Lí thuyết nguyên hàm

Bình chọn:
4.2 trên 6 phiếu

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu (x) = f(x) với mọi x ∈ K.

1, Nguyên hàm và tính chất

ĐỊNH NGHĨA

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R.

Cho hàm số f(x) xác định trên K.

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

ĐỊNH LÍ

1)Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x)+C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trệ K.

2)Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C là một hằng số tùy ý.

Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số f(x) là ∫f(x)dx

Khi đó : ∫f(x)dx =F(x) + C , C  ∈ R.

Tính chất của nguyên hàm:

∫f(x)dx = F(x) + C, C  ∈ R.

 

∫kf(x)dx =k ∫f(x)dx (với k là hằng số khác 0)

∫(f(x) ± g(x)) =  ∫f(x)dx ±  ∫g(x)dx

Sự tồn tại nguyên hàm:

Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp:

 

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp

 Nguyên hàm của hàm số tổ hợp

 \(\int\)0dx = C

\(\int\)dx = x + C

\(\int\)\(x^{\alpha }\)dx = \(\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\) +C    (\(\alpha\)≠  -1)

 

\(\int\)\(\frac{1}{x}\)dx =ln\(\left | x \right |\) +C

 

\(\int\)\(e^{x}\)dx = \(e^{x}\) +C

\(\int\)\(a^{x}\)dx = \(\frac{a^{x}}{lna}\) + C (a>0, a ≠ 1)


\(\int\)cosxdx = sinx + C

\(\int\)sinxdx = - cosx + C

\(\int\)\(\frac{1}{(cos^{2}x)}\)dx = tanx + C

 

\(\int\)\(\frac{1}{(sin^{2}x)}\)dx = cotx + C

 

 \(\int\)0du = C

\(\int\)du= u +C

\(\int\)\(u^{\alpha }\)du = \(\frac{u^{\alpha +1}}{\alpha +1}\) + C

\(\int\)\(\frac{1}{u}\)du = ln \(\left | u\right |\) + C

\(\int\)\(e^{u}\)du = \(e^{u}\) +C

\(\int\)\(a^{u}\)đủ = \(\frac{a^{u}}{lna}\)  + C

\(\int\)cosudu = sinu + C 

sinudu = -cosu +C

du= tanu +C

du =cotu +C



 

2. Phương pháp tìm nguyên hàm

a) Phương pháp biến đổi số

Định lí 1. Nếu f(u)du = F(u)+ C và u=u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

                                 f(u(x))(x) = F(u(x)) + C

Hệ quả: Nếu u= ax +b (a≠0) thì ta có f(ax+b)dx = F(ax+b) + C

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 12 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2018, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan