Bài 6 trang 127 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
3.7 trên 7 phiếu

Giải bài 6 trang 127 SGK Giải tích 12. Tính:

Đề bài

Tính:

a) \(\int_0^{{\pi  \over 2}} {\cos 2xsi{n^2}} xdx\)

b) \(\int_{ - 1}^1 {|{2^x}}  - {2^{ - x}}|dx\)

c) \(\int_1^2 {{{(x + 1)(x + 2)(x + 3)} \over {{x^2}}}} dx\)

d) \(\int_0^2 {{1 \over {{x^2} - 2x - 3}}} dx\)

e) \(\int_0^{{\pi  \over 2}} {{{({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + {\mathop{\rm cosx}\nolimits} )}^2}dx} \)

g) \(\int_0^\pi  {{{(x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}})}^2}} dx\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\( \int_0^{{\pi \over 2}} {\cos 2xsi{n^2}} xdx = {1 \over 2}\int_0^{{\pi \over 2}} {\cos 2x(1 - \cos 2x)dx}\)
\(= {1 \over 2}\int_0^{{\pi \over 2}} {\left[ {\cos 2x - {{1 + \cos 4x} \over 2}} \right]} dx\)

\( = {1 \over 4}\int_0^{{\pi \over 2}} {(2\cos 2x - \cos 4x - 1)dx} \)
\( = {1 \over 4}\left[ {\sin 2x - {{\sin 4x} \over 4} - x} \right]_0^{{\pi \over 2}} = - {1 \over 4}.{\pi \over 2} = {{ - \pi } \over 8} \)

b) Ta có: Xét \({2^x}-{2^{ - x}} ≥ 0 ⇔ x ≥ 0\).

Ta tách thành tổng của hai tích phân:

\(\int_{ - 1}^1 {|{2^x}} - {2^{ - x}}|dx = - \int_{ - 1}^0 ( {2^x} - {2^{ - x}})dx \)\(+ \int_0^1 ( {2^x} - {2^{ - x}})dx\)
\(= - ({{{2^x}} \over {\ln 2}} + {{{2^{ - x}}} \over {\ln 2}})\left| {_{ - 1}^0} \right. + ({{{2^x}} \over {\ln 2}} + {{{2^{ - x}}} \over {\ln 2}})\left| {_0^1} \right. \)\(= {1 \over {\ln 2}}  \)

c) Ta có: 

 \(\int_1^2 {{{(x + 1)(x + 2)(x + 3)} \over {{x^2}}}} dx = \int_1^2 {{{{x^3} + 6{x^2} + 11x + 6} \over {{x^2}}}dx} \) 
\(= \int_1^2 {(x + 6 + {{11} \over x}} + {6 \over {{x^2}}})dx\)

\(= \left[ {{{{x^2}} \over 2} + 6x + 11\ln |x| - {6 \over x}} \right]\left| {_1^2} \right. \) 
\( = (2 + 12 + 11\ln 2 - 3) - ({1 \over 2} + 6 - 6) \)

\(= {{21} \over 2} + 11\ln 2 \)

 d) Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\int\limits_0^2 {\frac{1}{{{x^2} - 2x - 3}}dx = \int\limits_0^2 {\frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}dx} } \\
= \frac{1}{4}\int\limits_0^2 {\left( {\frac{1}{{x - 3}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\
= \left. {\frac{1}{4}\left[ {\ln \left| {x - 3} \right| - \ln \left| {x + 1} \right|} \right]} \right|_0^2\\
= \frac{1}{4}\left[ { - \ln 3 - \ln 3} \right] = - \frac{1}{2}\ln 3.
\end{array}\)

 e) Ta có: 

\(\eqalign{
& \int_0^{{\pi \over 2}} {{{({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + {\mathop{\rm cosx}\nolimits} )}^2}dx} = \int_0^{{\pi \over 2}} {(1 + \sin 2x)dx} \cr
& = \left[ {x - {{\cos 2x} \over 2}} \right]\left| {_0^{{\pi \over 2}}} \right. = {\pi \over 2} + 1. \cr} \)

 g) Ta có: 

\(\eqalign{
& I = \int_0^\pi {{{(x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx)}}}^2}} dx\int_0^\pi {({x^2}} + 2x\sin x + {\sin ^2}x)dx \cr
& = \left[ {{{{x^3}} \over 3}} \right]\left| {_0^\pi } \right. + 2\int_0^\pi {x\sin xdx + {1 \over 2}} \int_0^\pi {(1 - \cos 2x)dx}. \cr} \)

Tính :\(J = \int_0^\pi  {x\sin xdx} \)

Đặt \(u = x ⇒ u’ = 1\) và \(v’ = sinx ⇒ v = -cos x\)

Suy ra:

\(J = \left[ { - x{\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \right]\left| {_0^\pi } \right. + \int_0^\pi  {{\mathop{\rm cosxdx}\nolimits}  = \pi  + \left[ {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right]} \left| {_0^\pi } \right. = \pi \)

Do đó: 

\(\eqalign{
& I = {{{\pi ^3}} \over 3} + 2\pi + {1 \over 2}\left[ {x - {{\sin 2x} \over 2}} \right]\left| {_0^{{\pi }}} \right. \cr
& = {{{\pi ^3}} \over 3} + 2\pi + {\pi \over 2} = {{2{\pi ^3} + 15\pi } \over 6}. \cr} \)

loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 12 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2018, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan