Lý thuyết định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm


1. Định nghĩa

1.  Định nghĩa

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b), x∈ (a;b). Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số   khi x → x0  được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại  x0, kí hiệu là f'( x0) hay y'( x0). Như vậy:

                      f'( x0 ) =  .

   Nếu đặt x - x0 = ∆x và ∆y = f(x0+∆x) - f(x0) thì ta có

                      f'(x0) =  

   Đại lượng ∆x được gọi là số gia của đối số tại x0 và đại lượng ∆y được gọi là số gia tương ứng của hàm số.

2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bước 1. Với ∆x là số gia của số đối tại x0 ,tính ∆y = f(x0+∆x)- f(x0);

Bước 2. Lập tỉ số ;

Bước 3. Tính  .

Nhận xét: nếu thay x0 bởi x ta có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x ∈ (a;b).

3. Quan hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm

Định lí. Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại x0.

Chú ý.

  • Định lí trên tương đương với khẳng định : Nếu y = f(x) gián đoạn tại x0 thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.
  • Mệnh đề đảo của định lí không đúng. Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

 Nếu tồn tại, f'(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0;f(x0)). Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M0(x0;f(x0)) là

                      y - f(x0) = f'(x0)(x-x0)

5. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

v(t) = s'(t) là vận tốc tức thời của chuyển động s = s(t) tại thời điểm t.

>>>>> Bí kíp học tốt các môn lớp 11 2017 bởi các Thầy Cô uy tín, nổi tiếng học hiệu quả, dễ hiểu

 

Bài viết liên quan