Đề thi giữa kì 1 Toán 10 năm 2025 - 2026 trường THPT Xuân Trường - Ninh Bình

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác.

$S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$.

Thay lần lượt từng cặp số vào bất phương trình, nếu thỏa mãn thì cặp số đó là nghiệm của bất phương trình.

Có 2.1 – 4 + 1 = -1 < 0 nên (1; 4) là nghiệm của bất phương trình.

Sử dụng đường tròn lượng giác để xác định dấu các giá trị lượng giác.

Với $0{^\circ} < \alpha < 90{^\circ}$, ta có $\text{cos}\alpha > 0$.

Mệnh đề là một khẳng định có tính đúng sai.

“3 là số nguyên tố” là một mệnh đề.

Kí hiệu $\in$ thể hiện phần tử thuộc một tập hợp. Kí hiệu $\subset$ thể hiện tập hợp chứa trong tập hợp.

3 là một phần tử nên ta viết $3 \in {\mathbb{N}}$.

Áp dụng định lí cosin.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$.

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có một trong các dạng sau: $ax + by < c$; $ax + by > c$; $ax + by \le c$; $ax + by \ge c$. Trong đó: $a,b,c$ là những số thực cho trước ($a,b$ không đồng thời bằng 0); $x$ và $y$ là các ẩn.

$2x + 3y < 5$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Mệnh đề chứa biến là một khẳng định nhưng không là mệnh đề, chỉ khi cho biến một giá trị cụ thể thì câu đó trở thành mệnh đề. Mệnh đề chứa biến có thể chứa một hoặc nhiều biến.

$\left( {x^{2} + x} \right) \vdots 3\,\,,\, x \in {\mathbb{N}}$ là mệnh đề chứa biến.

Dựa vào quan hệ giữa giá trị lượng giác của hai góc bù nhau.

$\cot\left( {180^{{^\circ}} - \alpha} \right) = \cot\alpha$ sai vì $\cot\left( {180^{{^\circ}} - \alpha} \right) = - \cot\alpha$.

Thay tọa độ từng điểm vào hệ bất phương trình, nếu không thỏa mãn hệ thì điểm đó không thuộc miền nghiệm.

Thay tọa độ (0; 0) vào hệ phương trình thấy không thỏa mãn hệ, do đó điểm (0; 0) không thuộc miền nghiệm.

Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập hợp con (tập con) của B.

$\left. \text{\{}1;3 \right\}\left. \subset \text{\{}1;3;5 \right\}$.

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y.

Mỗi (hệ) bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y chỉ chứa tối đa hai ẩn x và y, đồng thời không chứa các số hạng như ${x^2},{y^2},xy,{x^3},{x^2}y,...$.

$\{\begin{array}{l}4x-3y\le 1\\ 2x+9y>-5\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {4x - 3y \leq 1} \\ {2x + 9y > - 5} \end{array} \right.$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Số tiền của mỗi loại tờ tiền = (Mệnh giá) . (Số tờ).

Tổng số tiền ủng hộ = (Số tiền loại 20 nghìn) + (Số tiền loại 10 nghìn).

Số tiền ủng hộ không vượt quá tổng số tiền bạn Nam có (450 nghìn đồng).

a) Đúng. Số tiền loại 20 nghìn đồng đã ủng hộ là 20x nghìn đồng.

b) Sai. Số tiền loại 10 nghìn đồng đã ủng hộ là 10y nghìn đồng.

c) Đúng. Tổng số tiền Nam ủng hộ là 20x + 10y nghìn đồng.

d) Đúng. Vì tổng số tiền ủng hộ không vượt quá 450 nghìn đồng nên ta có bất phương trình $20x + 10y \le 450$.

Dựa vào các định nghĩa:

$A \cup B$: Lấy tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B.

$A \cap B$: Lấy các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B.

$C \subset A$: Mọi phần tử thuộc C đều thuộc A.

$A \subset B$: Mọi phần tử thuộc A đều thuộc B.

a) Sai. $A \cup B = [ - 2;2] \cup [1;5] = [ - 2;5]$.

b) Đúng. $A \cap B = [ - 2;2] \cap [1;5] = [1;2]$.

c) Đúng. Ta có $[0;1) \subset [ - 2;2]$ nên $C \subset A$.

d) Sai. Vì $- 2 \in A$ nhưng $- 2 \notin B$ nên $A\not \subset B$.

Giải phương trình $(x + 1)({x^2} - 4) = 0$ và lọc các nghiệm thuộc tập số tự nhiên $\mathbb{N}$.

$(x + 1)({x^2} - 4) = 0$

$\Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x + 1 = 0\\{x^2} - 4 = 0\end{array}$ \right. \Leftrightarrow \left[ $\begin{array}{l}x =  - 1\\x = 2\\x =  - 2\end{array}$ \right..

Vì $x \in \mathbb{N}$ nên $A = \{ 2\}$. Vậy tập A có 1 phần tử.

Sử dụng định lý sin, hệ thức lượng trong tam giác.

Gọi C là chân ngọn hải đăng, H là chân đường cao từ C xuống AB.

$\widehat {ABC} = {180^o} - {75^o} = {105^o}$.

$\widehat {ACB} = {180^o} - ({45^o} + {105^o}) = {30^o}$.

Áp dụng định lí sin của tam giác ABC:

$\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow \frac{{BC}}{{\sin {{45}^o}}} = \frac{{30}}{{\sin {{30}^o}}}$

$\Rightarrow BC = \frac{{30.\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = 30\sqrt 2$ (m).

Xét tam giác CHB tại H:

$CH = BC.\sin \widehat {CBH} = 30\sqrt 2 .\sin {75^o} \approx 41$ (m).

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (I) trên mặt phẳng tọa độ (là một miền đa giác). Xác định các đỉnh của miền đa giác, từ đó tìm m sao cho bất phương trình $2x - 5y + m \geq 0$ đúng với mọi cặp số (x; y) thuộc miền nghiệm.

Xác định miền nghiệm:

- Giao điểm của x + y = 5 và x – 2y = 2 là A(4; 1).

- Giao điểm của x + y = 5 và y = 3 là B(2; 3).

- Giao điểm của x – 2y = 2 và y = 3 là C(8; 3).

Miền nghiệm của hệ (I) là tam giác ABC (kể cả biên) với các đỉnh A(4; 1), B(2; 3) và C(8; 3).

Ta có $2x - 5y + m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge 5y - 2x$

$\Rightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{(x;y) \in \Delta ABC} (5y - 2x)$.

Tính giá trị của $f(x;y) = 5y - 2x$ tại ba đỉnh:

f(4; 1) = -3; f(2; 3) = 11; f(8; 3) = -1.

Vậy $m \ge 11 \Rightarrow$ Giá trị nhỏ nhất của m là 11.

Áp dụng công thức $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Do $0^\circ < x < 90^\circ$ nên $\cos x > 0$. Xác định a, b và tính tổng a + b.

Ta có: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.

Vì $0^o < x < 90^o$ nên $\cos x > 0 \Rightarrow \cos x = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Vậy a + b = 4 + 5 = 9.

Biểu diễn hia tập hợp trên hai trục số, phần giao của hai tập hợp là phần không bị gạch ở cả hai trục số.

$C = A \cap B = [1; 2)$.

a) Áp dụng công thức $\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha = 1$.

b) \(\tan \alpha  + \cot \alpha  = 3\).

a) Vì ${90^o} < \alpha < {180^o} \Rightarrow \sin \alpha > 0$.

Khi đó $\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \sqrt {1 - \frac{1}{9}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

b)  Vì ${0^o} < \alpha < {90^o} \Rightarrow \tan \alpha ,\cot \alpha$ đều có nghĩa.

Khi đó từ $\tan \alpha + \cot \alpha = 3$

$\Rightarrow {\left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)^2} = 9$

$$\Rightarrow {\tan ^2}\alpha + 2\tan \alpha .\cot \alpha + {\cot ^2}\alpha = 9$$

$\Rightarrow {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha = 7$.

Áp dụng định lí sin.

Ta có $\widehat {BAD} = {54^ o } + {22^ o } = {76^ o }$

$\Rightarrow \widehat {ABC} = {180^ o } - {76^ o } = {104^ o }$, $\widehat {ACB} = \widehat {DAC} = {22^ o }$.

Áp dụng định lý sin cho tam giác $ABC$, ta có:

$\frac{{AC}}{{\sin {{104}^ o }}} = \frac{{AB}}{{\sin {{22}^ o }}} \Rightarrow AC = \frac{{70.\sin {{104}^ o }}}{{\sin {{22}^ o }}}$.

Suy ra diện tích tam giác $ABC$ là:

${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin {54^ o } = \frac{{70.\sin {{104}^ o }.\sin {{54}^ o }}}{{2.\sin {{22}^ o }}}$.

Lại có $\widehat {ADB} = {180^ o } - {76^ o } - {73^ o } = {31^ o }$.

Áp dụng định lý sin cho tam giác ABD, ta có:

$\frac{{AD}}{{\sin {{73}^ o }}} = \frac{{AB}}{{\sin {{31}^ o }}} \Rightarrow AD = \frac{{70 \cdot \sin {{73}^ o }}}{{\sin {{31}^ o }}}$.

Suy ra diện tích tam giác ACD là:

${S_{ACD}} = \frac{1}{2}AC.AD.\sin {22^ o } = \frac{{{{70}^2}.\sin {{104}^ o }.\sin {{73}^ o }}}{{2.\sin {{22}^ o }.\sin {{31}^ o }}}$.

Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Tổng nguyên liệu được dùng là 2x + 4y (kg) nên ta có $2x + 4y \le 200$.

Tổng thời gian sản xuất là 30x + 15y (giờ) nên ta có $30x + 15y \le 1200$.

Ta có hệ:  $\{\begin{array}{l}2x+4y\le 200\\ 30x+15y\le 1200\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x+2y\le 100\\ 2x+y\le 80\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$$\begin{cases} 2x + 4y \le 200 \\ 30x + 15y \le 1200 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$ \Leftrightarrow $\begin{cases} x + 2y \le 100 \\ 2x + y \le 80 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$.