Lý thuyết ứng dụng tích phân trong hình học


1. Tính diện tích hình phẳng.

1. Tính diện tích hình phẳng.

a) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục t trên đoạn [a;b]; trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b (h.1), thì diện tích S được cho bởi công thức:

             (1)

Chú ý : Để tính tích phân trên, ta xét dấu của f(x) treeb đoạn [a,b]. Nếu f(x) không đổi dấu 

trên khoảng (c;d) ⊂ [a;b] thì :

Chẳng hạn theo hình 1 ta có:

 

                          +  

 

b) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm sô y= f1(x) và y =f2(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng  x = a, x = b (h.2) thì diện tích S được cho bởi công thức :

                                          (2)

Chú ý : Để tính tích phân trên, ta xét dấu f(x)= f1(x)  - f2(x) trên đoạn [a;b] hoặc tìm nghiệm của nó trên khoảng (a;b), sau đó áp dụng tính chất nêu ở chú ý trên. Cụ thể ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Giải phương trình : f(x)= f1(x)  - f2(x) = 0, tìm các nghiệm xi ∈ (a;b) .

Bước 2 : Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần, chẳng hạn có n nghiệm:

                                         x1 < x2 < … < xn.

Bước 3: Tính diện tích theo công thức (*):

Chẳng hạn theo hình 2 thì f(x) có hai nghiệm c1, c2 ∈ (a;b) nên ta có:

Nếu hình phẳng nói trên không cho giới hạn bởi hai đường thẳng x = a, x = b thì ta tìm các nghiệm trên tập xác định và trong công thức (*), a được thay thế bởi x1, b được thay thế bởi xn.

Công thức (1) là trường hợp đặc biệt của công thức (2) khi y = f1(x) = 0 hoặc y = f2(x) = 0.

Tương tự, hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g1(y), x = g2(y) liên tục trên đoạn [c;d] và hai đường thẳng y = c, y = d có diện tích được cho bởi công thức:

                                        .

2. Thể tích vật thể

Một vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ

x = a, x = b (a<b). S(x) là diện tích của thiết diện của  được cho bởi công thức: (với S(x) là hàm số không âm, liên tục trên đoạn [a;b]).

3. Thể tích khối tròn xoay

a) Hình phẳng quay quanh trục Ox: Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm sốy = f(x) không âm và liên tục trên đoạn [a;b], trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục Ox, ta được khối tròn xoay (h.4). Thể tích  Vx của khối tròn xoay này được cho bởi công thức:

                            

b) Hình phẳng quay quanh trục Oy (kiến thức bổ sung): Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g(y) không âm và liên tục trên đoạn [c;d], trục Oy và hai đường thẳng y = c, y = d quay quanh trục Oy, ta được khối tròn xoay. Thể tích Vy của khối tròn xoay này được cho bởi công thức:

                          

Chú ý. Thể tích của vật thể tạo bởi hình phẳng được giới hạn bởi hai đường thẳng x = a,

x = b và độ thị hàm số y = f1(x), y = f2(x) liên tục và 0 ≤  f1(x) ≤ f2(x) trên đoạn [a;b] quay quanh trục Ox được cho bởi công thức:

                         

Tương tự, đổi vai trò x và y cho nhau, ta có công thức tính  Vy (khi hình phẳng quay quanh trục Oy).

 

               

                             

>> Khai giảng Luyện thi ĐH-THPT Quốc Gia 2017 bám sát cấu trúc Bộ GD&ĐT bởi các Thầy Cô uy tín, nổi tiếng đến từ các trung tâm Luyện thi ĐH hàng đầu, các Trường THPT Chuyên và Trường Đại học.

Bài viết liên quan