-
ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH - TOÁN 11 NÂNG CAO
-
HÌNH HỌC- TOÁN 11 NÂNG CAO
Giải toán 11, giải bài tập toán 11 nâng cao, Toán 11 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học
Bài 3. Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản
Câu 41 trang 47 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải các phương trình sau :
Giải các phương trình sau :
LG a
\(3{\sin ^2}x - \sin 2x - {\cos ^2}x = 0\)
Lời giải chi tiết:
Cách 1 : (chia hai vế cho \({\cos ^2}x\)).
Ta có:
\(\begin{array}{l}
3{\sin ^2}x - \sin 2x - {\cos ^2}x = 0\\
\Leftrightarrow 3{\sin ^2}x - 2\sin x\cos x - {\cos ^2}x = 0
\end{array}\)
Xét \(\cos x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1\) thay vào phương trình ra được:
\(3.1 - 2.0 - 0 = 0\) (vô lí)
Do đó \(\cos x\ne 0\), chia cả hai vế cho \(\cos ^2x\ne 0\) ta được:
\(\begin{array}{l}
Pt \Leftrightarrow \frac{{3{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} - 2.\frac{{\sin x\cos x}}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 0\\
\Leftrightarrow 3{\tan ^2}x - 2\tan x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x = 1\\
\tan x = - \frac{1}{3}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
x = \arctan \left( { - \frac{1}{3}} \right) + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)
Từ đó suy ra các nghiệm của phương trình là : \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \) và \(x = \arctan \left( { - \frac{1}{3}} \right) + k\pi\).
Cách 2 : (dùng công thức hạ bậc)
\(\eqalign{& 3{\sin ^2}x - \sin 2x - {\cos ^2}x = 0 \cr & \Leftrightarrow {{3\left( {1 - \cos 2x} \right)} \over 2} - \sin 2x - {{1 + \cos 2x} \over 2} = 0 \cr & \Leftrightarrow 3 - 3\cos 2x - 2\sin 2x - 1 - \cos 2x = 0\cr& \Leftrightarrow - 2\sin 2x - 4\cos 2x + 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow \sin 2x + 2\cos 2x = 1 \cr & \Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 5 }}\sin 2x + {2 \over {\sqrt 5 }}\cos 2x = {1 \over {\sqrt 5 }} \cr & \text{Chọn }\,\alpha \,\text{ là số thỏa mãn }\cr&\sin \alpha = {1 \over {\sqrt 5 }}\,\text{ và }\,\cos \alpha = {2 \over {\sqrt 5 }}\cr&\text{ Ta có }: \cr & \sin \alpha \sin 2x + \cos \alpha \cos 2x = \sin \alpha \cr&\Leftrightarrow \cos \left( {2x - \alpha } \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) \cr & \Leftrightarrow 2x - \alpha = \pm \left( {{\pi \over 2} - \alpha } \right) + k2\pi \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = \alpha - {\pi \over 4} + k\pi } \cr} } \right.\left( {k \in \mathbb Z} \right) \cr} \)
Quảng cáo
LG b
\(3{\sin ^2}2x - \sin 2x\cos 2x - 4{\cos ^2}2x = 2\)
Lời giải chi tiết:
Xét \(\cos 2x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}2x = 1\) thay vào pt ta được:
\(3.1 - 0 - 4.0 = 2\) (vô lí)
Do đó chia cả hai vế cho \({\cos ^2}2x \ne 0\) ta được:
\(3.\frac{{{{\sin }^2}2x}}{{{{\cos }^2}2x}} - \frac{{\sin 2x\cos 2x}}{{{{\cos }^2}2x}} - 4.\frac{{{{\cos }^2}2x}}{{{{\cos }^2}2x}} = \frac{2}{{{{\cos }^2}2x}}\)
\(\eqalign{& \Leftrightarrow 3{\tan ^2}2x - \tan 2x - 4 = 2\left( {1 + {{\tan }^2}2x} \right) \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}2x - \tan 2x - 6 = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan 2x = - 2} \cr {\tan 2x = 3} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\alpha \over 2} + k{\pi \over 2}} \cr {x = {\beta \over 2} + k{\pi \over 2}} \cr} } \right.\cr&\text{trong đó }\tan 2\alpha = - 2\,\text{và}\,\tan 2\beta = 3 \cr} \)
LG c
\(2{\sin ^2}x + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\sin x\cos x + \left( {\sqrt 3 - 1} \right){\cos ^2}x = - 1\)
Lời giải chi tiết:
Xét \(\cos x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1\) thay vào pt ta được:
\(2.1 + \left( {3 + \sqrt 3 } \right).0 + \left( {\sqrt 3 - 1} \right).0 = - 1\) (vô lí)
Do đó chia cả hai vế cho \({\cos ^2}x \ne 0\) ta được:
\(2.\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\frac{{\sin x\cos x}}{{{{\cos }^2}x}} + \left( {\sqrt 3 - 1} \right).\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{ - 1}}{{{{\cos }^2}x}}\)
\(\eqalign{&\Leftrightarrow 2{\tan ^2}x + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\tan x + \sqrt 3 - 1 = - \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \cr & \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\tan x + \sqrt 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = - 1} \cr {\tan x = - {{\sqrt 3 } \over 3}} \cr} } \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = - {\pi \over 6} + k\pi } \cr} } \right.\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr} \)
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Câu 42 trang 47 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Câu 40 trang 46 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Câu 39 trang 46 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Câu 38 trang 46 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Câu 37 trang 46 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay
2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
