Đề giữa học kỳ 1 Toán 12 năm 2024 – 2025 trường THPT Hiệp Hòa 2 – Bắc Giang

Cho hàm số $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ $\left( {a,, b,, c,, d \in {\mathbb{R}},,, a \neq 0} \right)$ có đồ thị như hình vẽ.

Trong các hệ số $a,, b,, c,, d$ có bao nhiêu hệ số dương?

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất $8000$ quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất $30$ quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là $200$ nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là $192$ nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

Cho hai vectơ $\overset{\rightarrow}{a},\overset{\rightarrow}{b}$ vuông góc với nhau và $\overset{\rightarrow}{|a|} = 6,\left| \overset{\rightarrow}{b} \right| = 4$. Tính $\left( {\overset{\rightarrow}{a} - \overset{\rightarrow}{b}} \right)\left( {2\overset{\rightarrow}{a} + \overset{\rightarrow}{b}} \right)$.

Cho hàm số $y = - \dfrac{1}{3}x^{3} + mx^{2} - \left( {6m + 40} \right)x + 2024$. Số giá trị nguyên của $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {- \infty; + \infty} \right)$ là bao nhiêu?

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x^{2} + 2x - 3,,,\forall x \in {\mathbb{R}}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left\lbrack {- 10;20} \right\rbrack$ để hàm số $g(x) = f\left( {x^{2} + 3x - m} \right) + m^{2} + 1$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$?

Biết rằng tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x^{2} - 3x + 2}{x - 1}$ là đường thẳng có dạng $y = ax + b$ với $a,b \in {\mathbb{R}}$. Tính giá trị của biểu thức $a - b$.