Đề thi học kì 2 Toán 12 - Đề số 4

Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như hình bên dưới, có vận tốc tức thời cho bởi v(t) = 2cost, trong đó t tính bằng giây và v(t) tính bằng cm/s. Tại thời điểm t = 0, con lắc ở vị trí cân bằng. Tính quãng đường mà con lắc lò xo di chuyển được sau 1 giây kể từ vị trí cân bằng theo đơn vị centimet (làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một chiếc máy bay cất cánh từ điểm P(15;-4;2) và bay đều theo hướng của vecto $\overrightarrow d = (3;1; - 2)$ với tốc độ 5 m/s. Sau thời gian 200 giây, máy bay đến điểm Q. Tìm tung độ điểm Q (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như hình vẽ. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ tọa độ phù hợp, các điểm O (gốc cây thông), A, B (nơi buộc dây neo) có tọa độ tương ứng là O(0;0;0), A(3;-2;1), B(-5;-3;1) (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Biết rằng hai sợi dây neo đều được buộc vào thân cây tại điểm C(0;0;5) và dây kéo căng tạo thành các đoạn thẳng. Tổng các góc tạo bởi mỗi dây neo và mặt phẳng sườn núi bằng bao nhiêu độ (làm tròn số đo các góc đến hàng đơn vị của độ).

Có hai hộp đựng bóng. Hộp I có 4 quả bóng màu xanh và 8 quả bóng màu đỏ. Hộp II có 6 quả bóng màu xanh và 4 quả bóng màu đỏ. Trước tiên, từ hộp II lấy ra ngẫu nhiên 1 quả bóng rồi cho vào hộp I. Sau đó, từ hộp I lấy ra ngẫu nhiên 1 quả bóng. Tính xác suất để quả bóng được lấy ra từ hộp I là quả bóng màu đỏ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (H): $\frac{{4 - 3x}}{{x + 3}}$ và các trục tọa độ. Diển tích hình phẳng S bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình là ${d_1}$: $\{\begin{array}{l}x=1+at\\ y=t\\ z=-1+2t\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + at\\y = t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.$ và ${d_2}$: $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{1}$. Tìm a để nút giao thông trên là nút giao thông cùng mức.

Một công ty bảo hiểm nhận thấy có 48% số người mua bảo hiểm ô tô là phụ nữ và có 36% số người mua bảo hiểm ô tô là phụ nữ trên 45 tuổi. Biết một người mua bảo hiểm ô tô là phụ nữ, tính xác suất người đó trên 45 tuổi.