Lí thuyết nguyên hàm


Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu (x) = f(x) với mọi x ∈ K.

1, Nguyên hàm và tính chất

ĐỊNH NGHĨA

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R.

Cho hàm số f(x) xác định trên K.

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

ĐỊNH LÍ

1)Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x)+C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trệ K.

2)Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C là một hằng số tùy ý.

Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số f(x) là ∫f(x)dx

Khi đó : ∫f(x)dx =F(x) + C , C  ∈ R.

Tính chất của nguyên hàm:

∫f(x)dx = F(x) + C, C  ∈ R.

 

∫kf(x)dx =k ∫f(x)dx (với k là hằng số khác 0)

∫(f(x) ± g(x)) =  ∫f(x)dx ±  ∫g(x)dx

Sự tồn tại nguyên hàm:

Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp:

 

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp

 Nguyên hàm của hàm số tổ hợp

 \(\int\)0dx = C

\(\int\)dx = x + C

\(\int\)\(x^{\alpha }\)dx = \(\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\) +C    (\(\alpha\)≠  -1)

 

\(\int\)\(\frac{1}{x}\)dx =ln\(\left | x \right |\) +C

 

\(\int\)\(e^{x}\)dx = \(e^{x}\) +C

\(\int\)\(a^{x}\)dx = \(\frac{a^{x}}{lna}\) + C (a>0, a ≠ 1)


\(\int\)cosxdx = sinx + C

\(\int\)sinxdx = - cosx + C

\(\int\)\(\frac{1}{(cos^{2}x)}\)dx = tanx + C

 

\(\int\)\(\frac{1}{(sin^{2}x)}\)dx = cotx + C

 

 \(\int\)0du = C

\(\int\)du= u +C

\(\int\)\(u^{\alpha }\)du = \(\frac{u^{\alpha +1}}{\alpha +1}\) + C

\(\int\)\(\frac{1}{u}\)du = ln \(\left | u\right |\) + C

\(\int\)\(e^{u}\)du = \(e^{u}\) +C

\(\int\)\(a^{u}\)đủ = \(\frac{a^{u}}{lna}\)  + C

\(\int\)cosudu = sinu + C 

sinudu = -cosu +C

du= tanu +C

du =cotu +C



 

2. Phương pháp tìm nguyên hàm

a) Phương pháp biến đổi số

Định lí 1. Nếu f(u)du = F(u)+ C và u=u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

                                 f(u(x))(x) = F(u(x)) + C

Hệ quả: Nếu u= ax +b (a≠0) thì ta có f(ax+b)dx = F(ax+b) + C

>> Khai giảng Luyện thi ĐH-THPT Quốc Gia 2018 bám sát cấu trúc Bộ GD&ĐT bởi các Thầy Cô uy tín, nổi tiếng đến từ các trung tâm Luyện thi ĐH hàng đầu, các Trường THPT Chuyên và Trường Đại học..