-
ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH - TOÁN 11 NÂNG CAO
-
HÌNH HỌC- TOÁN 11 NÂNG CAO
Giải toán 11, giải bài tập toán 11 nâng cao, Toán 11 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học
Bài 5. Đạo hàm cấp cao
Câu 47 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
a. Cho hàm số
LG a
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \tan x.\) Tính \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right)\) với n = 1, 2, 3.
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {\tan x} \right)' = 1 + {\tan ^2}x\)
Lời giải chi tiết:
f’(x) = 1 + tan2x
f’’(x) = 2tanx(1 + tan2x) = 2tanx + 2tan3x
f(3)(x) = 2(1 + tan2x) + 2.3tan2x(1 + tan2x)
= 2+ 2tan2x + 6tan2x+ 6tan4x
= 2+ 8tan2x+ 6tan4x
LG b
Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x\) thì \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4n - 1}}\cos 2x\)
Phương pháp giải:
Chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
Lời giải chi tiết:
\({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4n - 1}}\cos 2x\) (1)
Với n = 1 ta có:
\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = 2\sin x\cos x= \sin 2x\\
f"\left( x \right) = 2\cos 2x\\
{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = - 4\sin 2x\\
{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = - 8\cos 2x = - {2^{4.1 - 1}}\cos 2x
\end{array}\)
Vậy (1) đúng với n = 1
Giả sử (1) đúng với n = k tức là : \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4k - 1}}\cos 2x\)
Với n = k + 1 ta có :
\(\begin{array}{l}
{f^{\left( {4k + 1} \right)}}\left( x \right) = \left( {{f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right)} \right)' = {2^{4k}}\sin 2x\\
{f^{\left( {4k + 2} \right)}}\left( x \right) = {2^{4k + 1}}\cos 2x\\
{f^{\left( {4k + 3} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4k + 2}}\sin 2x\\
{f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4k + 3}}\cos 2x \\= - {2^{4\left( {k + 1} \right) - 1}}\cos 2x
\end{array}\)
Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với mọi n.
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Câu 48 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Câu 46 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Câu 45 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Câu 44 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Câu 43 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay
2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
