {y + 3x} \right)\left( {y - 3x} \right) = {y^2} - 9{x^2}$.

Đáp án B.

Sử dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương ${a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)$.

Ta có:

$27{x^3} + {y^3} = \left( {3x + y} \right)\left( {9{x^2} - 3xy + {y^2}} \right)$

Ta điền $- 3xy$ vào chỗ trống.

Đáp án B.

Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích đa thức thành nhân tử.

${\left( {x - 4} \right)^2} + \left( {x - 4} \right) = \left( {x - 4} \right)\left( {x - 4 + 1} \right) = \left( {x - 4} \right)\left( {x - 3} \right)$.

Đáp án B.

Dựa vào định nghĩa tứ giác.

Hai góc $\widehat C$ và $\widehat D$ là hai góc kề một đáy nên khẳng định C sai.

Đáp án C.

Dựa vào định lí tổng các góc của hình thang.

Xét hình thang ABCD có AB // CD nên  $\widehat A + \widehat D = 180^\circ$ (2 góc trong cùng phía) suy ra hai góc đó có nhiều nhất một góc nhọn, có nhiều nhất một góc tù.

Tương tự $\widehat B$ và $\widehat C$ cũng vậy.

Do đó trong bốn góc A, B, C, D có hai góc tù thì hai góc còn lại là hai góc nhọn.

Đáp án D.

Kẻ đường cao BK xuống CD.

Chứng minh AH = DH = KC. Ta được độ dài đáy lớn.

Kẻ đường cao BK xuống CD.

Vì ABCD là hình thang cân nên AD = BC.

Ta chứng minh được $\Delta AHD = \Delta BKC$ (cạnh huyền – góc nhọn) nên DH = KC.

Mà tam giác BKC vuông tại K có $\widehat {BCK} = 45^\circ$ nên là tam giác vuông cân.

Suy ra BK = KC = DH = 5cm. (1)

Tứ giác ABKH là hình có AB // HK (gt), AH // BK (cùng vuông góc với CD)

Suy ra ABKH là hình bình hành, suy ra AB = HK = 3cm. (2)

Từ (1) và (2) suy ra DC = DH + HK + KC = 5 + 3 + 5 = 13 (cm)

Đáp án D.

Dựa vào dấu hiệu nhận biết của hình bình hành.

Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

Đáp án D.

a) Thu gọn đa thức để tìm bậc sau khi thu gọn.

b) Sử dụng quy tắc trừ hai đa thức.

c) Biến đổi để tính C, sử dụng quy tắc cộng hai đa thức.

a) Ta có:

$\begin{array}{l}A=x^4-2x^{2}y-x^4+x^3+x^{2}y-1\\ =\left(x^4-x^4\right)+x^3+\left(-2x^{2}y+x^{2}y\right)-1\\ =x^3-x^{2}y-1\end{array}$$\begin{array}{l}A = {x^4} - 2{x^2}y - {x^4} + {x^3} + {x^2}y - 1\\ = \left( {{x^4} - {x^4}} \right) + {x^3} + \left( { - 2{x^2}y + {x^2}y} \right) - 1\\ = {x^3} - {x^2}y - 1\end{array}$

Vậy đa thức A có bậc là 3.

b) Ta có:

$\begin{array}{l}A-B=\left(x^2+2xy+y^2\right)-\left(x^2-2xy+y^2\right)\\ =x^2+2xy+y^2-x^2+2xy-y^2\\ =\left(x^2-x^2\right)+\left(2xy+2xy\right)+\left(y^2-y^2\right)\\ =4xy\end{array}$$\begin{array}{l}A - B = \left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) - \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right)\\ = {x^2} + 2xy + {y^2} - {x^2} + 2xy - {y^2}\\ = \left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {2xy + 2xy} \right) + \left( {{y^2} - {y^2}} \right)\\ = 4xy\end{array}$

c) Vì $C - A = B$ nên $C = A + B$

$\begin{array}{l}C=\left(x^3-3x^{2}y+3x{y}^2-y^3\right)+\left(-x^3+3x^{2}y+y^3-2\right)\\ =x^3-3x^{2}y+3x{y}^2-y^3-x^3+3x^{2}y+y^3-2\\ =\left(x^3-x^3\right)+\left(-y^3+y^3\right)+\left(-3x^{2}y+3x^{2}y\right)+3x{y}^2-2\\ =3x{y}^2-2\end{array}$$\begin{array}{l}C = \left( {{x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3}} \right) + \left( { - {x^3} + 3{x^2}y + {y^3} - 2} \right)\\ = {x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3} - {x^3} + 3{x^2}y + {y^3} - 2\\ = \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( { - {y^3} + {y^3}} \right) + \left( { - 3{x^2}y + 3{x^2}y} \right) + 3x{y^2} - 2\\ = 3x{y^2} - 2\end{array}$

a) Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: ${a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)$

b) Dựa vào quy tắc chia đa thức cho đơn thức.

a) $\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right) = {x^2} - {\left( {2y} \right)^2} = {x^2} - 4{y^2}$

b) $\left( {4{x^2}{y^2} + 3{x^3}{y^2} - {x^5}{y^4}} \right):\left( {{x^2}y} \right)$

$\begin{array}{l}=4x^2{y}^2:x^{2}y+3x^3{y}^2:x^{2}y-x^5{y}^4:x^{2}y\\ =4y+3xy-x^3{y}^3\end{array}$$\begin{array}{l} = 4{x^2}{y^2}:{x^2}y + 3{x^3}{y^2}:{x^2}y - {x^5}{y^4}:{x^2}y\\ = 4y + 3xy - {x^3}{y^3}\end{array}$

a) Sử dụng quy tắc nhân đa thức để rút gọn biểu thức A.

b) Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng: ${a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2}$ để tính nhanh.

a) Ta có:

$\begin{array}{l}A=\left(x+y\right)\left(2x-y\right)-2x\left(x+\frac{y}{2}\right)+y^2+2024\\ =2x^2-xy+2xy-y^2-2x^2-xy+y^2+2024\\ =\left(2x^2-2x^2\right)-\left(xy-2xy+xy\right)+\left(-y^2+y^2\right)+2024\\ =2024\end{array}$$\begin{array}{l}A = \left( {x + y} \right)\left( {2x - y} \right) - 2x\left( {x + \frac{y}{2}} \right) + {y^2} + 2024\\ = 2{x^2} - xy + 2xy - {y^2} - 2{x^2} - xy + {y^2} + 2024\\ = \left( {2{x^2} - 2{x^2}} \right) - \left( {xy - 2xy + xy} \right) + \left( { - {y^2} + {y^2}} \right) + 2024\\ = 2024\end{array}$

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến.

c) Ta có:

${101^2} = {\left( {100 + 1} \right)^2} = {100^2} + 2.100.1 + {1^2} = 10\,000 + 200 + 1 = 10\,201.$

a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh góc cạnh.

b) Chứng minh BDEC có một cặp cạnh đối song song nên là hình thang.

Chứng minh hai góc ở đáy bằng nên BDEC là hình thang cân.

c) Dựa vào BD = DE và DE = EC suy ra tam giác BDE và tam giác DEC cân, suy ra $\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}$ và $\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}$.

a) Xét tam giác ABE và ACD có:

$AB = AC$ (tam giác ABC cân tại A)

$\widehat A$ chung

$AE = AD$ (gt)

Suy ra $\Delta ABE = \Delta ACD\left( {c.g.c} \right)$ (đpcm)

b) Vì AD = AE nên tam giác ADE cân tại A, suy ra $\widehat {ADE} = \frac{{180^\circ  - \widehat A}}{2}$ (tính chất tam giác cân)

Tam giác ABC cân tại A, suy ra $\widehat {ABC} = \frac{{180^\circ  - \widehat A}}{2}$ (tính chất tam giác cân)

Suy ra $\widehat {ADE} = \widehat {ABC}$.

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DE // BC (cặp góc đồng vị bằng nhau)

Do đó BDEC là hình thang.

Ta có: $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$ (do tam giác ABC cân tại A)

hay $\widehat {DBC} = \widehat {CCB}$.

Suy ra BDEC là hình thang cân (hình thang có hai góc ở đáy bằng nhau).

c) Theo đề bài, ta có BD = DE = EC.

Tam giác BDE có BD = DE nên tam giác BDE cân tại D. Suy ra $\widehat {{B_1}} = \widehat {{E_1}}$

Mà $\widehat {{E_1}} = \widehat {{B_2}}$ (hai góc so le trong)

Suy ra $\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}$ hay BE là tia phân giác của $\widehat {ABC}$.

Tương tự, ta chứng minh được $\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}$ hay CD là tia phân giác của $\widehat {ACB}$.

Vậy khi BE là tia phân giác của $\widehat {ABC}$, CD là tia phân giác của $\widehat {ACB}$ thì BD = DE = EC.

a) Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng: ${a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2}$ và bình phương của một hiệu: ${a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2}$ để biến đổi về dạng ${A^2} + {B^2} + c$.

Khi đó giá trị nhỏ nhất là c (với c là hằng số).

b) Gọi x, y (m) là các kích thước của hình chữ nhật.

Biểu diễn diện tích theo x, y.

Từ đó biểu diễn chu vi theo x, y để kiểm tra câu trả lời của bạn Nam.

a) ${x^2} - 2xy + 2x + 2{y^2} - 4y + 2 = 0$

$\begin{array}{l}{x}^2-2xy+y^2+2x-2y+1+y^2-2y+1=0\\ {\left(x-y\right)}^2+2\left(x-y\right)+1+{\left(y-1\right)}^2=0\\ {\left(x-y+1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=0\end{array}$$\begin{array}{l}{x^2} - 2xy + {y^2} + 2x - 2y + 1 + {y^2} - 2y + 1 = 0\\{\left( {x - y} \right)^2} + 2\left( {x - y} \right) + 1 + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\\{\left( {x - y + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\end{array}$

Vì ${\left( {x - y + 1} \right)^2} \ge 0$ và ${\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0$ với mọi x, y nên ${\left( {x - y + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0$ khi $x - y + 1 = 0$ và $y - 1 = 0$.

+) $y - 1 = 0$ suy ra $y = 1$

+) $x - y + 1 = 0$ hay $x - 1 + 1 = 0$ suy ra $x = 0$.

Vậy $x = 0$ và $y = 1$.

b) Gọi x, y (m) là các kích thước của hình chữ nhật. $\left( {x;y > 0} \right)$

Vì hình chữ nhật có diện tích không đổi bằng $100{m^2}$ nên ta có $xy = 100\left( {{m^2}} \right)$.

Ta có: ${\left( {x - y} \right)^2} \ge 0$

Suy ra ${x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0$

${x^2} + 2xy + {y^2} - 4xy \ge 0$

${\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy = 4.100 = 400$

Suy ra $x + y \ge \sqrt {400} = 20$.

Do đó chu vi hình chữ nhật là $C = 2\left( {x + y} \right) \ge 2.20 = 40\left( m \right)$

Dấu bằng xảy ra khi $x = y = 10$ khi đó hình chữ nhật là hình vuông.

Vậy bạn Nam trả lời đúng.

Khi đó chu vi nhỏ nhất là 40m.