Đề giữa học kỳ 1 Toán 12 năm 2024 – 2025 trường chuyên Biên Hòa – Hà Nam

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ dưới đây.

Xét hàm số $g(x) = 2f(x) + 25$. Hàm số $g(x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?.

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x^{2} - 2025)$ với mọi $x \in {\mathbb{R}}$. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $( - \infty;a)$ và $(b;c)$. Khoảng $(b;c)$ có bao nhiêu số nguyên?

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $M$ là điểm trên đoạn $AC$ sao cho $AM = \dfrac{2}{3}AC$. Ta có $\overset{\rightarrow}{A'M} = x.\overset{\rightarrow}{AA'} + y.\overset{\rightarrow}{AB} + z.\overset{\rightarrow}{A\text{D}}$ khi đó $x + y + z = \dfrac{a}{b}$, $\dfrac{a}{b}$ tối giản. Tính $a + b$.

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{f^{2}(x) - 5f(x)}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

Cho một tấm tôn hình vuông cạnh bằng 60 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm tôn đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng $x$ (cm), rồi gập tấm tôn lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm $x$ để hộp nhận được có thể tích lớn nhất?

.

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm $O$ trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm $A,, B,, C$ trên đèn tròn sao cho các lực căng $\overset{\rightarrow}{F_{1}},,\overset{\rightarrow}{F_{2}},,\overset{\rightarrow}{F_{3}}$ lần lượt trên mối dây $OA,, OB,, OC$ đôi một vuông góc với nhau và $\left| \overset{\rightarrow}{F_{1}} \right| = \left| \overset{\rightarrow}{F_{2}} \right| = \left| \overset{\rightarrow}{F_{3}} \right| = 20$ (N) (như hình vẽ). Trọng lượng của chiếc đèn tròn đó là bao nhiêu Newton (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?